Resolución de triángulos rectángulos
Ximena quiere saber qué tan alta es la pirámide que visitó en Teotihuacan, pero no puede subir con un flexómetro. Sí puede medir una distancia en el suelo y el ángulo con el que ve la cima. ¿Se puede conocer una altura sin tocarla? Con un triángulo rectángulo, sí.
Resolver un triángulo rectángulo
«Resolver» un triángulo significa calcular todos sus lados y ángulos. En un triángulo rectángulo ya conoces el ángulo recto: solo necesitas dos datos más (dos lados, o un lado y un ángulo agudo).
Recuerda las razones para un ángulo agudo $\alpha$: $\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\text{cat. opuesto}}{\text{hipotenusa}}$, $\cos\alpha=\dfrac{\text{cat. adyacente}}{\text{hipotenusa}}$, $\tan\alpha=\dfrac{\text{cat. opuesto}}{\text{cat. adyacente}}$.
Construir el triángulo
Para dibujar un triángulo rectángulo con regla, escuadra y transportador: traza un cateto, levanta una perpendicular en uno de sus extremos y, si tienes un ángulo agudo, mídelo desde el otro extremo hasta que el lado corte la perpendicular. Si tienes los dos catetos, basta unir los extremos. Un boceto con los datos rotulados es siempre el primer paso para resolver.
Un triángulo rectángulo tiene catetos que miden $5$ cm y $12$ cm. Calcula la longitud de la hipotenusa y la medida en grados de sus dos ángulos agudos.
Un triángulo rectángulo tiene catetos que miden $5$ cm y $12$ cm. Calcula la longitud de la hipotenusa y la medida en grados de sus dos ángulos agudos.
Los puntos $A(0,0)$, $B(8,0)$ y $C(8,6)$ forman un triángulo rectángulo en el plano cartesiano. Calcula las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) del ángulo…
Los puntos $A(0,0)$, $B(8,0)$ y $C(8,6)$ forman un triángulo rectángulo en el plano cartesiano. Calcula las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) del ángulo situado en el vértice $A$.
Una escalera de $4$ m de longitud está apoyada contra un muro vertical. Si la base de la escalera se encuentra a $1.2$ m de la pared, determina el ángulo que forma la…
Una escalera de $4$ m de longitud está apoyada contra un muro vertical. Si la base de la escalera se encuentra a $1.2$ m de la pared, determina el ángulo que forma la escalera con el suelo horizontal y la altura que alcanza su extremo superior sobre el muro.
Lados con incógnitas: Pitágoras y ecuación cuadrática
A veces el enunciado no da los lados como números, sino en función de una incógnita $x$. Entonces Pitágoras se convierte en una ecuación que hay que resolver. Después se obtienen las razones trigonométricas exactas como fracciones, sin calculadora.
En un triángulo rectángulo, la longitud de un cateto es $x$ cm, la del otro cateto es $(x+7)$ cm y la hipotenusa mide $(x+14)$ cm. Plantea y resuelve la ecuación…
En un triángulo rectángulo, la longitud de un cateto es $x$ cm, la del otro cateto es $(x+7)$ cm y la hipotenusa mide $(x+14)$ cm. Plantea y resuelve la ecuación correspondiente para determinar el valor de $x$. A continuación, calcula el valor exacto (en forma de fracción irreducible) del seno y el coseno del ángulo de menor amplitud del triángulo.
Alturas inaccesibles: ángulo de elevación
El ángulo de elevación es el que forma con la horizontal la visual hacia un punto alto. Es la forma clásica de medir una altura sin subir a ella.
Un obelisco proyecta una sombra de $15$ m de largo en el suelo horizontal en el momento en que los rayos del sol forman un ángulo de $42^\circ$ con la horizontal.…
Un obelisco proyecta una sombra de $15$ m de largo en el suelo horizontal en el momento en que los rayos del sol forman un ángulo de $42^\circ$ con la horizontal. Calcula la altura del obelisco.
