Successions de nombres reals
2, 4, 6, 8, … què ve després? Fàcil: 10. I en 1, 1, 2, 3, 5, 8, …? Una mica més difícil (és 13). Buscar el patró d'una llista de nombres és com desxifrar un codi, i és una de les maneres com les matemàtiques descriuen coses que creixen: estalvis, seguidors, figures que es repeteixen…
Què és una successió
Observa les llistes ordenades de nombres següents. La teva tasca és identificar la regla lògica que segueix cadascuna i escriure els tres termes que continuen la sèrie:…
Observa les llistes ordenades de nombres següents. La teva tasca és identificar la regla lògica que segueix cadascuna i escriure els tres termes que continuen la sèrie:
-
a) $2, 4, 6, 8, \dots$
-
b) $1, 4, 9, 16, \dots$
-
c) $10, 7, 4, 1, \dots$
-
d) $3, 6, 12, 24, \dots$
No totes les successions estan formades per nombres enters (com ara 1, 2, 3...). També poden tenir fraccions o nombres decimals. Observa la successió de nombres reals…
No totes les successions estan formades per nombres enters (com ara 1, 2, 3...). També poden tenir fraccions o nombres decimals. Observa la successió de nombres reals següent:
$$ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots $$-
Escriu els tres termes següents.
-
Quin creus que és el terme general $a_n$? Tria l'opció correcta:
-
Opció A: $a_n = \frac{1}{n}$
-
Opció B: $a_n = \frac{1}{n+1}$
-
Opció C: $a_n = n + 1$
-
El terme general
El terme general $a_n$ és una fórmula que dona qualsevol terme a partir de la seva posició, sense haver de calcular tots els anteriors. És com tenir el «codi font» de la successió.
Si $a_n = n^2 + 1$: $\ a_1 = 2,\ a_2 = 5,\ a_3 = 10,\ \ldots$ i el terme 100 és directament $a_{100} = 10\,001$.
Escriu tu una fórmula en funció de $n$ i mira com són els seus termes:
En matemàtiques, utilitzem fórmules per definir el valor de qualsevol posició en una successió sense haver d'escriure tota la llista. Això s'anomena terme general…
En matemàtiques, utilitzem fórmules per definir el valor de qualsevol posició en una successió sense haver d'escriure tota la llista. Això s'anomena terme general ($a_n$).
Calcula els quatre primers termes ($a_1, a_2, a_3, a_4$) i el terme que ocupa la posició 10 ($a_{10}$) per a les successions següents definides pel seu terme general:
-
a) $a_n = 3n + 1$
-
b) $b_n = n^2 - 2$
Relaciona a la teva llibreta cadascuna de les successions següents amb el seu terme general correcte. Tingues en compte que $n$ representa la posició (1, 2, 3...).…
Relaciona a la teva llibreta cadascuna de les successions següents amb el seu terme general correcte. Tingues en compte que $n$ representa la posició (1, 2, 3...).
Successions:
-
A: $2, 4, 6, 8, \dots$
-
B: $1, 3, 5, 7, \dots$
-
C: $5, 10, 15, 20, \dots$
-
D: $1, 4, 9, 16, \dots$
Termes generals:
-
1: $a_n = 2n - 1$
-
2: $a_n = n^2$
-
3: $a_n = 2n$
-
4: $a_n = 5n$
Donada la successió el terme general de la qual ve donat per l'expressió algebraica $a_n = \frac{n^2 - 1}{n + 1}$, calcula els quatre primers termes i el terme que ocupa…
Donada la successió el terme general de la qual ve donat per l'expressió algebraica $a_n = \frac{n^2 - 1}{n + 1}$, calcula els quatre primers termes i el terme que ocupa la posició 15. Observes alguna curiositat en simplificar l'expressió algebraica inicial?
Lleis de recurrència
De vegades la regla no diu com calcular $a_n$ directament, sinó com obtenir cada terme a partir dels anteriors. Això és una llei de recurrència. La més famosa és la de Fibonacci: cada terme és la suma dels dos anteriors.
$$a_1 = 1,\quad a_2 = 1,\quad a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \quad\Rightarrow\quad 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$$A vegades, per saber el valor d'un terme, necessitem conèixer l'anterior. Això s'anomena llei de recurrència. Donada una successió on el primer terme és $a_1 = 5$ i la…
A vegades, per saber el valor d'un terme, necessitem conèixer l'anterior. Això s'anomena llei de recurrència.
Donada una successió on el primer terme és $a_1 = 5$ i la regla per obtenir els següents és:
$$a_n = a_{n-1} + 3$$(Això significa: "el terme actual és igual al terme anterior més 3").
Calcula els termes $a_2, a_3, a_4$ i $a_5$.
Una successió es defineix per una llei de recurrència quan els seus termes s'obtenen operant amb els anteriors. Considera la successió definida de la manera següent: El…
Una successió es defineix per una llei de recurrència quan els seus termes s'obtenen operant amb els anteriors. Considera la successió definida de la manera següent:
-
El primer terme és $a_1 = 2$.
