Angles, longituds i àrees
Per posar el terra en una plaça hexagonal, tancar un parc amb una tanca o saber quina porció de pizza és més gran, necessites mesurar angles, longituds i àrees. Quasi tot surt d'unes poques idees: els angles d'un triangle sumen 180°, el teorema de Pitàgores i descompondre les figures en altres de més senzilles.
Relacions entre angles
Quan una recta talla dues paral·leles, es formen angles iguals per parelles:
Un dissenyador està creant un mosaic per al terra d'una plaça utilitzant rajoles amb forma d'hexàgon regular. Calcula quant mesura la suma de tots els angles interiors…
Un dissenyador està creant un mosaic per al terra d'una plaça utilitzant rajoles amb forma d'hexàgon regular. Calcula quant mesura la suma de tots els angles interiors de l'hexàgon i quin és el valor de cadascun dels seus angles interns.
Una empresa de disseny està creant un nou logotip basat en un hexàgon regular de $6$ cm de costat. Dins de l'hexàgon, han traçat les diagonals que connecten vèrtexs…
Una empresa de disseny està creant un nou logotip basat en un hexàgon regular de $6$ cm de costat. Dins de l'hexàgon, han traçat les diagonals que connecten vèrtexs alterns, formant una "estrella de David" o hexagrama. Calcula el valor dels angles interns dels triangles que formen l'estrella i determina l'àrea de la part ombrejada (l'estrella central) sabent que l'apotema de l'hexàgon original és aproximadament $5,2$ cm.
Angles en la circumferència
-
Angle central: el seu vèrtex és el centre. Mesura el mateix que l'arc que abasta.
-
Angle inscrit: el seu vèrtex és sobre la circumferència. Mesura la meitat del central que abasta el mateix arc.
Observa la circumferència següent de centre $O$. Si l'angle central $\angle AOB$ mesura $80^\circ$, calcula el valor de l'angle inscrit $\angle ACB$ que abasta el mateix…
Observa la circumferència següent de centre $O$. Si l'angle central $\angle AOB$ mesura $80^\circ$, calcula el valor de l'angle inscrit $\angle ACB$ que abasta el mateix arc.
El teorema de Pitàgores
El dibuix ho explica amb àrees: el quadrat construït sobre la hipotenusa té la mateixa àrea que els altres dos junts.
Usos típics:
-
Trobar un costat coneixent els altres dos: catet $= \sqrt{c^2 - a^2}$.
-
Diagonal d'un rectangle $a \times b$: $\sqrt{a^2 + b^2}$.
-
Altura d'un triangle equilàter de costat $l$: $h = \sqrt{l^2 - (l/2)^2} = \frac{\sqrt 3}{2}\,l$.
-
Apotema d'un polígon regular: amb el radi i mig costat.
Un operari de manteniment vol instal·lar una càmera de seguretat a la cantonada d'un magatzem rectangular. Per fer-ho, recolza una escala de $5$ metres de longitud de…
Un operari de manteniment vol instal·lar una càmera de seguretat a la cantonada d'un magatzem rectangular. Per fer-ho, recolza una escala de $5$ metres de longitud de manera que el peu d'aquesta dista exactament $1,4$ metres de la paret. Ara bé, s'adona que per tenir l'angle de visió correcte, necessita que la càmera estigui $60$ cm més alta. Quina longitud mínima hauria de tenir la nova escala si manté el peu en el mateix punt?
Un màstil de senyals de $8$ metres d'altura projecta una ombra de $6$ metres sobre el terra a les 11:00 del matí. En aquest mateix instant, l'ombra d'una torre de…
Un màstil de senyals de $8$ metres d'altura projecta una ombra de $6$ metres sobre el terra a les 11:00 del matí. En aquest mateix instant, l'ombra d'una torre de refrigeració propera mesura $45$ metres.
-
Utilitza la semblança de triangles per calcular l'altura de la torre.
