Exercicis: Proporcionalitat inversa

Indica raonadament si els parells de magnituds següents mantenen una relació de proporcionalitat inversa:

1. a) El nombre d'amics que es reuneixen per comprar un regal de $60 \text{ €}$ i la quantitat de diners que ha de posar cadascú.
2. b) El temps que deixes carregant un mòbil i el percentatge de bateria que recupera.
3. c) La velocitat a la qual camina un excursionista i el temps que triga a recórrer una ruta de $10 \text{ km}$.
4. d) El nombre de pàgines d'un llibre i el pes total d'aquest.

Completa la taula següent al teu quadern sabent que les magnituds A i B són inversament proporcionals. Calcula primer la constant de proporcionalitat inversa $k$.

Un grup de $4$ estudiants de 3r d'ESO ha decidit netejar un tram de platja després d'un festival de música. Calculen que trigaran $6$ hores a deixar-ho tot impecable. Si finalment s'hi uneixen $4$ amics més (sent $8$ en total), quant de temps trigaran a acabar la neteja si tots treballen al mateix ritme?

Per al viatge de final de curs, els alumnes han llogat un autobús. Si hi van $40$ alumnes, cadascú ha de pagar $15 \text{ €}$. A última hora, $10$ alumnes es posen malalts i no hi poden anar. Quant haurà de pagar cadascun dels alumnes restants per cobrir el cost total de l'autobús?

Un ramader té farratge emmagatzemat per alimentar les seves $20$ vaques durant $30$ dies. Si decideix vendre $5$ de les seves vaques per reduir despeses, durant quants dies podrà alimentar les vaques que li queden amb la mateixa quantitat de farratge?

Tres aixetes iguals triguen $10$ hores a omplir el dipòsit d'aigua d'un poliesportiu. Si volem que el dipòsit s'ompli en només $6$ hores per poder obrir les instal·lacions abans, quantes aixetes iguals a les anteriors necessitarem tenir obertes en total?

Un ciclista que avança a una velocitat constant de $20 \text{ km/h}$ triga $45$ minuts a recórrer la distància entre dos pobles. Si augmentés la seva velocitat fins als $30 \text{ km/h}$, quants minuts trigaria a fer el mateix recorregut?

En una impremta petita, $2$ màquines treballant a ple rendiment triguen $40$ minuts a imprimir els fullets d'una festa local. Si una de les màquines s'avaria i només en pot treballar una, quant de temps (en minuts i hores) trigarà a completar la mateixa feina? I si tinguessin $4$ màquines iguals funcionant?

En Marcos està planificant un viatge en cotxe de $360\text{ km}$ entre Madrid i Zaragoza. Sap que conduint a una velocitat mitjana reglamentària de $120\text{ km/h}$ triga exactament $3$ hores. Per consumir menys combustible, decideix viatjar a una velocitat mitjana de $90\text{ km/h}$ i escriu el següent plantejament a la seva llibreta per calcular el temps $t$ que trigarà:

Conclou convençut que trigarà $2$ hores i $15$ minuts.

1. a) Sense fer càlculs addicionals, raona per què el resultat obtingut per en Marcos contradiu el sentit comú i explica quin error conceptual ha comès respecte a la relació de proporcionalitat entre la velocitat i el temps.
2. b) Corregeix l'exercici: troba la constant de proporcionalitat inversa $k$, indica quina magnitud física representa en aquest context i calcula quant de temps trigarà realment en Marcos a $90\text{ km/h}$ (expressa el resultat final en hores senceres).

Un grup de $4$ amics lloga una casa rural a la Sierra de Cazorla per passar un cap de setmana. El preu total del lloguer és fix i han acordat repartir-lo a parts iguals, corresponent exactament $75$ € a cadascun. Just abans de fer la reserva definitiva, s'uneixen $2$ amics més al viatge, de manera que el grup final passa a ser de $6$ persones.

