Proporcionalitat inversa
Per al viatge de final de curs llogueu un autobús. Si hi aneu 40, cadascú paga 15 €. Si hi aneu 20, cadascú paga 30 €. La meitat d'alumnes, el doble de preu per cap. Quan una magnitud puja i l'altra baixa en la mateixa proporció, són inversament proporcionals.
Magnituds inversament proporcionals
| Alumnes ($x$) | 10 | 20 | 30 | 40 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|
| € per alumne ($y$) | 60 | 30 | 20 | 15 | 10 |
| $x \cdot y$ | 600 | 600 | 600 | 600 | 600 |
La constant $k = 600$ € és el preu total de l'autobús, que no canvia.
Indica raonadament si els parells de magnituds següents mantenen una relació de proporcionalitat inversa: a) El nombre d'amics que es reuneixen per comprar un regal de…
Indica raonadament si els parells de magnituds següents mantenen una relació de proporcionalitat inversa:
- a) El nombre d'amics que es reuneixen per comprar un regal de $60 \text{ €}$ i la quantitat de diners que ha de posar cadascú.
- b) El temps que deixes carregant un mòbil i el percentatge de bateria que recupera.
- c) La velocitat a la qual camina un excursionista i el temps que triga a recórrer una ruta de $10 \text{ km}$.
- d) El nombre de pàgines d'un llibre i el pes total d'aquest.
Completa la taula següent al teu quadern sabent que les magnituds A i B són inversament proporcionals. Calcula primer la constant de proporcionalitat inversa $k$. |…
Completa la taula següent al teu quadern sabent que les magnituds A i B són inversament proporcionals. Calcula primer la constant de proporcionalitat inversa $k$.
| Magnitud A | $2$ | $4$ | $6$ | ... | $12$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Magnitud B | $12$ | ... | ... | $3$ | ... |
La gràfica: una hipèrbola
Els punts d'una proporcionalitat inversa no formen una recta: formen una corba anomenada hipèrbola, que s'acosta als eixos però no els toca mai (mai $x$ ni $y$ valen 0).
Fixa't en moure el cursor: en qualsevol punt, $x \cdot y$ dona sempre $k$.
Un ciclista que avança a una velocitat constant de $20 \text{ km/h}$ triga $45$ minuts a recórrer la distància entre dos pobles. Si augmentés la seva velocitat fins als…
Un ciclista que avança a una velocitat constant de $20 \text{ km/h}$ triga $45$ minuts a recórrer la distància entre dos pobles. Si augmentés la seva velocitat fins als $30 \text{ km/h}$, quants minuts trigaria a fer el mateix recorregut?
Regla de tres inversa
Un grup de $4$ estudiants de 3r d'ESO ha decidit netejar un tram de platja després d'un festival de música. Calculen que trigaran $6$ hores a deixar-ho tot impecable. Si…
Un grup de $4$ estudiants de 3r d'ESO ha decidit netejar un tram de platja després d'un festival de música. Calculen que trigaran $6$ hores a deixar-ho tot impecable. Si finalment s'hi uneixen $4$ amics més (sent $8$ en total), quant de temps trigaran a acabar la neteja si tots treballen al mateix ritme?
Per al viatge de final de curs, els alumnes han llogat un autobús. Si hi van $40$ alumnes, cadascú ha de pagar $15 \text{ €}$. A última hora, $10$ alumnes es posen…
Per al viatge de final de curs, els alumnes han llogat un autobús. Si hi van $40$ alumnes, cadascú ha de pagar $15 \text{ €}$. A última hora, $10$ alumnes es posen malalts i no hi poden anar. Quant haurà de pagar cadascun dels alumnes restants per cobrir el cost total de l'autobús?
Un ramader té farratge emmagatzemat per alimentar les seves $20$ vaques durant $30$ dies. Si decideix vendre $5$ de les seves vaques per reduir despeses, durant quants…
Un ramader té farratge emmagatzemat per alimentar les seves $20$ vaques durant $30$ dies. Si decideix vendre $5$ de les seves vaques per reduir despeses, durant quants dies podrà alimentar les vaques que li queden amb la mateixa quantitat de farratge?
Proporcionalitat composta
Quan intervenen tres o més magnituds, es compara cadascuna amb la incògnita per separat (suposant que les altres no canvien) per veure si és directa o inversa.
Tres aixetes iguals triguen $10$ hores a omplir un dipòsit d'aigua destinat al reg d'un hort escolar. Es vol reduir el temps d'ompliment perquè l'aigua estigui a punt…
Tres aixetes iguals triguen $10$ hores a omplir un dipòsit d'aigua destinat al reg d'un hort escolar. Es vol reduir el temps d'ompliment perquè l'aigua estigui a punt abans que comencin les classes.
Quantes aixetes del mateix tipus s'haurien d'afegir perquè el dipòsit s'ompli en només $6$ hores? Expressa el resultat en nombre d'aixetes addicionals.
Cinc impressores 3D d'última generació triguen $4$ hores a imprimir les peces de $20$ maquetes de robots escolars. Calcula quantes impressores de les mateixes…
Cinc impressores 3D d'última generació triguen $4$ hores a imprimir les peces de $20$ maquetes de robots escolars.
Calcula quantes impressores de les mateixes característiques es necessitarien per fabricar aquestes mateixes $20$ maquetes en tan sols $100$ minuts. (Ves amb compte amb les unitats de temps abans de fer els càlculs).