Un niño vuela una cometa que está sujeta por un hilo de $45$ m de longitud, el cual se mantiene completamente tenso. Si el hilo forma un ángulo de $55^\circ$ con el…
Un niño vuela una cometa que está sujeta por un hilo de $45$ m de longitud, el cual se mantiene completamente tenso. Si el hilo forma un ángulo de $55^\circ$ con el suelo horizontal, ¿a qué altura se encuentra la cometa? (Asume que el niño sostiene el hilo a ras de suelo).
En una pantalla de computadora de formato rectangular, la diagonal mide $60$ cm y forma un ángulo de $29^\circ$ con la base inferior del marco. Calcula el ancho y la…
En una pantalla de computadora de formato rectangular, la diagonal mide $60$ cm y forma un ángulo de $29^\circ$ con la base inferior del marco. Calcula el ancho y la altura de la pantalla.
Una rampa recta de acceso para sillas de ruedas tiene una longitud de $6$ m y salva un desnivel vertical de $0.45$ m. Determina el ángulo de inclinación de la rampa…
Una rampa recta de acceso para sillas de ruedas tiene una longitud de $6$ m y salva un desnivel vertical de $0.45$ m. Determina el ángulo de inclinación de la rampa respecto a la horizontal.
Ángulo de depresión
Si miras hacia abajo desde un punto alto, el ángulo entre la horizontal y tu visual es el ángulo de depresión. Por ángulos alternos internos entre paralelas, es igual al ángulo de elevación visto desde el punto bajo.
Desde la linterna de un faro, situada a $45$ m sobre el nivel del mar, se observan dos barcos que navegan alineados con la base del faro. El ángulo de depresión bajo el…
Desde la linterna de un faro, situada a $45$ m sobre el nivel del mar, se observan dos barcos que navegan alineados con la base del faro. El ángulo de depresión bajo el cual se ve el barco más cercano es de $34^\circ$, y el del barco más lejano es de $18^\circ$. Calcula la distancia exacta que separa a ambos barcos.
Dos chimeneas industriales verticales de $20$ m y $35$ m de altura están construidas sobre un terreno llano. Desde el punto medio del segmento rectilíneo que une sus…
Dos chimeneas industriales verticales de $20$ m y $35$ m de altura están construidas sobre un terreno llano. Desde el punto medio del segmento rectilíneo que une sus bases, se observa la cima de la primera chimenea con un ángulo de elevación de $35^\circ$. ¿Con qué ángulo de elevación se observará la cima de la segunda chimenea desde ese mismo punto medio?
Dos puntos de observación: un sistema de ecuaciones
Si no puedes medir la distancia a la base, observa desde dos puntos alineados con ella y plantea un sistema con la misma altura $h$.
Este es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($h$ y $x$), que puedes resolver por sustitución, igualación o reducción.
Desde un punto en el suelo se observa la barquilla de un aerogenerador con un ángulo de elevación de $32^\circ$. Al avanzar $25$ m en línea recta hacia la base del…
Desde un punto en el suelo se observa la barquilla de un aerogenerador con un ángulo de elevación de $32^\circ$. Al avanzar $25$ m en línea recta hacia la base del poste, el nuevo ángulo de elevación es de $50^\circ$. Plantea un sistema de ecuaciones trigonométricas y calcula la altura del aerogenerador.
Dos observadores, $A$ y $B$, se encuentran separados por una distancia de $300$ m en una llanura horizontal. Ambos miran hacia un dron estático que se encuentra…
Dos observadores, $A$ y $B$, se encuentran separados por una distancia de $300$ m en una llanura horizontal. Ambos miran hacia un dron estático que se encuentra exactamente en el plano vertical que pasa por la línea recta que los une, y situado espacialmente entre ellos. El observador $A$ ve el dron con un ángulo de elevación de $60^\circ$ y el observador $B$ lo ve con un ángulo de $45^\circ$. Calcula la altura exacta a la que vuela el dron, expresando el resultado con radicales.