-
Si el cable de seguretat que va des de la punta del màstil de senyals fins a l'extrem de la seva ombra estigués tens, quina longitud tindria?
Àrees de polígons
L'ajuntament vol tancar un parc rectangular que mesura $40$ metres de llarg i $30$ metres d'ample. A més, volen construir un camí en línia recta que creui el parc d'una…
L'ajuntament vol tancar un parc rectangular que mesura $40$ metres de llarg i $30$ metres d'ample. A més, volen construir un camí en línia recta que creui el parc d'una cantonada a l'oposada (la diagonal). Utilitza el teorema de Pitàgores per calcular la longitud d'aquest camí.
Una empresa de senyalització està fabricant una placa de "Atenció" amb forma de rombe. Si les diagonals del rombe mesuren $16$ cm i $12$ cm respectivament, calcula…
Una empresa de senyalització està fabricant una placa de "Atenció" amb forma de rombe. Si les diagonals del rombe mesuren $16$ cm i $12$ cm respectivament, calcula l'àrea de la placa de metall necessària per fabricar-la.
Calcula l'àrea d'un pentàgon regular si sabem que el seu costat mesura $10$ cm i la seva apotema mesura aproximadament $6,88$ cm.
Calcula l'àrea d'un pentàgon regular si sabem que el seu costat mesura $10$ cm i la seva apotema mesura aproximadament $6,88$ cm.
Un arquitecte ha dissenyat una finestra per a un centre cultural amb forma de trapezi isósceles. La base major mesura $2,8$ metres, la base menor mesura $1,6$ metres i…
Un arquitecte ha dissenyat una finestra per a un centre cultural amb forma de trapezi isósceles. La base major mesura $2,8$ metres, la base menor mesura $1,6$ metres i els costats no paral·lels mesuren $1,2$ metres cadascun. Per al pressupost, necessita calcular l'àrea total del vidre i la suma dels angles interiors de la finestra per encarregar el marc metàl·lic. Quina és l'àrea de la finestra?
Cercle i figures circulars
| Figura | Longitud | Àrea |
|---|---|---|
| Circumferència / cercle | $L = 2\pi r$ | $A = \pi r^2$ |
| Arc / sector de $n°$ | $L = \dfrac{2\pi r \cdot n}{360}$ | $A = \dfrac{\pi r^2 \cdot n}{360}$ |
| Corona circular | — | $A = \pi\,(R^2 - r^2)$ |
| Segment circular | — | sector − triangle |
En una pizzeria, una pizza familiar té un diàmetre de $40$ cm. Si tallem una ració que forma un sector circular amb un angle central de $60^\circ$, calcula l'àrea…
En una pizzeria, una pizza familiar té un diàmetre de $40$ cm. Si tallem una ració que forma un sector circular amb un angle central de $60^\circ$, calcula l'àrea d'aquest tall de pizza. (Utilitza $\pi \approx 3,14$).
En una plaça de la teva ciutat hi ha una rajola gegant amb forma de corona circular. El radi del cercle exterior és de $4$ metres. Es sap que l'àrea de la part…
En una plaça de la teva ciutat hi ha una rajola gegant amb forma de corona circular. El radi del cercle exterior és de $4$ metres. Es sap que l'àrea de la part transitable (la corona en si) és de $7\pi$ $m^2$. Calcula el radi del cercle interior i determina la longitud de la tanca circular que caldria posar per envoltar únicament el forat interior.
Calcula l'àrea d'un segment circular de $90^\circ$ d'amplitud que pertany a una circumferència de radi $12$ cm.
Calcula l'àrea d'un segment circular de $90^\circ$ d'amplitud que pertany a una circumferència de radi $12$ cm.
Torna al principi: Per saber quina porció de pizza és més gran has de comparar-ne les àrees: una porció de $45°$ en una pizza de $40\text{ cm}$ de diàmetre té $157{,}1\text{ cm}^2$, mentre que un quart sencer ($90°$) en una pizza de $20\text{ cm}$ en té només $78{,}5\text{ cm}^2$.