Te conviene dominar: Introducción (1er año de preparatoria (semestres 1 y 2))
Te conviene dominar: Árboles (1er año de preparatoria (semestres 1 y 2))
En el Melate se eligen $6$ números de un total de $56$. ¿Cuál es la probabilidad de acertar? La regla de Laplace dice $P(A)=\dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$, pero ¿cómo cuentas millones de combinaciones sin escribirlas una por una? Este apartado te da las herramientas para contar sin listar: el principio multiplicativo, las ordenaciones, las combinaciones y algunos trucos para los casos difíciles. Al final regresamos al Melate.
Principio multiplicativo y diagramas de árbol
Cuando una elección se hace por etapas, un diagrama de árbol muestra todos los caminos. Contar los caminos es multiplicar.
La razón: por cada opción de la primera etapa se abren todas las ramas de la segunda, y así sucesivamente.
Practica★☆☆Sin empezar
Un restaurante ofrece $4$ primeros platos, $3$ segundos y $2$ postres. Si un cliente elige su menú al azar, ¿cuál es la probabilidad de que elija exactamente la ensalada…
Un restaurante ofrece $4$ primeros platos, $3$ segundos y $2$ postres. Si un cliente elige su menú al azar, ¿cuál es la probabilidad de que elija exactamente la ensalada de primero, el salmón de segundo y la tarta de postre?
Si eliges varios elementos distintos y el orden cambia el resultado (un podio, cargos, el orden de llegada), cada elección reduce las opciones de la siguiente.
El primer lugar se puede llenar de $n$ maneras; el segundo, de $n-1$ (ya se usó uno); el tercero, de $n-2$, etcétera.
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En una carrera de $100$ metros lisos participan $6$ atletas. Si todos tienen la misma probabilidad de ganar y no hay empates, ¿cuál es la probabilidad de que el orden de…
En una carrera de $100$ metros lisos participan $6$ atletas. Si todos tienen la misma probabilidad de ganar y no hay empates, ¿cuál es la probabilidad de que el orden de llegada sea exactamente A, B, C, D, E, F?
En un club de ajedrez de $10$ miembros se va a elegir al azar un presidente, un secretario y un tesorero. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana sea elegida presidenta,…
En un club de ajedrez de $10$ miembros se va a elegir al azar un presidente, un secretario y un tesorero. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana sea elegida presidenta, Carlos secretario y Elena tesorera?
Se forman todas las palabras posibles, tengan o no sentido, reordenando las letras de la palabra "ROMA". Si se elige una de estas palabras al azar, ¿cuál es la…
Se forman todas las palabras posibles, tengan o no sentido, reordenando las letras de la palabra "ROMA". Si se elige una de estas palabras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que empiece por la letra "M"?
Cuatro amigos suben a un camión en el que quedan $6$ paradas hasta el final del trayecto. Si cada uno tiene la misma probabilidad de bajarse en cualquiera de las…
Cuatro amigos suben a un camión en el que quedan $6$ paradas hasta el final del trayecto. Si cada uno tiene la misma probabilidad de bajarse en cualquiera de las paradas, ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro amigos se bajen en paradas distintas?
Si solo importa quiénes son elegidos (un comité, una muestra, una mano de cartas), el orden sobra. Cada grupo de $k$ elementos aparece $k!$ veces al contar ordenaciones, así que se divide entre $k!$.
Cuando hay dos tipos de elementos y pides cuántos de cada tipo, multiplica las combinaciones de cada tipo.
También sirve para elegir posiciones. Al lanzar $6$ volados, ¿cuál es la probabilidad de $2$ águilas? Hay $2^6 = 64$ secuencias posibles; las favorables son las formas de elegir en cuáles $2$ lanzamientos cae águila: $\binom62 = 15$. Entonces $P=\dfrac{15}{64}$.
Practica★☆☆Sin empezar
De un grupo de $8$ estudiantes se eligen $3$ al azar para formar una comisión representativa. ¿Cuál es la probabilidad de que los elegidos sean exactamente los $3$…
De un grupo de $8$ estudiantes se eligen $3$ al azar para formar una comisión representativa. ¿Cuál es la probabilidad de que los elegidos sean exactamente los $3$ estudiantes de mayor edad del grupo?
En una empresa tecnológica trabajan $7$ ingenieros y $5$ economistas. Se debe formar un equipo de proyecto de $4$ personas elegido al azar. ¿Cuál es la probabilidad de…
En una empresa tecnológica trabajan $7$ ingenieros y $5$ economistas. Se debe formar un equipo de proyecto de $4$ personas elegido al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo esté formado por exactamente $2$ ingenieros y $2$ economistas?
Una baraja española tiene $40$ cartas: $4$ palos (oros, copas, espadas y bastos) de $10$ cartas cada uno. Para sacar $3$ del mismo palo se elige primero el palo ($4$ formas) y luego las $3$ cartas dentro de él, con combinaciones.
Practica★☆☆Sin empezar
En una caja hay $5$ bolas rojas y $4$ bolas azules. Se extraen $2$ bolas al azar simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas?
En una caja hay $5$ bolas rojas y $4$ bolas azules. Se extraen $2$ bolas al azar simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas?
De una baraja española de $40$ cartas se extraen $3$ cartas al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cartas sean del mismo palo?
De una baraja española de $40$ cartas se extraen $3$ cartas al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cartas sean del mismo palo?
Restricciones: bloques y condiciones sobre una posición
Cuando el enunciado exige que ciertos elementos queden juntos, trátalos como un bloque. Cuando una posición tiene una condición (por ejemplo, un número par), cuenta primero la posición restringida.
Practica★★☆Sin empezar
Con los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6$ se forman números de $4$ cifras distintas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número formado sea par?
