Operacions amb radicals

Anem a simplificar expressions agrupant radicals semblants. Imagina que $\sqrt{3}$ és com una "x" o una "poma". Fes les sumes i restes següents:

1. $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$

2. $7\sqrt[3]{5} - 2\sqrt[3]{5}$

3. $4\sqrt{6} + \sqrt{6} - 8\sqrt{6}$

Per fer sumes i restes amb radicals, aquests han de ser semblants (mateix índex i mateix radicand). Simplifica els radicals següents descomponent els nombres en factors prims i opera:

1. a) $3\sqrt{8} - 5\sqrt{2} + \sqrt{50}$
2. b) $\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27}$
3. c) $2\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{54}$

Utilitza la propietat del producte d'arrels amb el mateix índex ($\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$) per agrupar aquestes operacions en una sola arrel i, si és possible, calcular el resultat final exacte:

• $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$

• $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$

• $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$

• $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$

Fes les multiplicacions i divisions de radicals següents. Recorda que per operar han de tenir el mateix índex. Si és possible, simplifica el resultat final extreient factors de l'arrel.

1. a) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{2}$
2. b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}$
3. c) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$
4. d) $\sqrt{2x} \cdot \sqrt{8x^3}$

Calcula el perímetre i l'àrea d'un terreny rectangular les dimensions del qual venen donades per radicals. La base fa $\sqrt{27}$ metres i l'alçada $\sqrt{3}$ metres. Simplifica els resultats al màxim.

Quan tenim una arrel dins d'una altra arrel, la podem simplificar multiplicant els seus índexs ($\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$). Simplifica les expressions següents a una única arrel:

• $\sqrt{\sqrt{81}}$

• $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$

• $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$

Les potències d'exponent fraccionari són una altra manera d'escriure radicals. Utilitza aquesta relació per simplificar les expressions següents i dona el resultat final en forma d'arrel:

1. a) Escriu $5^{3/4}$ en forma d'arrel.
2. b) Escriu $\sqrt[5]{2^3}$ en forma de potència.
3. c) Calcula expressant com a potència primer: $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$
4. d) Simplifica: $\frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt{x}}$

Aplica les propietats de l'arrel d'una arrel i la potència d'una arrel per simplificar les expressions següents a un únic radical irreductible:

1. a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
2. b) $(\sqrt[3]{2})^6$
3. c) $\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}}$ (Pista: Introdueix el primer 2 dins de la segona arrel)

Et compraràs una televisió nova i les mides es donen en polzades de la diagonal. La pantalla té forma rectangular amb una amplada de 40 cm i una alçada de 30 cm. Utilitzant el Teorema de Pitàgores ($h = \sqrt{a^2 + b^2}$), calcula quant fa la diagonal de la pantalla en centímetres.

Nota: El resultat és una arrel exacta.

Volem col·locar un cable tensor per subjectar un pal vertical de 4 metres d'alçària. El cable s'ancorarà al terra a una distància de $\sqrt{20}$ metres de la base del pal. Calcula la longitud exacta del cable necessària utilitzant el teorema de Pitàgores. Expressa el resultat com un radical simplificat.

Tenim un dipòsit d'aigua amb forma de cub. Sabem que el seu volum total és de $128 \text{ m}^3$. Calcula quant mesura l'aresta del dipòsit. Expressa el resultat com un radical simplificat (extreient factors) i no facis servir decimals.

(Ajuda: Recorda que el volum d'un cub és $V = \text{arista}^3$)