Equacions de segon grau

Per a cadascuna de les equacions de segon grau següents, identifica els coeficients $a$, $b$ i $c$ i indica si es tracta d'una equació completa o incompleta:

1. a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
2. b) $2x^2 - 32 = 0$
3. c) $x^2 + 8x = 0$
4. d) $3 - x^2 + 2x = 0$

Comprova, sense resoldre l'equació, si els valors de $x$ proposats són solució de la igualtat $x^2 - 4x + 3 = 0$:

1. a) $x = 1$
2. b) $x = 0$
3. c) $x = 3$
4. d) $x = -1$

Resol les següents equacions de segon grau incompletes del tipus $ax^2 + c = 0$. Recorda que si el resultat de l'arrel quadrada no és un nombre real, ho has d'indicar:

1. a) $x^2 - 25 = 0$
2. b) $3x^2 - 12 = 0$
3. c) $x^2 + 16 = 0$
4. d) $2x^2 = 50$

Resol les següents equacions de segon grau incompletes del tipus $ax^2 + bx = 0$ mitjançant l'extracció de factor comú:

1. a) $x^2 - 7x = 0$
2. b) $2x^2 + 10x = 0$
3. c) $3x^2 = 6x$
4. d) $x^2 + x = 0$

L'àrea de la base quadrada d'una caixa d'emmagatzematge per a videojocs és de $144\text{ cm}^2$. Calcula quant mesura el costat de la base plantejant una equació de segon grau.

Aplica la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ per trobar les solucions de les equacions completes següents:

1. a) $x^2 - 6x + 8 = 0$
2. b) $x^2 + x - 12 = 0$

Resol la següent equació de segon grau simplificant primer les expressions algebraices mitjançant el desenvolupament de les identitats notables:

Recorda que per aplicar la fórmula general, primer has de reduir l'equació a la forma $ax^2 + bx + c = 0$.

Calcula el valor del discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ per a cada equació i indica si té dues solucions, una solució doble o cap solució real (no cal que calculis les solucions):

1. a) $x^2 - 4x + 4 = 0$
2. b) $x^2 + 2x + 5 = 0$
3. c) $x^2 - 5x - 1 = 0$

Estudia el discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$) de les equacions següents i determina, sense resoldre-les, quantes solucions reals té cadascuna. Justifica la teva resposta en cada cas:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
2. b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
3. c) $3x^2 - 4x - 2 = 0$

Quin valor hauria de prendre el terme independent en l'equació a) perquè de sobte no tingués solució?

Dada l'equació de segon grau $x^2 - (k-2)x + k = 0$, determina quins valors ha de prendre el paràmetre $k$ perquè l'equació tingui una única solució real (solució doble).

Les equacions biquadràtiques es poden resoldre fent un canvi de variable $t = x^2$. Utilitza aquesta tècnica per trobar les quatre solucions reals de la següent equació:

Si al quadrat d'un nombre enter li sumem el seu triple, obtenim com a resultat zero. De quins nombres es podria tractar? Planteja l'equació i troba les possibles solucions.

El producte de dos nombres naturals consecutius és igual a la seva suma augmentada en $19$ unitats. De quins nombres estem parlant?

Volem posar un marc de fusta d'amplada constant $x$ al voltant d'una fotografia rectangular de $10\text{ cm}$ per $15\text{ cm}$. Si sabem que l'àrea total (foto més marc) ha de ser de $300\text{ cm}^2$, quina ha de ser l'amplada $x$ del marc?