Semblança

Un dissenyador gràfic està treballant en el logotip d'una nova aplicació. El disseny original és un rectangle que mesura $8\text{ cm}$ d'amplària i $12\text{ cm}$ d'alçària. Per a la pantalla de càrrega, necessita crear una versió més gran que sigui semblant a l'original. Si l'amplària de la versió ampliada ha de ser de $20\text{ cm}$, quina serà l'altura del logotip en aquesta pantalla?

En el plànol d'un habitatge, l'escala utilitzada és $1:50$. Si la sala d'estar té una longitud de $12\text{ cm}$ en el dibuix, calcula quants metres mesura la longitud real d'aquesta estança.

Dos triangles estan col·locats en posició de Tales. Sabent que els segments horitzontals són paral·lels i mesuren $6\text{ cm}$ i $10\text{ cm}$, i que el segment vertical del triangle menor mesura $9\text{ cm}$, calcula el valor del segment vertical desconegut denotat per $x$ del triangle major.

A la figura següent, les rectes $r$, $s$ i $t$ són paral·leles. Sabent que $y = x + 1$, utilitza el Teorema de Tales per calcular les longituds desconegudes $x$ i $y$ expressades en centímetres.

Indica si els parells de triangles següents són semblants i justifica quin criteri has utilitzat (AAA, SSS o SAS):

• Triangle 1: Angles de $40^\circ$ i $70^\circ$.

• Triangle 2: Angles de $70^\circ$ i $70^\circ$.

Observa el triangle rectangle de la figura. L'altura $h$ sobre la hipotenusa divideix el triangle original en dos triangles més petits.

1. a) Justifica per què els tres triangles (l'original i els dos petits) són semblants entre si.
2. b) Si els segments en què queda dividida la hipotenusa mesuren $m = 4\text{ cm}$ i $n = 9\text{ cm}$, calcula l'altura $h$ utilitzant la semblança dels dos triangles petits.
3. c) Calcula l'àrea del triangle original.

Un estudiant de 3r d'ESO mesura $1,60\text{ m}$ d'altura. En un moment del dia, projecta una ombra sobre el terra de $2\text{ m}$. Si just al costat, un fanal projecta una ombra de $5\text{ m}$, quina és l'altura del fanal?

Per calcular l'altura d'una torre de comunicació que projecta una ombra molt llarga, en Marcos, que mesura $1,70\text{ m}$, es col·loca de peu de manera que l'extrem de la seva pròpia ombra coincideixi amb l'extrem de l'ombra de la torre. Si en Marcos està a $25\text{ m}$ de la base de la torre i la seva ombra mesura $2,5\text{ m}$, respon:

1. a) Per què podem afirmar que els triangles formats per en Marcos i la torre amb les seves respectives ombres són semblants? Esmenta el criteri de semblança utilitzat.
2. b) Calcula l'altura de la torre.

Una pizzeria ofereix dues mides de pizza rodona que són semblants. La pizza "Petita" té un radi de $10\text{ cm}$ i una àrea d'aproximadament $314\text{ cm}^2$. Si la pizza "Familiar" té un radi de $20\text{ cm}$, quina serà la seva àrea? (Recorda la relació entre la raó de semblança $k$ i les àrees).

Dos rectangles són semblants. El primer té una base de $12\text{ cm}$ i una àrea de $96\text{ cm}^2$. El segon rectangle té una àrea de $150\text{ cm}^2$.

1. a) Calcula la raó de semblança entre el segon i el primer rectangle. (Pista: utilitza la relació entre àrees).
2. b) Calcula les dimensions (base i altura) del segon rectangle.
3. c) Quina és la raó entre els seus perímetres?

Una empresa de mobiliari fabrica taules de centre hexagonals regulars. Tenen dos models: el model "Mini" té un costat de $30\text{ cm}$ i el seu sobre de vidre costa $45\text{ €}$. El model "Gran Saló" és semblant a l'anterior i té un costat de $60\text{ cm}$.

1. a) Quina és la raó de semblança entre el model gran i el petit?
2. b) Sabent que el preu del vidre és proporcional a la seva superfície, quant costarà el sobre de vidre del model "Gran Saló"?
3. c) Si per ribetejar la taula petita amb una cinta metàl·lica es necessiten $180\text{ cm}$, quanta cinta es necessitarà per a la taula gran?