-
El segon terme és $a_2 = 3$.
-
Qualsevol terme següent es calcula multiplicant els dos termes immediatament anteriors: $a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2}$.
Calcula els termes $a_3, a_4, a_5$ i $a_6$. Creus que aquesta successió creix de pressa o a poc a poc?
Considera la successió definida per la llei de recurrència següent: $$a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \quad \text{para } n > 2$$ Aquesta és la…
Considera la successió definida per la llei de recurrència següent:
$$a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \quad \text{para } n > 2$$Aquesta és la famosa successió de Fibonacci.
-
Calcula els 10 primers termes de la successió.
-
Estudiarem el comportament del quocient (divisió) entre dos termes consecutius. Calcula els valors següents amb 4 xifres decimals:
-
$\frac{a_2}{a_1}$
-
$\frac{a_3}{a_2}$
-
$\frac{a_6}{a_5}$
-
$\frac{a_{10}}{a_9}$
-
-
Observes que els resultats s'acosten a un nombre concret? Investiga quin nombre irracional famós s'aproxima en dividir termes consecutius d'aquesta successió quan $n$ és molt gran.
Patrons amb figures
Moltes successions surten de figures que creixen. Per trobar-ne la fórmula, compta què s'afegeix a cada pas.
Un algorisme que pots comprovar i modificar
Un algorisme és una seqüència precisa d'instruccions. Per als llumins podem descompondre el problema en tres tasques: començar amb la primera figura, afegir els llumins de cada nova figura i comunicar el total. Si $n$ és un enter positiu:
-
Posa el comptador de figura a 1 i el total de llumins a 4.
-
Mentre el comptador sigui menor que $n$, suma 3 al total i després suma 1 al comptador.
-
Retorna el total.
La taula permet seguir-lo sense programar:
| Comptador | Total de llumins | Continuar si $n = 4$? |
|---|---|---|
| 1 | 4 | Sí |
| 2 | 7 | Sí |
| 3 | 10 | Sí |
| 4 | 13 | No |
Per automatitzar-ho en un full de càlcul, escriu 1 a A2, 4 a B2, =A2+1 a A3 i =B2+3 a B3. Copia les fórmules cap avall fins a la figura buscada. A C2 escriu =3*A2+1 i copia: B i C han de coincidir a cada fila. Compara el mètode repetitiu amb el terme general per a la figura 50. Tots dos donen 151; la fórmula evita recórrer les 49 figures anteriors.
Ara tu: inventa una successió d'estalvi setmanal i formula una pregunta que un full pugui resoldre, com ara «en quina setmana superaré una certa quantitat?». Decideix quines dades necessita, escriu les instruccions i prova un cas petit abans d'automatitzar-ho.
Successions creixents i decreixents
Una successió és creixent si cada terme és més gran que l'anterior, decreixent si és més petit i constant si no canvia. Hi ha successions que no són res d'això, com $(-1)^n$, que va saltant.
Les successions moltes vegades sorgeixen de patrons geomètrics. Observa la imatge següent que mostra com creix un triangle format per punts. Compta el nombre de punts de…
Les successions moltes vegades sorgeixen de patrons geomètrics. Observa la imatge següent que mostra com creix un triangle format per punts.
Compta el nombre de punts de cada figura per formar una successió numèrica.
-
Escriu els primers 4 termes d'aquesta successió.
-
Quants punts tindrà la figura 5?
-
Sense dibuixar, podries dir quants punts s'afegeixen per passar de la figura 4 a la figura 5?
Observa la construcció geomètrica següent formada per llumins. 1. Dibuixa a la teva llibreta la Figura 4 seguint la mateixa lògica de construcció. 2. Escriu la successió…
Observa la construcció geomètrica següent formada per llumins.
-
Dibuixa a la teva llibreta la Figura 4 seguint la mateixa lògica de construcció.
-
Escriu la successió numèrica que representa el nombre total de llumins necessaris per construir cada figura ($a_1, a_2, a_3, a_4$).
-
Descriu amb les teves pròpies paraules com augmenta el nombre de llumins en passar d'una figura a la següent.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
En un supermercat, un empleat està apilant llaunes de conserva formant una estructura triangular per a una promoció. A la fila superior (fila 1) hi col·loca 1 llauna. A…
En un supermercat, un empleat està apilant llaunes de conserva formant una estructura triangular per a una promoció.
-
A la fila superior (fila 1) hi col·loca 1 llauna.
-
A la fila immediatament inferior (fila 2) hi col·loca 3 llaunes.
-
A la fila 3 hi col·loca 5 llaunes.
-
A la fila 4 hi col·loca 7 llaunes.
Escriu la successió que representa el nombre de llaunes per fila i troba una fórmula general ($a_n$) que ens permeti saber quantes llaunes hi haurà a la fila $n$ sense haver de comptar-les una per una.