Progressions geomètriques

Analitza les seqüències numèriques següents. La teva tasca és identificar quines d'elles són progressions geomètriques. Per a les que ho siguin, indica quina és la seva raó ($r$).

1. a) $2, 6, 18, 54, \dots$
2. b) $5, 10, 15, 20, \dots$
3. c) $80, 40, 20, 10, \dots$
4. d) $3, -3, 3, -3, \dots$

Imagina que un vídeo viral en una xarxa social es comparteix molt ràpidament. Una persona penja el vídeo (minut 0). Al minut 1, el veuen 5 persones noves. Al minut 2, cadascuna d'aquestes 5 persones el comparteix amb 5 persones noves més, i així successivament.

1. Escriu els quatre primers termes de la successió de nous espectadors per minut.

2. Quina és la raó $r$ de creixement?

3. Escriu la fórmula del terme general $a_n$.

Tenim un full de paper amb un gruix inicial de $0,1 \text{ mm}$.

Si doblem el full per la meitat, el gruix es duplica. Si el tornem a doblar, es torna a duplicar.

Considera $a_1$ com el gruix després del primer plec.

1. Calcula el gruix del full després de 1, 2, 3 i 4 plecs.

2. Quin gruix tindrà la pila de paper després de 10 plecs? Expressa el resultat en mil·límetres.

Donada una progressió geomètrica on el primer terme és $a_1 = 3$ i la raó és $r = 2$:

1. a) Calcula el valor del terme que ocupa la posició 7 ($a_7$).
2. b) Calcula el valor del terme que ocupa la posició 10 ($a_{10}$).

Utilitza la fórmula del terme general: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.

Observa la figura següent. Partim d'un quadrat gran de costat $8 \text{ cm}$. El quadrat següent es forma amb una longitud de costat que és la meitat de l'anterior, i així successivament.

Calcula la longitud del costat dels primers 4 quadrats i escriu el terme general $a_n$ de la successió que formen aquestes longituds.

Tenim un quadrat de costat 10 cm. Unim els punts mitjans dels seus costats per formar un segon quadrat inscrit. Repetim el procés amb el segon quadrat per formar-ne un de tercer, i així successivament.

1. a) Sabent que l'àrea de cada quadrat nou és la meitat de l'anterior, escriu la successió de les àrees dels 5 primers quadrats.
2. b) És una progressió aritmètica o geomètrica? Identifica el primer terme i la diferència o raó.
3. c) Calcula la suma de les àrees dels 10 primers quadrats generats.

Un avi decideix estalviar per al seu nét seguint una regla matemàtica curiosa. El primer mes desa 2 euros en una guardiola. El segon mes desa 6 euros. El tercer mes desa 18 euros.

Si continua amb aquesta lògica:

1. Comprova que és una progressió geomètrica i troba la raó $r$.

2. Calcula quants diners haurà de ficar a la guardiola el cinquè mes.

En Miquel vol comprar-se un patinet elèctric que costa 400 €. Decideix estalviar seguint un pla estricte: la primera setmana estalvia 2 €, la segona setmana 4 €, la tercera 8 €, i així successivament, duplicant la quantitat cada setmana.

1. a) Quants diners haurà d'estalviar la setmana número 8?
2. b) Quants diners haurà acumulat en total en acabar la setmana 8?
3. c) Haurà aconseguit prou diners per comprar el patinet en acabar la setmana 8? Si no és així, quantes setmanes necessita en total?

Es deixa caure una pilota de goma des d'una altura inicial de 20 metres. En cada rebot, la pilota perd energia i només arriba al 80% de l'altura anterior ($r = 0,8$).

1. a) Calcula l'altura que arriba la pilota després del tercer rebot.
2. b) Calcula la distància total recorreguda per la pilota (cap avall i cap amunt) en el moment en què toca el terra per quarta vegada.

Nota: Tingues en compte que la primera caiguda és de 20 m, però després puja i baixa.

Un vídeo d'una streamer famosa s'ha tornat viral. La primera hora va tenir 5 visualitzacions. A causa de l'algorisme de la plataforma, cada hora que passa, el nombre de noves visualitzacions es multiplica per 3 respecte a l'hora anterior.

1. a) Escriu els cinc primers termes de la successió que representa les noves visualitzacions per hora.
2. b) Quina és la raó $r$ d'aquesta progressió geomètrica?
3. c) Escriu el terme general $a_n$ que permet calcular les visualitzacions a l'hora $n$.
4. d) Quantes noves visualitzacions tindrà el vídeo exactament a l'hora 8?

Un biòleg estudia una colònia de bacteris en una placa de Petri. Inicialment compta 500 bacteris. Observa que la població augmenta un 20% cada hora.

1. a) Explica per què aquest creixement es correspon amb una progressió geomètrica i determina la raó $r$.
2. b) Escriu el terme general $a_n$ que descriu el nombre de bacteris després de $n$ hores. (Considera $a_0 = 500$ com l'inici, o ajusta la fórmula per a $a_1$ com la quantitat després d'1 hora).
3. c) Quants bacteris hi haurà, aproximadament, al cap de 12 hores?