Un poste vertical proyecta una sombra en un terreno llano. En un momento de la mañana, cuando la elevación del sol es de $\alpha = 30^\circ$, la sombra mide $L$ metros.…
Un poste vertical proyecta una sombra en un terreno llano. En un momento de la mañana, cuando la elevación del sol es de $\alpha = 30^\circ$, la sombra mide $L$ metros. Un par de horas más tarde, cuando la elevación del sol ha aumentado a $\beta = 45^\circ$, se comprueba que la sombra se ha acortado exactamente $10$ metros. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula la altura exacta del poste expresada con radicales.
Rumbos y trayectorias que se cruzan
En navegación y aviación la dirección se da con un ángulo medido desde el Norte (o desde la línea Norte-Sur). Por ejemplo, «N $40^\circ$ E» significa: parte del Norte y gira $40^\circ$ hacia el Este. El Norte es arriba, el Este a la derecha.
Si dos vehículos salen del mismo punto con velocidad constante, la distancia recorrida es $d=v\,t$. Si sus rumbos forman un ángulo recto (uno al Norte y otro al Este), sus posiciones son los dos catetos de un triángulo rectángulo. Para saber cómo ve uno al otro, mide el ángulo en el vértice donde está el observador, respecto a la línea Norte que pasa por él.
Un guardacostas detecta que un barco $A$ navega en línea recta hacia el Este a una velocidad constante de $20$ nudos, y un barco $B$ navega hacia el Norte a $15$ nudos.…
Un guardacostas detecta que un barco $A$ navega en línea recta hacia el Este a una velocidad constante de $20$ nudos, y un barco $B$ navega hacia el Norte a $15$ nudos. En un instante determinado ($t=0$), ambos barcos se encuentran exactamente en el mismo punto, donde se cruzan sus trayectorias. ¿Bajo qué ángulo respecto a la dirección Norte observará el capitán del barco $A$ al barco $B$ exactamente $2$ horas después de haberse cruzado?
Figuras que se parten en triángulos rectángulos
Rampas, rombos, polígonos regulares, tangentes a una circunferencia y triángulos isósceles se resuelven trazando una altura o un radio que los divida en triángulos rectángulos.
Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales que miden $14$ cm cada uno, y el ángulo desigual (el comprendido entre ellos) mide $40^\circ$. Trazando la altura…
Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales que miden $14$ cm cada uno, y el ángulo desigual (el comprendido entre ellos) mide $40^\circ$. Trazando la altura correspondiente a la base para dividirlo en dos triángulos rectángulos, calcula la longitud de dicha base.
Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular que está inscrito en una circunferencia de $12$ cm de radio. (Recuerda dividir el polígono en triángulos para usar…
Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular que está inscrito en una circunferencia de $12$ cm de radio. (Recuerda dividir el polígono en triángulos para usar trigonometría).
Las diagonales de un rombo miden $24$ cm y $10$ cm. Sabiendo que las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente en su punto medio, calcula la medida de los…
Las diagonales de un rombo miden $24$ cm y $10$ cm. Sabiendo que las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente en su punto medio, calcula la medida de los lados del rombo y la amplitud de sus cuatro ángulos interiores.
Cuerda común de dos circunferencias
Cuando dos circunferencias se cortan en dos puntos, el segmento que une esos puntos es su cuerda común. La recta que une los centros es perpendicular a esa cuerda y la corta en su punto medio $M$. Por eso aparecen dos triángulos rectángulos: en cada uno, la hipotenusa es un radio y un cateto es la mitad de la cuerda.
La tangente a una circunferencia es perpendicular a su radio. Entonces, el ángulo entre las tangentes en $P$ es igual al ángulo entre los radios $PO_1$ y $PO_2$ (o su suplemento, según cuál de los dos ángulos se pida).
Dos circunferencias secantes tienen radios de $10$ cm y $17$ cm. La longitud de la cuerda común a ambas circunferencias es de $16$ cm y los centros quedan a lados…
Dos circunferencias secantes tienen radios de $10$ cm y $17$ cm. La longitud de la cuerda común a ambas circunferencias es de $16$ cm y los centros quedan a lados opuestos de dicha cuerda. Calcula la distancia que separa los centros de las dos circunferencias y determina el ángulo que forman entre sí sus respectivas rectas tangentes en uno de los puntos de intersección.
