Característiques d'una funció

Perquè una relació sigui considerada una funció, a cada valor de la variable independent ($x$) li ha de correspondre, com a màxim, un únic valor de la variable dependent ($y$).

Observa la gràfica següent i raona si representa una funció o no utilitzant la "regla de la recta vertical".

El domini d'una funció és el conjunt de valors que pren la variable $x$, mentre que el recorregut (o imatge) és el conjunt de valors que pren la variable $y$.

Observa la gràfica de la funció següent (representada pel segment taronja, amb els seus dos extrems inclosos) i escriu-ne el domini i el recorregut utilitzant intervals.

1. a) Escriu el domini de la funció.

1. b) Escriu el recorregut de la funció.

Diem que una funció és contínua si podem dibuixar la seva gràfica sense aixecar el llapis del paper. Si presenta salts o interrupcions, s'anomena discontínua.

La gràfica següent mostra el preu de l'aparcament en un centre comercial segons les hores transcorregudes. Indica si la funció és contínua o discontínua i, en cas de ser discontínua, assenyala en quins valors de $x$ es produeixen els salts.

En una empresa de missatgeria, el cost d'enviar un paquet depèn del seu pes. No obstant això, la tarifa canvia bruscament quan se superen certs trams de pes. Observa la gràfica de la funció de cost:

Respon a les qüestions següents sobre la continuïtat:

1. És contínua, aquesta funció? Justifica la teva resposta descrivint què passa en els punts $x = 2kg$ i $x = 5kg$ (representats dels salts en la gràfica).

2. Indica el domini i el recorregut d'aquesta funció segons el dibuix.

3. Si un paquet pesa exactament $2kg$, quin és el seu cost? Fixa't en els punts plens i buits per decidir-ho.

Una funció és creixent si en augmentar la $x$, augmenta la $y$. És decreixent si en augmentar la $x$, disminueix la $y$.

En Marcos està fent una ruta de senderisme. La gràfica següent representa l'altitud a la qual es troba en cada moment. Identifica els intervals de temps (eix $x$) en què en Marcos està pujant (funció creixent) i aquells en què està baixant (funció decreixent).

Els màxims són els punts més alts d'una zona de la gràfica, i els mínims són els punts més baixos.

En un videojoc, l'energia d'un personatge varia segons la gràfica mostrada. Indica les coordenades $(x, y)$ dels punts que representen un màxim relatiu i un mínim relatiu en aquesta aventura.

La Marta fa servir un patinet elèctric per anar a l'institut. La gràfica següent mostra el percentatge de bateria restant en funció de la distància recorreguda en quilòmetres.

Analitza la gràfica i respon:

1. a) Quin és el domini i el recorregut de la funció?

1. b) És una funció creixent o decreixent? Què significa això en el context del problema?

1. c) En quin punt talla la gràfica l'eix $y$ (ordenada a l'origen) i què representa?

La gràfica següent mostra l'evolució del percentatge de bateria d'un telèfon intel·ligent al llarg d'un dia, des que l'usuari es desperta a les $08:00$ fins que el posa a carregar a la nit.

A partir de la gràfica, analitza les característiques següents:

1. Indica els intervals de temps en què la funció és decreixent i què significa en aquest context.

2. Existeix cap interval on la funció sigui constant? Si és així, indica'l i proposa una situació real que expliqui per què la bateria no disminueix en aquest temps.

3. Determina el valor màxim i el valor mínim de la bateria en l'interval observat.

Dada la funció $f(x) = x^2 - 4x + 3$, fes un estudi de les seves característiques principals:

1. Calcula els punts de tall amb l'eix $X$ (resolent l'equació $f(x) = 0$) i amb l'eix $Y$ (calculant $f(0)$).

2. Troba les coordenades del vèrtex sabent que l'abscissa es calcula amb la fórmula $x = \frac{-b}{2a}$. És un màxim o un mínim absolut?

3. Indica l'interval on la funció és decreixent.

Una funció és periòdica si la seva gràfica es repeteix exactament igual cada cert interval, anomenat període.

El senyal d'un monitor cardíac es comporta de manera repetitiva. Observa la gràfica i determina quant val el període (la distància en l'eix $x$ necessària per completar un cicle complet).

Les funcions poden presentar simetria. Una funció és parell si és simètrica respecte de l'eix $y$ (com un mirall). És senar si és simètrica respecte de l'origen de coordenades $(0,0)$.

Determina quin tipus de simetria (parell, senar o cap) tenen les dues gràfiques següents:

Un sensor de pressió en una màquina industrial registra un cicle repetitiu cada pocs segons. La pressió $P$ (en bars) depèn del temps $t$ (en segons) segons la gràfica següent:

Basant-te en la informació visual:

1. Explica raonadament per què aquesta funció és periòdica.

2. Si els pics de pressió màxima ocorren a $t = 2$ s, $t = 10$ s i $t = 18$ s, quin és el valor del període $T$?

3. Quina pressió registrarà el sensor en l'instant $t = 82$ s?