1. a) Abans de calcular el preu exacte, fes una estimació raonada: el preu que pagarà cadascun estarà entre $37,50$ € i $75$ €, o bé serà menor de $37,50$ €? Justifica-ho analitzant què hauria passat si el nombre d'amics inicial s'hagués duplicat.
2. b) Comprova la teva estimació calculant la constant de proporcionalitat inversa $k$ (el preu total de l'allotjament) i el cost exacte per persona per a les $6$ persones. Coincideix el resultat amb la teva predicció prèvia?

Un grup d'estudiants de 3r d'ESO està organitzant un sopar de final de curs. El restaurant els ha donat un pressupost fix pel lloguer del saló i el menú especial, que es repartirà a parts iguals entre tots els assistents.

Copia al teu quadern i completa la taula següent per analitzar com varia el preu per persona depenent de quants alumnes s'apuntin finalment:

Calcula la constant de proporcionalitat inversa $k'$ i explica quin significat té en aquest context.

Per completar un desafiament d'una aplicació d'entrenament, la Lucía ha de recórrer una distància de $12$ km amb el seu patinet elèctric. Si manté una velocitat constant de $15$ km/h, triga exactament $48$ minuts.

Si l'endemà decideix anar més tranquil·la a una velocitat de $10$ km/h per estalviar bateria, quants minuts trigarà a completar el mateix recorregut? I si volgués trigar només mitja hora, a quina velocitat hauria de circular?

Una protectora d'animals ha rebut una donació de sacs de pinso. Amb els $45$ gossos que tenen actualment al refugi, hi ha menjar suficient per a $20$ dies.

No obstant això, després d'una campanya de rescat, el nombre de gossos augmenta fins als $60$. Quants dies durarà ara la mateixa quantitat de pinso? Si volguessin que el menjar durés $25$ dies, quin és el nombre màxim de gossos que podrien mantenir al refugi?

Tres aixetes iguals triguen $10$ hores a omplir un dipòsit d'aigua destinat al reg d'un hort escolar. Es vol reduir el temps d'ompliment perquè l'aigua estigui a punt abans que comencin les classes.

Quantes aixetes del mateix tipus s'haurien d'afegir perquè el dipòsit s'ompli en només $6$ hores? Expressa el resultat en nombre d'aixetes addicionals.

En un concurs de disseny de videojocs, el jurat reparteix un premi de $2800$ € de forma inversament proporcional al nombre d'errors detectats en la fase de comprovació.

L'equip "Pixel" va tenir $2$ errors, l'equip "Voxel" va tenir $4$ errors i l'equip "Sprite" va tenir $5$ errors. Quina quantitat de diners rebrà cada equip?

Un equip de $8$ operaris d'una empresa d'esdeveniments triga $12$ hores a muntar tot l'escenari i la il·luminació per a un festival de música, treballant a un ritme constant.

Si el festival avança la seva obertura i només disposen de $6$ hores per al muntatge, quants operaris haurien de treballar en total? Si finalment compten amb $16$ operaris, en quant de temps acabarien la feina?

Per envasar una partida d'oli d'oliva ecològic, s'han utilitzat $400$ ampolles de $0,75$ litres cadascuna. Per motius de màrqueting, la cooperativa decideix canviar el format de les ampolles a envasos d'un terç de litre ($1/3$ de litre).

Quantes ampolles d'aquesta nova mida es necessitaran per envasar la mateixa quantitat d'oli? Si disposem de $1200$ ampolles de mig litre ($0,5$ litres), podrem envasar toda la partida?

Cinc impressores 3D d'última generació triguen $4$ hores a imprimir les peces de $20$ maquetes de robots escolars.

Calcula quantes impressores de les mateixes característiques es necessitarien per fabricar aquestes mateixes $20$ maquetes en tan sols $100$ minuts. (Ves amb compte amb les unitats de temps abans de fer els càlculs).

En una almàssera de Jaén durant la campanya de recollida d'olives, una colla de $8$ jornalers equipats amb vibradores mecàniques triga $15$ hores de feina contínua a recol·lectar i omplir un remolc especial de gran capacitat.

