Representación gráfica de funciones

Halla los puntos de corte de la gráfica de $f(x) = x^3 - 4x$ con los ejes de coordenadas.

Comprueba que la función $f(x) = x^3 - x$ es impar y explica qué ventaja supone esta simetría a la hora de representarla gráficamente.

La figura muestra el esquema de signos de una función polinómica de segundo grado: su gráfica queda por encima del eje de abscisas fuera del intervalo $[1, 4]$ y por debajo dentro.

1. a) Escribe una posible expresión analítica de $f$.

1. b) ¿Cuántas funciones polinómicas de segundo grado distintas cumplen ese mismo esquema de signos? Razona tu respuesta.

Determina el dominio de la función $f(x) = \frac{x + 1}{x - 3}$ e indica su asíntota vertical, estudiando los límites laterales en el punto que no pertenece al dominio.

Comprueba que la función $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ tiene una asíntota horizontal y calcula su ecuación estudiando el límite cuando $x \to \pm \infty$.

Realiza la división $\frac{x^2 + 1}{x}$ y comprueba que la gráfica de $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ se acerca a la recta $y = x$ cuando $x \to \pm \infty$, como ilustra la figura. ¿Qué nombre recibe esa recta?

Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «Si una función tiene una asíntota horizontal, su gráfica nunca puede cortar a dicha asíntota». Si es falsa, verifícalo con la función $f(x) = \frac{2x^2 + x}{x^2 + 1}$, comprobando que su gráfica corta a su asíntota horizontal en algún punto.

Un alumno afirma que la gráfica de la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ es la parábola que aparece en la figura. Explica el error que ha cometido, simplifica la expresión de $f$ y describe cómo es realmente su gráfica, indicando qué ocurre en $x = 2$.

Considera la función $f(x) = \frac{x^3 + 2x}{x^2 + 1}$.

1. a) Realiza la división y comprueba que $f(x) = x + \frac{x}{x^2 + 1}$, deduciendo que la recta $y = x$ es asíntota oblicua.

1. b) Determina en qué punto corta la gráfica a su asíntota oblicua y estudia en qué regiones la curva queda por encima y por debajo de ella.

1. c) Completa el estudio (simetría, monotonía) y dibuja la gráfica junto con la asíntota.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Estudia y representa gráficamente la función $f(x) = x^3 - 3x^2$ siguiendo estos pasos:

1. a) Puntos de corte con los ejes.

1. b) Derivada, puntos singulares e intervalos de monotonía.

1. c) Máximos y mínimos relativos.

1. d) Dibuja la gráfica recogiendo toda la información anterior.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Estudia y representa la función $f(x) = x \times (x - 2)^2$: puntos de corte con los ejes (observa la raíz doble y qué implica para la gráfica en $x = 2$), intervalos de monotonía, extremos relativos y dibujo.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Estudia y representa la función bicuadrada $f(x) = x^4 - 2x^2$: simetría, puntos de corte con los ejes, intervalos de monotonía, extremos relativos y dibujo de la gráfica.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Observa la siguiente gráfica de una función polinómica. Identifica los intervalos en los que la función es convexa (forma de $\cup$) y cóncava (forma de $\cap$). Señala también las coordenadas aproximadas de su punto de inflexión.

La siguiente gráfica corresponde a la función de proporcionalidad inversa $y = -\frac{2}{x}$. A partir de la observación de la curva, determina los intervalos de concavidad y convexidad. ¿Tiene esta función algún punto de inflexión en su dominio?

Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta detalladamente:

«Un punto de inflexión es aquel punto de la gráfica en el que la función pasa de ser creciente a ser decreciente, o viceversa».

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Representa gráficamente la función de forma esquemática. Estudia su concavidad y convexidad en los intervalos $(-\infty, 0)$ y $(0, +\infty)$. ¿Es el origen de coordenadas un punto de inflexión? Justifica tu respuesta.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$, se sabe por su gráfica que su punto de inflexión se encuentra situado exactamente en la coordenada $x$ que es el punto medio entre sus dos extremos relativos (un máximo local en $x=1$ y un mínimo local en $x=3$).

Calcula las coordenadas exactas del punto de inflexión y determina los intervalos de concavidad ($\cap$) y convexidad ($\cup$) de la función.

Una propiedad geométrica fundamental de las funciones convexas ($\cup$) es que el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de su gráfica siempre queda por encima de la curva.

Comprueba analíticamente esta propiedad para la función $f(x) = x^2$. Para ello, halla la ecuación de la recta secante que pasa por los puntos de la gráfica con abscisas $x = -1$ y $x = 3$. Luego, calcula el valor de la recta en $x = 1$ y comprueba que es estrictamente mayor que $f(1)$.

El siguiente gráfico representa la distancia recorrida por un vehículo en función del tiempo a lo largo de un trayecto. Analiza la curvatura en los tres tramos marcados (A, B y C) y relaciona si la función es cóncava, convexa o lineal con el estado de movimiento del vehículo (acelerando, frenando o velocidad constante).

