La calculadora diu que $\frac{1}{3} = 0{,}3333333$ i es queda tan tranquil·la. Però tu saps que aquest 3 continua per sempre. Com s'escriu això sense tinta infinita? I com es recupera la fracció si només tens el decimal? Aquí ho veuràs, i de passada ordenaràs al cap tots els tipus de nombres que coneixes.
Abans del període hi ha xifres que no es repeteixen (l'anteperíode).
El període es marca amb una ratlla al damunt: $0{,}\overline{45}$. En alguns llibres s'usa un arc: $0{,}\widehat{45}$. Volen dir el mateix.
Per què es repeteixen les xifres?
Quan dividim entre 7, el residu només pot ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Si no surt mai 0, tard o d'hora un residu es repeteix, i a partir d'aquí la divisió torna a donar les mateixes xifres. Mira la «roda de residus» de $1 : 7$:
Practica★☆☆Sense començar
Classifica els nombres decimals següents segons siguin decimals exactes, periòdics purs o periòdics mixtos. Després, converteix els dos primers (apartats a i b) en la…
Classifica els nombres decimals següents segons siguin decimals exactes, periòdics purs o periòdics mixtos. Després, converteix els dos primers (apartats a i b) en la seva fracció generatriu corresponent.
Observa la il·lustració següent, que representa el nivell de càrrega de la bateria d'un telèfon mòbil. 1. Escriu la fracció que representa la part carregada de la…
Observa la il·lustració següent, que representa el nivell de càrrega de la bateria d'un telèfon mòbil.
Escriu la fracció que representa la part carregada de la bateria respecte del total.
Simplifica aquesta fracció fins a obtenir la seva fracció irreductible.
Si la bateria té una capacitat total de $4000 \text{ mAh}$, quants mAh d'energia queden disponibles?
Calcula el valor exacte de la següent expressió, convertint primer tots els nombres decimals a la seva fracció generatriu. No utilitzis aproximacions decimals durant el…
Calcula el valor exacte de la següent expressió, convertint primer tots els nombres decimals a la seva fracció generatriu. No utilitzis aproximacions decimals durant el procés.
Un percentatge és una fracció amb denominador 100: 25 % vol dir $\frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0{,}25$. Les tres formes són el mateix nombre.
Per calcular un percentatge d'una quantitat, multiplica pel decimal: el 15 % de 80 € és $80 \cdot 0{,}15 = 12$ €. Per saber quin percentatge és una part, divideix i multiplica per 100: 12 de 80 és $\frac{12}{80} = 0{,}15 = 15\,\%$.
Practica★☆☆Sense començar
En un institut de 500 alumnes, s'ha realitzat una enquesta sobre els seus esports preferits. Els resultats són els següents: $\frac{1}{2}$ dels alumnes prefereix el…
En un institut de 500 alumnes, s'ha realitzat una enquesta sobre els seus esports preferits. Els resultats són els següents:
$\frac{1}{2}$ dels alumnes prefereix el futbol.
$\frac{3}{10}$ dels alumnes prefereix el bàsquet.
La resta dels alumnes prefereix altres esports.
a) Quants alumnes prefereixen el futbol?
b) Quants alumnes prefereixen el bàsquet?
c) Quina fracció del total d'alumnes prefereix "altres esports"?
Cada vegada que una operació «no es podia fer», els matemàtics van ampliar els nombres:
Amb els naturals $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ no pots fer $3 - 5$.
Per això apareixen els enters $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$. Però amb ells no pots fer $3 : 5$.
Així arriben els racionals $\mathbb{Q}$: tots els que s'escriuen com a fracció (decimals exactes i periòdics).
I tot i això falten nombres: els irracionals $\mathbb{I}$, decimals amb infinites xifres sense període, com $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ o $\pi = 3{,}14159265\ldots$
Racionals i irracionals junts formen els reals $\mathbb{R}$: tots els punts de la recta.
On és $\sqrt{2}$ a la recta?
Encara que els seus decimals no s'acabin mai, $\sqrt{2}$ té un lloc exacte a la recta. Dibuixa un quadrat de costat 1: pel teorema de Pitàgores, la seva diagonal mesura $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Amb el compàs portes aquesta diagonal a la recta:
Practica★★☆Sense començar
Classifica els nombres següents en el conjunt numèric més petit al qual pertanyen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) i, per a aquells que siguin decimals…
Classifica els nombres següents en el conjunt numèric més petit al qual pertanyen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) i, per a aquells que siguin decimals (exactes o periòdics), troba la seva fracció generatriu simplificada.
a) $4,25$
b) $-7$
c) $3,1\widehat{6}$
d) $5,\widehat{27}$
e) $-\frac{18}{3}$
Una vegada obtingudes les fraccions, ordena-les de menor a major.
Troba dos nombres racionals i dos nombres irracionals que es trobin estrictament compresos en l'interval: $$ \left( \frac{13}{9} \, , \, 1,4\widehat{5} \right) $$…
Troba dos nombres racionals i dos nombres irracionals que es trobin estrictament compresos en l'interval:
Torna al principi: El nombre de la pantalla s'escriu sense tinta infinita com $0{,}\overline{3}$ i en recuperes la fracció restant cues: $10x - x = 3{,}333\ldots - 0{,}333\ldots \Rightarrow 9x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Resum
A practicar! 10 exercicis de nivell mitjà en aquest apartat