Aproximació i errors
Un vídeo amb 3 894 215 visualitzacions apareix a l'app com "3,9 M". La teva bàscula diu 58,4 kg encara que el teu pes real tingui més decimals. I ningú no paga 2,3456 € a la gasolinera. Tot el temps fem servir nombres aproximats. La pregunta important és: quant ens estem equivocant?
Truncar i arrodonir
Hi ha dues maneres de quedar-se amb menys xifres:
-
Truncar: tallar sense més. $\pi = 3{,}14159\ldots$ truncat a les centèsimes és $3{,}14$.
-
Arrodonir: quedar-se amb el valor més proper. Mires la primera xifra que elimines: si és 5 o més, sumes 1 a l'última que deixes; si és menys de 5, la deixes igual.
Mou el lliscador i compara el truncament amb l'arrodoniment. Fixa't que l'error d'arrodoniment és menor o igual que mitja unitat de l'ordre al qual arrodoneixes. Per exemple, en passar de 2,35 a 2,4, l'error és exactament 0,05.
A la pantalla de la teva calculadora apareix el nombre irracional $\sqrt{10} = 3,16227766...$ Copia la taula següent a la teva llibreta i completa-la fent les…
A la pantalla de la teva calculadora apareix el nombre irracional $\sqrt{10} = 3,16227766...$
Copia la taula següent a la teva llibreta i completa-la fent les aproximacions indicades per a aquest nombre:
| Tipus d'aproximació | A les unitats | A les dècimes | A les centèsimes | A les mil·lèsimes |
|---|---|---|---|---|
| Per truncament | ||||
| Per arrodoniment |
Has anat al supermercat a comprar ingredients per a un sopar. Els preus reals dels productes són: Pasta: 1,85 € Salsa de tomàquet: 2,15 € Formatge ratllat: 3,48 €…
Has anat al supermercat a comprar ingredients per a un sopar. Els preus reals dels productes són:
-
Pasta: 1,85 €
-
Salsa de tomàquet: 2,15 €
-
Formatge ratllat: 3,48 €
-
Refresc: 1,25 €
- a) Fes una estimació ràpida del cost total arrodonint cada preu a les unitats abans de sumar.
- b) Calcula la suma exacta dels preus.
- c) Calcula la diferència (error absolut) entre la teva estimació i el preu real. Creus que ha estat una bona estimació per saber si portaves 10 € a la butxaca?
Xifres significatives
Les xifres significatives són les que aporten informació sobre la precisió. En donar 3 894 215 com a "3,9 milions" fem servir 2 xifres significatives.
Un streamer* famós ha penjat un vídeo que té exactament 3.894.215 visualitzacions. a) Escriu aquesta quantitat arrodonida als milions. b) Escriu la quantitat arrodonida…
Un streamer famós ha penjat un vídeo que té exactament 3.894.215 visualitzacions.
- a) Escriu aquesta quantitat arrodonida als milions.
- b) Escriu la quantitat arrodonida a les centenes de miler.
- c) Quantes xifres significatives has utilitzat en l'apartat b?
En l'àmbit científic i tecnològic és cabdal saber amb quina precisió estem treballant. Arrodoneix els nombres següents a tres xifres significatives: a) La quantitat de…
En l'àmbit científic i tecnològic és cabdal saber amb quina precisió estem treballant. Arrodoneix els nombres següents a tres xifres significatives:
- a) La quantitat de visites d'un vídeo viral: $14\,592\,301$.
- b) La massa d'una partícula de pols: $0,00040961$ grams.
- c) El nombre $\pi$: $3,141592...$
- d) La capacitat d'un disc dur en bytes: $1\,024\,576\,000$.
Després, expressa cada resultat utilitzant la notació científica.
Error absolut i error relatiu
Dues mesures: t'equivoques 1 cm en mesurar la teva taula i 1 cm en mesurar el gruix d'una moneda. L'error és el mateix… o no? A la taula és una bajanada; a la moneda és un desastre. Per això hi ha dos tipus d'error.
Cota d'error
Moltes vegades no coneixes el valor exacte, però sí la precisió de l'aparell. Si una bàscula ideal arrodoneix a 100 grams i marca 58,4 kg, el valor abans d'arrodonir és entre 58,35 i 58,45 kg. Aquesta cota només descriu l'arrodoniment: un aparell real pot tenir altres errors de mesura. L'error absolut és com a màxim mitja unitat de l'última xifra: $E_a \le 0{,}05$ kg. Això és una cota de l'error.
En mesurar la longitud de la teva taula d'estudi, el valor real de fàbrica és de 120 cm. Tu utilitzes una cinta mètrica i obtens una mesura de 119 cm. a) Calcula l'error…
En mesurar la longitud de la teva taula d'estudi, el valor real de fàbrica és de 120 cm. Tu utilitzes una cinta mètrica i obtens una mesura de 119 cm.
- a) Calcula l'error absolut ($E_a$) comès en el teu mesurament. Recorda que l'error absolut és la diferència en valor positiu entre el valor real i l'aproximat: $E_a = |V_{real} - V_{aprox}|$.
- b) Si el teu condeixeble mesura el passadís de l'institut, que mesura realment 5000 cm, i obté 4999 cm, el seu error absolut és d'1 cm, igual que el teu. Significa això que tots dos mesuraments tenen la mateixa precisió? Raona la teva resposta (et pots recolzar en el concepte d'error relatiu).
Calcula l'error relatiu comès en les aproximacions següents i indica quina d'elles és la pitjor aproximació (la que té un error relatiu més gran): a) Aproxima la fracció…
Calcula l'error relatiu comès en les aproximacions següents i indica quina d'elles és la pitjor aproximació (la que té un error relatiu més gran):
- a) Aproxima la fracció $\frac{1}{3}$ com a $0,33$.
- b) Aproxima el nombre $\sqrt{2}$ com a $1,41$.
- c) Aproxima un pressupost de $150.000$ € com a $140.000$ €.
Les bàscules de bany digitals solen tenir una precisió de $100$ grams ($0,1$ kg). Això significa que si la bàscula marca $54,2$ kg, el pes real podria estar una mica per…
Les bàscules de bany digitals solen tenir una precisió de $100$ grams ($0,1$ kg). Això significa que si la bàscula marca $54,2$ kg, el pes real podria estar una mica per sobre o una mica per sota, però arrodonit a aquest decimal.
- a) Escriu l'interval de valors reals possibles per a un pes mesurat de $54,2$ kg.
- b) Quina és la fita d'error absolut d'aquesta bàscula?
Torna al principi: En el vídeo amb 3 894 215 visites mostrat com a 3,9 M (3 900 000), l'error absolut és de només 5 785 visites i l'error relatiu és $E_r = \frac{5\,785}{3\,894\,215} \approx 0{,}0015 = 0{,}15\,\%$: un error insignificant que simplifica enormement la lectura de les dades.