Durante una epidemia, el número total de personas contagiadas se modela mediante la curva que aparece en la figura. Identifica el punto de inflexión de la gráfica. ¿Qué nombre recibe este punto en el lenguaje epidemiológico popular y qué indica sobre el ritmo diario de nuevos contagios?

Se está vertiendo agua a un ritmo constante en tres recipientes de cristal con formas diferentes: un cilindro recto, un cono con el vértice hacia abajo y un cono con el vértice hacia arriba. Asocia cada recipiente con la forma que tendrá la gráfica de la altura del agua en función del tiempo: convexa ($\cup$), cóncava ($\cap$) o lineal. Razona tu respuesta observando cómo varía la anchura del recipiente.

La figura muestra la gráfica completa de una función racional, con sus asíntotas dibujadas a trazos. A partir de la lectura de la gráfica, indica: dominio, puntos de corte con los ejes, ecuaciones de las asíntotas e intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Estudia y representa la función racional $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$: dominio, puntos de corte, asíntotas verticales y horizontales con sus límites, monotonía mediante la derivada y dibujo de la gráfica.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Estudia y representa la función $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$: dominio, puntos de corte, asíntota vertical, asíntota oblicua (realiza la división), intervalos de monotonía y extremos relativos, y dibujo de la gráfica.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Realiza el estudio completo y la representación gráfica de $f(x) = \frac{x^2}{x - 2}$:

1. a) Dominio, puntos de corte y simetrías.

1. b) Asíntotas vertical, horizontal y oblicua, con los límites correspondientes.

1. c) Intervalos de monotonía y extremos relativos.

1. d) Posición de la curva respecto de la asíntota oblicua y dibujo final.

Estudia y representa la función definida a trozos

analizando: dominio, continuidad en el punto de unión, monotonía en cada tramo, extremos relativos y dibujo de la gráfica completa.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

La función $f(x) = |x^2 - 4|$ representa el valor absoluto de una parábola y su gráfica tiene forma de "W" redondeada.

Observa su gráfica y determina en qué intervalos la función es cóncava ($\cap$) y en cuáles es convexa ($\cup$). ¿Se pueden considerar los puntos $x=-2$ y $x=2$ (marcados en rojo) como puntos de inflexión propiamente dichos? Razona tu respuesta.

Un ingeniero está diseñando el perfil de una montaña rusa. El primer tramo de descenso sigue la ecuación $y = -x^2 + 4$ para $x \le 1$. Para suavizar la transición hacia la subida, decide empalmar en $x = 1$ un segundo tramo con forma de parábola $y = a(x - 2)^2 + b$ para $x > 1$.

Para que el empalme sea suave, la función total debe ser continua y derivable en $x = 1$ (sin saltos ni picos). Además, en ese punto debe cambiar la curvatura: el primer tramo es cóncavo y el segundo debe ser convexo, de modo que $x = 1$ sea un punto de inflexión.

1. a) Halla los valores de $a$ y $b$ imponiendo la continuidad y la derivabilidad en $x = 1$.

1. b) Comprueba que con esos valores se cumple el cambio de curvatura en $x = 1$, estudiando el signo de la segunda derivada de cada tramo.

Se mide la temperatura de un vaso de agua caliente en una cocina a $20\ \text{°C}$ y se obtienen los datos de la figura. El modelo propuesto es $T(t) = 20 + \frac{80}{t + 1}$, con $t$ en minutos.

1. a) Comprueba que el modelo es coherente con los primeros datos de la figura.

1. b) Estudia la monotonía de $T(t)$ para $t \geq 0$ mediante su derivada.

1. c) Calcula la asíntota horizontal e interpreta su significado físico.

1. d) Esboza la gráfica del modelo para $t \geq 0$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Tras tomar un medicamento en ayunas, su concentración en sangre, en $\text{mg/l}$, se modela con $C(t) = \frac{4t}{t^2 + 1}$, donde $t \geq 0$ son las horas transcurridas.

1. a) Estudia la monotonía de $C(t)$ y determina en qué momento la concentración es máxima y cuánto vale.

1. b) Calcula la asíntota horizontal e interprétala en el contexto.

1. c) Determina durante qué intervalo de tiempo la concentración supera $1\ \text{mg/l}$.

1. d) Esboza la gráfica completa del modelo.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Estudia y representa la función $f(x) = x \times e^{-x}$: dominio, puntos de corte, asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$, comportamiento cuando $x \to -\infty$, intervalos de monotonía, extremo relativo y dibujo de la gráfica.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Estudia y representa la función $f(x) = \frac{\ln x}{x}$: dominio, punto de corte con el eje de abscisas, límites en los extremos del dominio (en particular la asíntota vertical y la horizontal), intervalos de monotonía, extremo relativo y dibujo de la gráfica.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.