Con los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6$ se forman números de $4$ cifras distintas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número formado sea par?
En una estantería se van a colocar al azar $5$ libros de matemáticas y $3$ de física. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los libros de física queden colocados juntos?
En una estantería se van a colocar al azar $5$ libros de matemáticas y $3$ de física. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los libros de física queden colocados juntos?
Si algunos elementos son idénticos, intercambiarlos no produce un arreglo nuevo, así que se divide entre las ordenaciones de los repetidos.
Mesa circular. En una mesa redonda, girar a todos un lugar no cambia el arreglo. Para evitar contar giros, se fija a una persona y se ordenan las demás: con $n$ personas hay $(n-1)!$ arreglos.
Practica★★☆Sin empezar
Se forman todas las palabras posibles reordenando las letras de la palabra "BANANA". ¿Cuál es la probabilidad de que las tres letras "A" aparezcan juntas…
Se forman todas las palabras posibles reordenando las letras de la palabra "BANANA". ¿Cuál es la probabilidad de que las tres letras "A" aparezcan juntas consecutivamente?
Ocho personas, entre las que se encuentran dos hermanos, se sientan al azar alrededor de una mesa circular. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos hermanos no se…
Ocho personas, entre las que se encuentran dos hermanos, se sientan al azar alrededor de una mesa circular. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos hermanos no se sienten en sillas contiguas?
Complemento. Cuando piden «al menos uno», es más corto contar el caso contrario («ninguno») y restar: $P(\text{al menos uno})=1-P(\text{ninguno})$.
Espacio reducido. Si el enunciado dice «sabiendo que…», ya ocurrió algo. Cuenta solo con lo que falta por pasar.
Practica★★☆Sin empezar
Un lote de $20$ microchips contiene $4$ defectuosos. Se selecciona una muestra aleatoria de $3$ microchips para su inspección. ¿Cuál es la probabilidad de que en la…
Un lote de $20$ microchips contiene $4$ defectuosos. Se selecciona una muestra aleatoria de $3$ microchips para su inspección. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra haya al menos un microchip defectuoso?
Se lanza un dado equilibrado de $6$ caras $6$ veces consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan todos los números del $1$ al $6$ exactamente una vez,…
Se lanza un dado equilibrado de $6$ caras $6$ veces consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan todos los números del $1$ al $6$ exactamente una vez, sabiendo que en los tres primeros lanzamientos se obtuvieron exclusivamente números pares?
Para contar una mano o un comité con una estructura específica, divide en etapas (multiplica) y, si hay varias maneras de cumplir la condición, suma los casos.
Practica★★☆Sin empezar
Un examen de opción múltiple consta de $10$ preguntas, cada una con $4$ opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Si un estudiante responde todas las…
Un examen de opción múltiple consta de $10$ preguntas, cada una con $4$ opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Si un estudiante responde todas las preguntas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente $6$ preguntas?
De una baraja francesa de $52$ cartas (compuesta por $13$ valores diferentes en $4$ palos) se extraen $5$ cartas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un "Full…
De una baraja francesa de $52$ cartas (compuesta por $13$ valores diferentes en $4$ palos) se extraen $5$ cartas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un "Full House" (es decir, tres cartas de un mismo valor y dos cartas de otro valor distinto)?
Un departamento universitario está formado por $6$ profesores titulares y $8$ profesores asociados. Se elige al azar un comité de $5$ personas. ¿Cuál es la probabilidad…
Un departamento universitario está formado por $6$ profesores titulares y $8$ profesores asociados. Se elige al azar un comité de $5$ personas. ¿Cuál es la probabilidad de que en el comité haya una mayoría de profesores titulares (es decir, $3$ o más)?
Tres situaciones más que aparecen en problemas difíciles.
Repartir objetos en urnas (o personas en pisos). Si cada uno de $k$ objetos va a cualquiera de $m$ lugares, hay $m^k$ repartos posibles. Para un reparto con condiciones, clasifica por la forma del reparto y cuenta cada forma por etapas.
Geometría con vértices. Un triángulo inscrito en una circunferencia es rectángulo si y solo si uno de sus lados es un diámetro (teorema de Tales). Cuenta los diámetros y el tercer vértice.
Desarreglos. Un desarreglo es una ordenación en la que ningún elemento queda en su lugar original. Con $2$ objetos hay $1$ desarreglo; con $3$ hay $2$.
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Se eligen al azar $3$ vértices distintos de un decágono regular. ¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo formado por estos $3$ vértices sea un triángulo rectángulo?
Se eligen al azar $3$ vértices distintos de un decágono regular. ¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo formado por estos $3$ vértices sea un triángulo rectángulo?
En la planta baja de un edificio de $8$ pisos suben al ascensor $5$ personas. Si cada persona elige al azar el piso en el que se va a bajar (del $1$ al $8$), ¿cuál es la…
En la planta baja de un edificio de $8$ pisos suben al ascensor $5$ personas. Si cada persona elige al azar el piso en el que se va a bajar (del $1$ al $8$), ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos personas se bajen en el mismo piso y las otras tres se bajen en pisos distintos entre sí y distintos al de la pareja?
Cuatro personas dejan sus abrigos en el guardarropa de un teatro. Al salir, debido a un apagón, el encargado les devuelve los cuatro abrigos al azar. ¿Cuál es la…
Cuatro personas dejan sus abrigos en el guardarropa de un teatro. Al salir, debido a un apagón, el encargado les devuelve los cuatro abrigos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una persona reciba su propio abrigo?
Vuelve al principio: en el Melate el orden de los números no importa, así que hay $\binom{56}{6}=32{,}468{,}436$ combinaciones posibles. Acertar la única combinación ganadora tiene probabilidad $\dfrac{1}{32{,}468{,}436}$, aproximadamente una en $32$ millones.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado