Divisió de polinomis
L'àrea d'un estudi d'enregistrament és $3x^2 + 15x$ i la seva amplada és $3x$. Quant fa de llarg? Cal dividir polinomis. La divisió funciona igual que la que vas aprendre a primària, i té una drecera molt ràpida: la regla de Ruffini.
Dividir polinomis
Entre un monomi: es divideix cada terme. $\dfrac{3x^2 + 15x}{3x} = \dfrac{3x^2}{3x} + \dfrac{15x}{3x} = x + 5$.
Entre un polinomi: es fa com la divisió de nombres, terme a terme:
Divideix el següent polinomi entre el monomi donat, simplificant cadascun dels termes resultants: $$(12x^4 - 8x^3 + 4x^2) : (4x^2)$$
Divideix el següent polinomi entre el monomi donat, simplificant cadascun dels termes resultants:
$$(12x^4 - 8x^3 + 4x^2) : (4x^2)$$L'àrea d'un estudi de gravació rectangular ve donada pel polinomi $A(x) = 3x^2 + 15x$. Si sabem que l'amplada de l'estudi mesura $3x$ metres, quina és l'expressió…
L'àrea d'un estudi de gravació rectangular ve donada pel polinomi $A(x) = 3x^2 + 15x$. Si sabem que l'amplada de l'estudi mesura $3x$ metres, quina és l'expressió algebraica que representa la llargada de l'estudi?
Utilitza l'algorisme de la divisió per trobar el quocient $C(x)$ i el residu $R(x)$ de la següent operació entre polinomis. Recorda ordenar i completar els termes del…
Utilitza l'algorisme de la divisió per trobar el quocient $C(x)$ i el residu $R(x)$ de la següent operació entre polinomis. Recorda ordenar i completar els termes del dividend abans de començar:
$(6x^4 + 7x^3 - 5x^2 + 1) : (3x^2 - x + 2)$
Aprofundiment: la regla de Ruffini
Quan el divisor és de la forma $x - a$, hi ha una drecera que només utilitza els coeficients. Dividim $x^3 - 5x^2 + 3x - 4$ entre $x - 2$ (així que $a = 2$):
-
Escriu els coeficients (amb 0 als buits) i el nombre $a$ a l'esquerra.
-
Baixa el primer coeficient.
-
Multiplica'l per $a$, posa'l a sota del següent i suma.
-
Repeteix fins al final. L'últim nombre és el residu; els altres, els coeficients del quocient (un grau menys).
Aplica la regla de Ruffini per calcular el quocient i el residu de la divisió següent: $$(x^3 - 5x^2 + 3x + 9) : (x - 2)$$
Aplica la regla de Ruffini per calcular el quocient i el residu de la divisió següent:
$$(x^3 - 5x^2 + 3x + 9) : (x - 2)$$Utilitza la regla de Ruffini per realitzar la divisió del polinomi $P(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ entre el binomi $d(x) = x + 1$. Indica clarament quin és el quocient…
Utilitza la regla de Ruffini per realitzar la divisió del polinomi $P(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ entre el binomi $d(x) = x + 1$. Indica clarament quin és el quocient $C(x)$ i el residu $R$.
Aplica la regla de Ruffini per calcular el quocient i el residu de la divisió del polinomi $P(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 10$ entre el binomi $(x + 3)$. Recorda que, per…
Aplica la regla de Ruffini per calcular el quocient i el residu de la divisió del polinomi $P(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 10$ entre el binomi $(x + 3)$.
Recorda que, per aplicar la regla, el polinomi ha d'estar complet i ordenat (si falta algun terme, s'escriu el seu coeficient $0$) i que el valor que es col·loca a l'esquerra és l'arrel del divisor.
- a) Escriu els coeficients del dividend i el valor d'$a$ que fas servir en la regla de Ruffini.
- b) Fes la regla de Ruffini pas a pas.
- c) Escriu el polinomi quocient $C(x)$ i indica clarament quin és el valor del residu $R$.
El teorema del residu
A l'exemple, el residu de dividir entre $x - 2$ era $-10$. Calcula $P(2) = 8 - 20 + 6 - 4 = -10$. Coincideix! No és casualitat:
Així pots conèixer el residu sense dividir, només substituint. I, en particular:
- Si $P(a) = 0$, la divisió entre $(x - a)$ és exacta: $a$ és una arrel i $(x - a)$ és un factor de $P(x)$.
Sense fer la divisió llarga ni utilitzar Ruffini, calcula el valor del residu de la següent operació utilitzant el teorema del residu: $$(x^4 - 3x^2 + 5x - 2) : (x - 1)$$
Sense fer la divisió llarga ni utilitzar Ruffini, calcula el valor del residu de la següent operació utilitzant el teorema del residu:
$$(x^4 - 3x^2 + 5x - 2) : (x - 1)$$Calcula el valor de la lletra $k$ perquè la divisió sigui exacta (és a dir, que el residu sigui $0$): $$(x^2 - 6x + k) : (x - 4)$$
Calcula el valor de la lletra $k$ perquè la divisió sigui exacta (és a dir, que el residu sigui $0$):
$$(x^2 - 6x + k) : (x - 4)$$Sense fer la divisió, utilitza el teorema del residu per esbrinar si el nombre $x = 2$ és arrel del polinomi $P(x) = 2x^3 - 5x^2 - x + 6$. Justifica la teva resposta…
Sense fer la divisió, utilitza el teorema del residu per esbrinar si el nombre $x = 2$ és arrel del polinomi $P(x) = 2x^3 - 5x^2 - x + 6$. Justifica la teva resposta indicant si la divisió de $P(x)$ entre $(x - 2)$ és exacta o no.
Arrels i factorització
Factoritzar és escriure un polinomi com a producte de polinomis més senzills, igual que $12 = 2^2 \cdot 3$. Eines, en aquest ordre:
-
Factor comú: $x^3 - 4x = x(x^2 - 4)$.
-
Identitats notables: $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$.
-
Ruffini provant arrels enteres: si el polinomi té coeficients enters, les seves arrels enteres són entre els divisors del terme independent.
Fraccions algebraiques
Una fracció amb polinomis se simplifica com les de nombres: factoritzant a dalt i a baix i tatxant els factors comuns.
$$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x + 3)(x - 3)}{x\,(x + 3)} = \frac{x - 3}{x}\qquad (x \ne 0,\ x \ne -3)$$Les restriccions surten del denominador original: $x(x + 3)$ no pot valer zero. Encara que desaparegui el factor $x + 3$, $x = -3$ continua exclòs. L'expressió simplificada coincideix amb la inicial només al seu domini original.
Comprova si el nombre $a = 3$ és una arrel del polinomi $P(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3$ realitzant la divisió per Ruffini i observant el residu obtingut. Justifica la teva…
Comprova si el nombre $a = 3$ és una arrel del polinomi $P(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3$ realitzant la divisió per Ruffini i observant el residu obtingut. Justifica la teva resposta basant-te en el resultat de l'operació.
Comprova si el binomi $(x + 1)$ és un factor del polinomi $P(x) = x^4 - 1$. Per fer-ho, pots utilitzar tant la divisió llarga com Ruffini o el teorema del factor.…
Comprova si el binomi $(x + 1)$ és un factor del polinomi $P(x) = x^4 - 1$. Per fer-ho, pots utilitzar tant la divisió llarga com Ruffini o el teorema del factor. Explica què significa que un binomi sigui "factor" d'un altre polinomi en relació amb el residu de la divisió.
L'àrea d'una pista de pàdel rectangular ve donada pel polinomi $A(x) = 2x^2 + 11x + 12$. Si sabem que l'amplada de la pista mesura $(x + 4)$ metres, determina…
L'àrea d'una pista de pàdel rectangular ve donada pel polinomi $A(x) = 2x^2 + 11x + 12$. Si sabem que l'amplada de la pista mesura $(x + 4)$ metres, determina l'expressió algebraica que representa la llargada de la pista.
Torna al principi: El llarg de l'estudi fa $x + 5$, que resulta de dividir l'àrea entre l'amplada: $\frac{3x^2 + 15x}{3x} = x + 5$.