Sistemes d'equacions
Marcos compra un comandament i dos jocs per 70 €. Lucía compra un comandament i un joc per 50 €. Quant costa cada cosa? Hi ha dues coses que no saps (el preu del comandament i el del joc) i dues pistes. Amb una sola equació no n'hi ha prou: necessites un sistema.
Què és un sistema
Comprovar és substituir en les dues: $30 + 2 \cdot 20 = 70$ ✓ i $30 + 20 = 50$ ✓. Si només en compleix una, no és solució.
Significat gràfic
Cada equació lineal amb dues incògnites és una recta (totes les seves solucions). La solució del sistema és el punt on es tallen. Mou les rectes:
Hi ha tres possibilitats:
| Rectes | Tipus de sistema | Solucions |
|---|---|---|
| Es tallen | Compatible determinat | Una |
| Paral·leles | Incompatible | Cap |
| Coincidents | Compatible indeterminat | Infinites |
Observa la representació gràfica de les dues rectes que formen un sistema d'equacions. Determina, sense realitzar càlculs algebraics, quina és la solució del sistema i…
Observa la representació gràfica de les dues rectes que formen un sistema d'equacions. Determina, sense realitzar càlculs algebraics, quina és la solució del sistema i classifica'l en Compatible Determinat, Compatible Indeterminat o Incompatible.
Copia i completa a la teva llibreta la taula de valors següent per a les dues equacions del sistema. Després, indica quina és la solució comuna observant els resultats:…
Copia i completa a la teva llibreta la taula de valors següent per a les dues equacions del sistema. Després, indica quina és la solució comuna observant els resultats:
Sistema: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$
| $x$ | $y$ (Equació 1) | $y$ (Equació 2) |
|---|---|---|
| $1$ | ||
| $2$ | ||
| $3$ | ||
| $4$ |
Observa la següent representació gràfica d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites i respon les qüestions plantejades: a) Indica les coordenades del…
Observa la següent representació gràfica d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites i respon les qüestions plantejades:
- a) Indica les coordenades del punt de tall $P$ de les dues rectes.
- b) Què representa aquest punt en relació amb el sistema d'equacions?
- c) Classifica el sistema segons el nombre de solucions que presenta.
- d) És el punt $P$ solució del sistema següent?
$\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x - 3y = -3 \end{cases}$
Explica breument per què ho és o per què no, verificant les dues igualtats.
Mètode de substitució
Aïlles una incògnita en una equació i la substitueixes a l'altra. És el millor quan alguna incògnita està «sola» (coeficient 1 o −1).
Resol pel mètode de substitució el sistema següent, aprofitant que una de les incògnites ja es troba aïllada en la primera equació:…
Resol pel mètode de substitució el sistema següent, aprofitant que una de les incògnites ja es troba aïllada en la primera equació:
$\begin{cases} y = 3x \\ 2x + y = 10 \end{cases}$
Mètode d'igualació
Aïlles la mateixa incògnita a les dues equacions i iguales les expressions.
Resol pel mètode d'igualació el següent sistema d'equacions. Fixa't que la incògnita $x$ ja està aïllada en totes dues expressions:…
Resol pel mètode d'igualació el següent sistema d'equacions. Fixa't que la incògnita $x$ ja està aïllada en totes dues expressions:
$\begin{cases} x = 5 - y \\ x = 2y - 1 \end{cases}$
Mètode de reducció
Multipliques les equacions per nombres adequats perquè, en sumar-les (o restar-les), una incògnita desaparegui.
Resol pel mètode de reducció el sistema següent. Observa que els coeficients de la incògnita $y$ són iguals però de signe contrari, per la qual cosa pots sumar les…
Resol pel mètode de reducció el sistema següent. Observa que els coeficients de la incògnita $y$ són iguals però de signe contrari, per la qual cosa pots sumar les equacions directament:
$\begin{cases} 4x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$
Plantejar problemes amb sistemes
-
Tria dues incògnites i escriu què significa cadascuna ($x$ = preu del comandament…).
-
Tradueix cada dada de l'enunciat a una equació.
-
Resol i comprova a l'enunciat, no només a les equacions.
Tradueix al llenguatge algebraic la situació següent i planteja un sistema de dues equacions amb dues incògnites, indicant clarament què representa cada variable: «En…
Tradueix al llenguatge algebraic la situació següent i planteja un sistema de dues equacions amb dues incògnites, indicant clarament què representa cada variable:
«En una cafeteria, un grup d'amics ha pagat $11 \text{ €}$ per $2$ refrescos i $3$ bosses de patates. Un altre grup ha pagat $13 \text{ €}$ per $4$ refrescos i $1$ bossa de patates».
En una botiga de videojocs es venen comandaments i jocs de segona mà. Marcos ha comprat un comandament i un joc per $50 \text{ €}$. Si el preu del joc és el triple que…
En una botiga de videojocs es venen comandaments i jocs de segona mà. Marcos ha comprat un comandament i un joc per $50 \text{ €}$. Si el preu del joc és el triple que el del comandament, quant costa cada article?
Planteja un sistema d'equacions i resol-lo pel mètode que prefereixis.
En l'organització d'un esdeveniment d'E-sports, s'han venut un total de 250 entrades. Hi ha dos tipus de localitats: les «Gamer», que costen $15\ €$, i les «Pro», que…
En l'organització d'un esdeveniment d'E-sports, s'han venut un total de 250 entrades. Hi ha dos tipus de localitats: les «Gamer», que costen $15\ €$, i les «Pro», que costen $25\ €$. Si la recaptació total ha sigut de $4\ 700\ €$, planteja un sistema d'equacions i calcula quantes entrades de cada tipus s'han venut utilitzant el mètode de substitució.
Torna al principi: El comandament costa 30 € i cada joc costa 20 € (el comandament i els dos jocs de Marcos sumen $30 + 2 \cdot 20 = 70$ €, i amb el joc de Lucía sumen $30 + 20 = 50$ €).