Cossos de revolució
Una llauna de refresc, un cucurutxo, una pilota de tennis. Cap no té cares planes: són cossos de revolució, que s'obtenen fent girar una figura plana al voltant d'una recta. Si fas girar un rectangle sobre un dels seus costats, "apareix" un cilindre.
Com es generen
Mou el lliscador per girar la figura plana al voltant de l'eix i veuràs com es forma el cos:
| Figura que gira | Eix de gir | Cos |
|---|---|---|
| Rectangle | un dels seus costats | Cilindre |
| Triangle rectangle | un catet | Con |
| Trapezi rectangle | el costat perpendicular a les bases | Tronc de con |
| Semicercle | el seu diàmetre | Esfera |
Elements: el radi $r$ de la base, l'altura $h$ i la generatriu $g$ (el costat que, en girar, "escombra" la superfície lateral). En el con, $g$ és la hipotenusa: $g = \sqrt{h^2 + r^2}$.
Imagina que tens una cartolina rectangular de $10\text{ cm}$ de base i $15\text{ cm}$ d'altura. Si la fas girar ràpidament sobre un dels seus costats de $15\text{ cm}$…
Imagina que tens una cartolina rectangular de $10\text{ cm}$ de base i $15\text{ cm}$ d'altura. Si la fas girar ràpidament sobre un dels seus costats de $15\text{ cm}$ (el costat marcat com a eix de gir a la figura), quin cos de revolució es genera? Dibuixa el cos resultant i indica quant mesuren el seu radi i la seva altura.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Es genera un cos de revolució en fer girar un rectangle de base $4\text{ cm}$ i altura $7\text{ cm}$ al voltant d'un dels seus costats llargs. 1. Quina figura geomètrica…
Es genera un cos de revolució en fer girar un rectangle de base $4\text{ cm}$ i altura $7\text{ cm}$ al voltant d'un dels seus costats llargs.
-
Quina figura geomètrica s'obté?
-
Calcula la seva àrea total.
-
Si giren al voltant del costat curt, tindria el mateix volum? Justifica la teva resposta fent els càlculs.
El cilindre
Si talles l'etiqueta d'una llauna i l'estens, en surt un rectangle: la seva base és la longitud de la circumferència, $2\pi r$, i la seva altura, $h$.
Una llauna de refresc estàndard té forma cilíndrica. Si el radi de la seva base mesura $3,25\text{ cm}$ i la seva altura és de $12\text{ cm}$, calcula l'àrea de…
Una llauna de refresc estàndard té forma cilíndrica. Si el radi de la seva base mesura $3,25\text{ cm}$ i la seva altura és de $12\text{ cm}$, calcula l'àrea de l'etiqueta de paper que envolta lateralment la llauna (àrea lateral). Utilitza $\pi \approx 3,14$.
Una empresa de missatgeria utilitza tubs cilíndrics de cartró per enviar plànols. Si cada tub té una àrea lateral de $942\text{ cm}^2$ i una altura de $50\text{ cm}$: 1.…
Una empresa de missatgeria utilitza tubs cilíndrics de cartró per enviar plànols. Si cada tub té una àrea lateral de $942\text{ cm}^2$ i una altura de $50\text{ cm}$:
-
Calcula el radi de la base del tub.
-
Calcula la quantitat de cartró necessària per fabricar les dues tapes circulars de cada tub. (Utilitza $\pi \approx 3,14$).
El con i el tronc de con
El desenvolupament lateral d'un con és un sector circular de radi la generatriu $g$:
En el tronc de con (com un cubell de crispetes), amb radis $R$ i $r$: $A_L = \pi\,(R + r)\,g$.
Per a una disfressa de mag, un estudiant ha fabricat un barret amb forma de con. Si el radi de la base és de $10\text{ cm}$ i l'altura del barret és de $24\text{ cm}$,…
Per a una disfressa de mag, un estudiant ha fabricat un barret amb forma de con. Si el radi de la base és de $10\text{ cm}$ i l'altura del barret és de $24\text{ cm}$, utilitza el teorema de Pitàgores per calcular la longitud de la generatriu ($g$) del con.
Un cucurutxo de gelat té forma de cone. El radi de l'obertura superior és de $3\text{ cm}$ i la seva profunditat (altura) és de $10\text{ cm}$. Quin volum de gelat hi…
Un cucurutxo de gelat té forma de cone. El radi de l'obertura superior és de $3\text{ cm}$ i la seva profunditat (altura) és de $10\text{ cm}$. Quin volum de gelat hi cap exactament a l'interior del cucurutxo? (Considera que el gelat queda enrasat amb la vora, sense sobresortir).
Calcula l'àrea lateral i el volum d'un tronc de con (com un poal de crispetes) les bases del qual tenen radis de $10\text{ cm}$ i $6\text{ cm}$, sabent que la seva…
Calcula l'àrea lateral i el volum d'un tronc de con (com un poal de crispetes) les bases del qual tenen radis de $10\text{ cm}$ i $6\text{ cm}$, sabent que la seva altura és de $15\text{ cm}$. Nota: Hauràs de calcular primer la generatriu mitjançant el teorema de Pitàgores.
L'esfera
L'esfera no es pot desplegar en un pla sense deformar-la (per això tots els mapes del món deformen alguna cosa). La seva àrea és exactament quatre vegades l'àrea del seu cercle màxim:
$$A = 4\pi r^2$$Una pilota de tennis té un diàmetre aproximat de $6,7\text{ cm}$. Calcula la superfície total de feltre necessària per cobrir la pilota, tractant-la com una esfera…
Una pilota de tennis té un diàmetre aproximat de $6,7\text{ cm}$. Calcula la superfície total de feltre necessària per cobrir la pilota, tractant-la com una esfera perfecta. Expressa el resultat en $\text{cm}^2$.
Si metem una taronja per la meitat, obtenim dues semiesferes. Si el radi de la taronja és de $4\text{ cm}$, calcula el volum d'una d'aquestes meitats.
Si metem una taronja per la meitat, obtenim dues semiesferes. Si el radi de la taronja és de $4\text{ cm}$, calcula el volum d'una d'aquestes meitats.
Una marca de suplements vitamínics dissenya les seves càpsules amb forma de cilindre i dues semiesferes als extrems. La longitud total de la càpsula és de $22\text{ mm}$…
Una marca de suplements vitamínics dissenya les seves càpsules amb forma de cilindre i dues semiesferes als extrems. La longitud total de la càpsula és de $22\text{ mm}$ i el diàmetre del cilindre central és de $8\text{ mm}$. Calcula el volum total de la càpsula en mil·límetres cúbics.