1. a) Modela la situació: defineix les dues variables que hi intervenen, escriu la fórmula de la funció de proporcionalitat inversa $y = \frac{k}{x}$ que les relaciona i interpreta quin significat físic concret té la constant $k$ en aquest context de treball agrícola.
2. b) Per evitar que l'oliva perdi propietats organolèptiques, l'almàssera exigeix que el remolc s'ompli en un termini màxim de $6$ hores. Suposant que tots els treballadors rendeixen al mateix ritme, quants jornalers com a mínim hauran de treballar simultàniament per aconseguir-ho?
3. c) Des del punt de vista matemàtic i físic, explica per què la gràfica d'aquesta funció (una hipèrbola) no pot tallar mai l'eix d'ordenades ($x = 0$) ni l'eix d'abscisses ($y = 0$).

Una funció de proporcionalitat inversa té per expressió algebraica $y = \frac{k}{x}$ (amb $x > 0$). La seva gràfica passa per un punt desconegut $(a, b)$. Es comprova que si a la variable independent se li sumen $6$ unitats (és a dir, passa a valer $a + 6$), el valor de la variable dependent es redueix a la quarta part del seu valor original, transformant-se en $\frac{b}{4}$. A més, es coneix la dada addicional que per a $x = 8$, el valor de la funció és $y = 4,5$.

1. a) Planteja una equació igualant els productes creuats de les dues situacions que involucren la constant $k$ per deduir el valor exacte d'$a$.
2. b) A partir del valor d'$a$ i de la dada addicional, calcula la constant $k$, escriu la fórmula definitiva de la funció i dona les coordenades exactes del punt $(a, b)$.
3. c) Inventa una situació quotidiana versemblant (indicant magnituds i unitats de mesura) que quedi descrita amb exactitud per la fórmula que has obtingut.

Una empresa de logística utilitza drons per repartir paquets en una zona residencial. S'ha comprovat que $12$ drons, treballant $8$ hores al dia, triguen $6$ dies a lliurar totes les comandes d'una setmana. A causa d'una actualització del programari, l'eficiència de cada dron augmenta un $20\%$. Si l'empresa decideix reduir la jornada dels drons a només $5$ hores diàries i el volum de comandes ha augmentat de manera que ara hi ha un $25\%$ més de paquets, quants drons es necessitaran per completar el repartiment en només $4$ dies?

El sistema de transmissió d'una bicicleta de competició consta d'un plat (connectat als pedals) i un pinyó (connectat a la roda del darrere). Quan el ciclista utilitza un plat de $52$ dents i un pinyó de $13$ dents, per cada pedalada completa, la roda del darrere fa $4$ voltes. Si el ciclista canvia a un pinyó de $26$ dents per pujar un pendent, quantes voltes farà la roda del darrere per cada pedalada? Si al cim canvia el plat a un de $34$ dents mantenint el pinyó de $26$, calcula la nova relació de transmissió (voltes de roda per pedalada). Raona per què la relació entre el nombre de dents i les voltes és inversament proporcional.

Un ajuntament contracta una colla de $15$ operaris per construir un skatepark en $20$ dies, treballant $6$ hores diàries. Després de $8$ dies de feina, l'ajuntament sol·licita que l'obra estigui acabada $4$ dies abans del previst perquè coincideixi amb les festes locals. En aquest mateix moment, $3$ operaris causen baixa. Quantes hores diàries hauran de treballar els operaris restants per complir el nou termini de lliurament?

Un grup de biòlegs marins estudia la relació entre la pressió i el volum d'un gas a l'interior d'un dispositiu de mostratge (llei de Boyle). Al nivell del mar ($1$ atm de pressió), el gas ocupa un volum de $24$ litres. En submergir-se a una profunditat determinada, la pressió augmenta a $3,2$ atm. Quin serà el nou volum del gas? Si el dispositiu només suporta una compressió màxima que deixi el volum en $5$ litres, quina és la pressió màxima que pot suportar abans de trencar-se?

Per renderitzar (processar) una pel·lícula d'animació de $90$ minuts, un estudi utilitza una granja de $40$ servidors treballant a ple rendiment durant $12$ dies. L'estudi vol llançar un nou curtmetratge de només $15$ minuts, però necessita que el renderitzat estigui a punt en tan sols $2$ dies. Tanmateix, els nous servidors que han comprat són un $50\%$ més potents que els antics. Quants servidors dels nous seran necessaris per renderitzar el curtmetratge a temps?

