Llocs geomètrics

Un jove entrena el seu gos en un descampat. El gos està subjecte a una corretja extensible de $5$ metres de longitud màxima, ancorada a una estaca clavada al terra. Dibuixa i descriu el lloc geomètric que formen les posicions per les quals pot moure's el gos si manté la corretja sempre tensa (és a dir, estirada al màxim). Tria una escala adequada, per exemple $1$ cm en el dibuix equival a $1$ m en la realitat, i assenyala en el teu dibuix l'estaca i la posició del gos.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teua resposta.

Dos pobles, Poble A i Poble B, estan situats a una distància de $8$ km entre ells, com mostra la figura. Les autoritats volen construir una parada d'autobús que estigui exactament a la mateixa distància de tots dos pobles. En quina línia o lloc geomètric han de situar la parada? Representa-ho gràficament al teu quadern.

Al pati d'un institut, dues antenes de Wi-Fi estan situades en els punts $A$ i $B$, separats per una distància de $12$ metres (la figura mostra només les antenes). Un estudiant busca un lloc per seure on rebi la mateixa intensitat de senyal de totes dues antenes.

1. a) Descriu quin lloc geomètric formen tots els punts que estan a la mateixa distància d'$A$ i de $B$.

1. b) Si l'estudiant a més vol estar exactament a $10$ metres de l'antena $A$, en quants punts possibles del pati podria situar-se? Explica quines figures geomètriques hauries de dibuixar per trobar-los.

En un museu, dues parets formen un angle de $70^\circ$. Es vol instal·lar una vitrina que estigui situada sempre a la mateixa distància de totes dues parets. Dibuixa l'angle i traça el lloc geomètric on es podrien col·locar els objectes de la vitrina. Com es diu tècnicament aquesta línia?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dos carrers rectes d'un barri, el Carrer Major i el Carrer Menor, es creuen en un punt $O$ formant un angle de $60^\circ$, com es veu a la figura. Es vol col·locar una paperera que compleixi dues condicions: que sigui a la mateixa distància dels dos carrers i que disti exactament $5$ metres del punt d'intersecció $O$. Considera els carrers com a rectes que es prolonguen indefinidament en els dos sentits.

1. a) Defineix el lloc geomètric que compleix la primera condició (estar a la mateixa distància dels dos carrers).

1. b) Utilitza el concepte de lloc geomètric per explicar com determinaries la posició exacta de la paperera. Quantes solucions possibles hi ha en total?

Identifica el punt notable del triangle que es descriu en cada cas:

1. a) És el punt que equidista dels tres vèrtexs del triangle.
2. b) És el punt on es tallen les tres altures d'un triangle.
3. c) És el centre de la circumferència inscrita al triangle (la que toca els seus tres costats).
4. d) És el centre de gravetat del triangle i el punt on es tallen les medianes.

Un parc té forma triangular, com mostra la figura. Es vol instal·lar una font a l'interior del parc de manera que la distància de la font a cadascun dels tres camins (costats del parc) sigui la mateixa.

1. a) Quines rectes notables del triangle hauries de dibuixar per trobar la ubicació?

1. b) Com es diu el punt resultant?

S'ha dissenyat un joc de taula on una fitxa s'ha de col·locar al "centre de gravetat" d'una peça triangular de cartró perquè es mantingui en equilibri sobre la punta d'un llapis. Els costats del triangle mesuren $15$ cm, $20$ cm i $25$ cm. A la figura pots veure la peça $ABC$ (amb l'angle recte en $A$), les seves tres medianes i el punt $P$ on es col·loca la fitxa.

1. a) Quin nom rep aquest punt d'equilibri en geometria?
2. b) Si tracem una de les medianes d'aquest triangle, en quina proporció divideix el punt d'equilibri aquesta mediana? Expressa la relació entre la distància del punt al vèrtex i la distància del punt al costat oposat.

Una empresa de logística vol ubicar un magatzem central que doni servei a tres botigues situades als punts $A(2, 6)$, $B(2, 0)$ i $C(10, 0)$ (unitats en km). Per minimitzar els costos de transport, el magatzem ha d'estar a la mateixa distància de les tres botigues.

1. a) Determina les coordenades del punt on s'ha de situar el magatzem mitjançant l'estudi de les mediatrius.

1. b) Com s'anomena el lloc geomètric dels punts que són a una distància de $5$ km del punt $B$? Estaria la botiga $C$ dins d'aquesta zona?