Perpendicularitat i paral·lelisme
Mira la teva habitació: el terra i el sostre no es toquen mai, dues parets es troben en una cantonada, la vora de la taula i una cantonada vertical de la paret ni es tallen ni són paral·leles. A l'espai hi ha més possibilitats que al pla, i convé tenir nom per a cadascuna.
Posicions de dues rectes
Al pla, dues rectes o es tallen o són paral·leles. A l'espai apareix una tercera possibilitat: que s'encreuïn (ni es tallen ni són paral·leles, perquè no estan en el mateix pla).
| Posició | Es tallen? | Estan en un mateix pla? |
|---|---|---|
| Paral·leles | No | Sí |
| Secants | Sí, en un punt | Sí |
| S'encreuen | No | No |
Si dues rectes secants formen 90°, són perpendiculars.
Dos avions volen pel cel. L'avió A vola cap al Nord a $10.000$ metres d'altura. L'avió B vola cap a l'Est a $8.000$ metres d'altura. Sabent que les seves trajectòries no…
Dos avions volen pel cel. L'avió A vola cap al Nord a $10.000$ metres d'altura. L'avió B vola cap a l'Est a $8.000$ metres d'altura. Sabent que les seves trajectòries no es tallen ni són paral·leles:
- a) Com s'anomena la posició relativa d'aquestes dues trajectòries en l'espai?
- b) Són aquestes rectes coplanars? Explica per què.
Imagina una porteria de futbol. Analitzarem els seus posts com a rectes: a) Quina posició relativa tenen els dos posts verticals? b) Quina posició relativa té el…
Imagina una porteria de futbol. Analitzarem els seus posts com a rectes:
- a) Quina posició relativa tenen els dos posts verticals?
- b) Quina posició relativa té el travesser (post horitzontal) respecte a cadascun dels posts verticals?
Rectes i plans
Una recta respecte d'un pla pot estar continguda en ell, ser paral·lela (no el toca mai) o ser secant (el talla en un punt). Si és secant i forma 90° amb totes les rectes del pla que passen per aquest punt, és perpendicular al pla: com una columna sobre el terra.
Al gimnàs de l'institut, una columna recta (recta $r$) talla el terra (pla $\pi$) en un punt, que és la seva base. Al terra hi ha dues rectes diferents, $s$ i $t$, que…
Al gimnàs de l'institut, una columna recta (recta $r$) talla el terra (pla $\pi$) en un punt, que és la seva base. Al terra hi ha dues rectes diferents, $s$ i $t$, que passen per la base de la columna, i se sap que la columna forma un angle recte amb cadascuna d'elles.
- a) Quina posició relativa tenen la columna i el terra? Justifica la teva resposta.
- b) Si tracem qualsevol altra línia al terra que passi per la base de la columna, quin angle formarà amb ella?
Observa el cub següent i identifica: a) Una arista que sigui paral·lela al pla de la base inferior. b) Una arista que sigui perpendicular al pla de la base inferior.
Observa el cub següent i identifica:
- a) Una arista que sigui paral·lela al pla de la base inferior.
- b) Una arista que sigui perpendicular al pla de la base inferior.
Dos plans i angles diedres
Dos plans poden ser paral·lels (terra i sostre) o secants (dues parets): llavors es tallen en una recta. La regió entre dos semiplans que comparteixen aquesta recta s'anomena angle diedre, com un llibre obert.
Observa les parets de la teva habitació. a) Quina posició relativa tenen dues parets oposades? b) Com s'anomena la recta que es forma quan dues parets contigües es…
Observa les parets de la teva habitació.
- a) Quina posició relativa tenen dues parets oposades?
- b) Com s'anomena la recta que es forma quan dues parets contigües es tallen?
En obrir un llibre de matemàtiques i deixar-lo recolzat sobre la taula, les dues pàgines formen un angle díedre. a) Si obrim el llibre totalment fins que quedi pla sobre…
En obrir un llibre de matemàtiques i deixar-lo recolzat sobre la taula, les dues pàgines formen un angle díedre.
- a) Si obrim el llibre totalment fins que quedi pla sobre la taula, quant mesura aquest angle díedre?
- b) Si el llibre està entreobert i les pàgines formen un angle de $90^\circ$, com són els plans de les dues pàgines entre si?
Imagina que el terra de la teva habitació és el pla $\pi$ i una de les parets laterals és el pla $\beta$. Si instal·les un cable de fibra òptica que recorre la cantonada…
Imagina que el terra de la teva habitació és el pla $\pi$ i una de les parets laterals és el pla $\beta$. Si instal·les un cable de fibra òptica que recorre la cantonada on es junten el sostre i la paret frontal (recta $r$):
- a) Com és la recta $r$ respecte al pla del terra $\pi$?
- b) Quina és la posició relativa de la recta $r$ respecte al pla de la paret lateral $\beta$?
- c) Si tracem una línia vertical a la paret lateral (recta $s$), es tallaran les rectes $r$ i $s$? Justifica si són perpendiculars.
Torna al principi: A la teva habitació, el terra i el sostre són plans paral·lels, dues parets són plans secants que es tallen en una aresta, i la vora de la taula i la cantonada vertical són dues rectes que s'encreuen.