La funció quadràtica
Llança una pilota: puja, es frena, cau. La seva trajectòria és una paràbola. També ho és el raig d'una font, el cable d'un pont penjant o la gràfica de l'àrea d'un hort segons la seva amplada. Darrere de totes hi ha una funció amb $x^2$: la funció quadràtica.
La paràbola i els seus elements
Mou $a$, $b$ i $c$ i observa què fa cadascun:
-
Signe de $a$: si $a > 0$ s'obre cap amunt (∪, vèrtex mínim); si $a < 0$, cap avall (∩, vèrtex màxim).
-
Mida de $|a|$: com més gran, més tancada (estreta) és la paràbola.
-
$c$: és el tall amb l'eix $Y$, perquè $f(0) = c$.
Per a cadascuna d'aquestes funcions quadràtiques, indica els valors dels coeficients $a$, $b$ i $c$, i raona, sense representar-la, si la paràbola té les branques cap…
Per a cadascuna d'aquestes funcions quadràtiques, indica els valors dels coeficients $a$, $b$ i $c$, i raona, sense representar-la, si la paràbola té les branques cap amunt o cap avall:
- a) $y = 2x^2 - 3x + 5$
- b) $y = -x^2 + 4x$
- c) $y = 6 - x^2$
- d) $y = \frac{1}{2}x^2$
A la figura apareixen les paràboles $y = x^2$, $y = 2x^2$ i $y = \frac{1}{2}x^2$, com es mostra a continuació. a) Associa cada paràbola amb la seva equació. b) Quin…
A la figura apareixen les paràboles $y = x^2$, $y = 2x^2$ i $y = \frac{1}{2}x^2$, com es mostra a continuació.
- a) Associa cada paràbola amb la seva equació.
- b) Quin efecte té en la forma de la paràbola el valor del coeficient $a$ a $y = ax^2$?
Indica, sense representar-les, si el vèrtex de cada paràbola és un màxim o un mínim de la funció: a) $y = -5x^2 + 3x - 1$ b) $y = 0,2x^2 - 4x + 6$ c) $y = 7x - x^2$…
Indica, sense representar-les, si el vèrtex de cada paràbola és un màxim o un mínim de la funció:
- a) $y = -5x^2 + 3x - 1$
- b) $y = 0,2x^2 - 4x + 6$
- c) $y = 7x - x^2$
Explica de quin coeficient depèn i per què.
El vèrtex
Considera la paràbola $y = x^2 - 4x + 3$. a) Calcula l'abscissa del vèrtex amb la fórmula $x = \frac{-b}{2a}$ i troba després la seva ordenada. b) Fes una taula de…
Considera la paràbola $y = x^2 - 4x + 3$.
- a) Calcula l'abscissa del vèrtex amb la fórmula $x = \frac{-b}{2a}$ i troba després la seva ordenada.
- b) Fes una taula de valors prenent valors de $x$ al voltant del vèrtex.
- c) Representa-la i indica el seu eix de simetria.
Una paràbola té el seu vèrtex al punt $V(1, -4)$ i passa pel punt $P(3, 0)$. a) Quin és el seu eix de simetria? b) Fent servir la simetria de la paràbola, troba un altre…
Una paràbola té el seu vèrtex al punt $V(1, -4)$ i passa pel punt $P(3, 0)$.
- a) Quin és el seu eix de simetria?
- b) Fent servir la simetria de la paràbola, troba un altre punt per on també passi.
- c) En quins punts talla l'eix $X$?
Talls amb els eixos i representació
-
Eix $Y$: $(0, c)$.
-
Eix $X$: resoldre $ax^2 + bx + c = 0$ (equació de segon grau). Dos talls, un (el vèrtex toca l'eix) o cap, segons el discriminant.
Per exemple, $y = -x^2 + 2x + 3$: s'obre cap avall ($a = -1$), vèrtex en $x_V = \frac{-2}{-2} = 1$, $y_V = 4$; talla l'eix $Y$ en $(0, 3)$ i l'eix $X$ en $x = -1$ i $x = 3$.
Considera la funció $y = x^2 - 2$. a) Copia i completa a la teva llibreta la taula de valors per a $x = -3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ i $3$. b) Representa la paràbola…
Considera la funció $y = x^2 - 2$.
- a) Copia i completa a la teva llibreta la taula de valors per a $x = -3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ i $3$.
- b) Representa la paràbola en uns eixos cartesians.
- c) Quin és el seu vèrtex? I el seu eix de simetria?
Sense representar-les, calcula el punt de tall amb l'eix $Y$ de cadascuna d'aquestes paràboles: a) $y = x^2 - 6x + 8$ b) $y = -3x^2 + 2x - 7$ c) $y = 4x^2$ Quin…
Sense representar-les, calcula el punt de tall amb l'eix $Y$ de cadascuna d'aquestes paràboles:
- a) $y = x^2 - 6x + 8$
- b) $y = -3x^2 + 2x - 7$
- c) $y = 4x^2$
Quin coeficient de l'equació determina sempre aquest punt de tall?
Troba els punts de tall de la paràbola $y = x^2 - 5x + 6$ amb els eixos de coordenades: a) Amb l'eix $Y$. b) Amb l'eix $X$, resolent l'equació $x^2 - 5x + 6 = 0$. c)…
Troba els punts de tall de la paràbola $y = x^2 - 5x + 6$ amb els eixos de coordenades:
- a) Amb l'eix $Y$.
- b) Amb l'eix $X$, resolent l'equació $x^2 - 5x + 6 = 0$.
- c) Calcula el vèrtex i comprova que la seva abscissa està just al mig dels dos talls amb l'eix $X$.
Paràboles en la vida real: màxims
Quan un problema pregunta per l'altura màxima, l'àrea màxima o el benefici màxim i la fórmula és quadràtica, la resposta és al vèrtex.
La gràfica mostra l'altura d'una pilota llançada cap amunt en funció del temps, com es mostra a la figura. a) Quina és l'altura màxima que assoleix la pilota i en quin…
La gràfica mostra l'altura d'una pilota llançada cap amunt en funció del temps, com es mostra a la figura.
- a) Quina és l'altura màxima que assoleix la pilota i en quin instant?
- b) Des de quina altura es va llançar?
- c) En quin instant torna la pilota a l'altura de llançament?
Una pilota de voleibol es colpeja des de terra i la seva altura, en metres, ve donada per $h = -5t^2 + 20t$, on $t$ és el temps en segons, com es mostra a la figura. a)…
Una pilota de voleibol es colpeja des de terra i la seva altura, en metres, ve donada per $h = -5t^2 + 20t$, on $t$ és el temps en segons, com es mostra a la figura.
- a) En quin instant assoleix l'altura màxima? Quant val aquesta altura?
- b) Quant de temps triga a tornar a terra?
- c) Quina altura té als $3\ \text{s}$? Està pujant o baixant?
Un hortolà vol tancar un hort rectangular adossat a la paret de casa seva, de manera que només necessita tanca per a tres costats. Disposa de $40\ \text{m}$ de tanca. a)…
Un hortolà vol tancar un hort rectangular adossat a la paret de casa seva, de manera que només necessita tanca per a tres costats. Disposa de $40\ \text{m}$ de tanca.
- a) Si el costat perpendicular a la paret mesura $x$ metres, expressa la longitud del costat paral·lel en funció de $x$.
- b) Escriu la funció que dona l'àrea del hort en funció de $x$. De quin tipus és?
- c) Calcula el vèrtex de la paràbola i dedueix les dimensions que fan màxima l'àrea. Quant val aquesta àrea màxima?