Un refugi d'animals té reserves de pinso per alimentar els seus $80$ gossos durant $45$ dies, donant-los $3$ racions diàries de $200$ g cadascuna. Després de $10$ dies, arriben $20$ gossos més rescatats d'una inundació. A més, el veterinari recomana augmentar la quantitat de cada ració a $250$ g però reduint el nombre de racions a $2$ diàries per millorar la digestió. Quants dies durarà el pinso restant per a tots els gossos amb les noves condicions?

En un laboratori de física s'està provant un motor magnètic. Es sap que la velocitat de rotació ($V$) és inversament proporcional al pes de la càrrega ($P$) i directament proporcional al voltatge aplicat ($U$). Amb un voltatge de $120$ V i una càrrega de $10$ kg, el motor gira a $2.400$ rpm. Si mantenim el motor girant a $2.400$ rpm però augmentem la càrrega a $15$ kg, quin ha de ser el nou voltatge? Si finalment baixem el voltatge a $80$ V amb aquesta càrrega de $15$ kg, a quina velocitat girarà el motor?

Durant la campanya de prevenció d'incendis forestals a Galícia, una brigada composta per $6$ bombers forestals consumeix una reserva d'aigua de $18\,000\text{ litres}$ en $10$ dies durant les seves tasques de vigilància i desbrossament. El centre de comandament necessita calcular quants dies durarà un nou dipòsit de $25\,200\text{ litres}$ si l'equip s'amplia a $7$ bombers, assumint que el consum diari per bomber no varia.

Dos tècnics d'emergències proposen estratègies diferents:

• Mètode 1 (Reducció a la unitat): Calcular quants litres consumeix un sol bomber en un sol dia, i a partir d'aquesta taxa calcular els dies que durarà la nova reserva per als $7$ bombers.

• Mètode 2 (Proporcionalitat composta): Identificar la relació (directa o inversa) de cada magnitud amb el nombre de dies i plantejar l'equació de fraccions corresponent.

1. a) Resol el problema aplicant tots dos mètodes pas a pas i comprova que s'obté exactament el mateix resultat.
2. b) Analitza críticament els dos procediments: quin dels mètodes ofereix una major comprensió del significat físic de cada pas intermedi i quin resultaria computacionalment més àgil si haguessis de programar un full de càlcul per avaluar $20$ escenaris amb diferents brigades i dipòsits? Justifica la teva resposta.

El Consorci de Transports d'una ciutat espanyola gestiona una línia circular d'autobús urbà el recorregut total de la qual fa $18\text{ km}$. Durant l'horari vall, els autobusos circulen a una velocitat mitjana constant de $15\text{ km/h}$ (incloent-hi parades i intercanvis de viatgers). La freqüència de pas o interval d'espera entre autobusos consecutius en una parada ($y$, en minuts) depèn exclusivament del nombre de vehicles assignats a la línia ($x$).

1. a) Demostra que el temps que triga un autobús a fer una volta completa al recorregut és de $72$ minuts i dedueix l'expressió de la funció de proporcionalitat inversa $y = \frac{k}{x}$ que determina la freqüència $y$ (en minuts) en funció del nombre d'autobusos $x$.
2. b) En hora punta, la congestió del trànsit redueix la velocitat comercial de la línia a $12\text{ km/h}$. L'Ajuntament fixa per contracte que la freqüència màxima entre autobusos no ha de superar els $6$ minuts ($y \le 6$). Si en horari vall la línia operava amb una freqüència de $12$ minuts, quants autobusos addicionals cal incorporar al servei durant l'hora punta per complir l'exigència municipal?
3. c) Si el Consorci pretengués reduir el temps d'espera entre autobusos exactament a $0$ minuts ($y = 0$), quina resposta dona el model matemàtic? Explica per què, en una via urbana real, aquest model de proporcionalitat inversa col·lapsa quan el valor d'$x$ es fa excessivament gran.