Pendientes, tangentes y problemas de reto
La pendiente de una carretera se da en porcentaje: $15\%$ significa que se sube $15$ m por cada $100$ m horizontales, es decir, $\tan\alpha=0.15$. Una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto, lo que produce un triángulo rectángulo.
Cuando el enunciado pide «demostrar», usa solo las definiciones: con un triángulo de ángulo $\alpha$, altura $h$, base $b=\dfrac{h}{\tan\alpha}$ y rampa $r=\dfrac{h}{\operatorname{sen}\alpha}$, escribe $b+r$ con denominador común $\operatorname{sen}\alpha$ y verás aparecer $\cos\alpha$.
Una señal de tráfico advierte de una pendiente prolongada del $15\%$. Esto indica que por cada $100$ m que se avanza en la proyección horizontal, se ascienden $15$ m en…
Una señal de tráfico advierte de una pendiente prolongada del $15\%$. Esto indica que por cada $100$ m que se avanza en la proyección horizontal, se ascienden $15$ m en la vertical. Calcula el ángulo de inclinación de la carretera y la distancia real que recorrerá un vehículo sobre el asfalto si avanza $600$ m en la proyección horizontal.
Desde un punto $P$ exterior a una circunferencia de radio $8$ cm se trazan las dos rectas tangentes a la misma. Si la distancia desde el punto $P$ hasta el centro de la…
Desde un punto $P$ exterior a una circunferencia de radio $8$ cm se trazan las dos rectas tangentes a la misma. Si la distancia desde el punto $P$ hasta el centro de la circunferencia es de $17$ cm, calcula el ángulo total que forman entre sí las dos rectas tangentes.
Un panel solar rectangular de $2.5$ m de largo está inclinado $35^\circ$ respecto a la horizontal de una cubierta plana. Calcula la longitud de la sombra que proyecta el…
Un panel solar rectangular de $2.5$ m de largo está inclinado $35^\circ$ respecto a la horizontal de una cubierta plana. Calcula la longitud de la sombra que proyecta el panel sobre la cubierta cuando los rayos del sol inciden de forma completamente perpendicular al plano de la cubierta.
Sobre la azotea plana de un edificio se encuentra instalada una antena de telecomunicaciones. Desde un punto en el suelo, situado a $45$ m de la base del edificio, un…
Sobre la azotea plana de un edificio se encuentra instalada una antena de telecomunicaciones. Desde un punto en el suelo, situado a $45$ m de la base del edificio, un topógrafo observa la base de la antena con un ángulo de elevación de $38^\circ$ y la punta superior de la antena con un ángulo de elevación de $46^\circ$. Calcula la altura del edificio y la longitud exacta de la antena.
Se desea construir una rampa recta para salvar un desnivel vertical de altura $h$. Si el ángulo de inclinación de la rampa respecto a la horizontal es $\alpha$,…
Se desea construir una rampa recta para salvar un desnivel vertical de altura $h$. Si el ángulo de inclinación de la rampa respecto a la horizontal es $\alpha$, demuestra utilizando las definiciones de las razones trigonométricas que la suma de la longitud de la base de la rampa (su proyección horizontal) más la longitud de la rampa misma es igual a $h \times \frac{1 + \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.
En un triángulo isósceles cuya base mide $12$ cm y cuya altura sobre dicha base es de $18$ cm, se inscribe un rectángulo de manera que uno de sus lados descansa sobre la…
En un triángulo isósceles cuya base mide $12$ cm y cuya altura sobre dicha base es de $18$ cm, se inscribe un rectángulo de manera que uno de sus lados descansa sobre la base del triángulo y los otros dos vértices tocan los lados iguales. Si las diagonales de dicho rectángulo se cortan formando un ángulo de $60^\circ$ (siendo este el ángulo que abarca la base del rectángulo), plantea el sistema trigonométrico y geométrico necesario para calcular las dimensiones exactas de dicho rectángulo.
Vuelve al principio: Ximena mide una distancia en el suelo hasta la base de la pirámide, mide con un clinómetro el ángulo de elevación de la cima y calcula $h=d\tan\alpha$ (sumando la altura de sus ojos).