Extracció de factors

Per extreure factors d'una arrel, agrupem els factors repetits del radicand segons indiqui l'índex: en una arrel quadrada (índex $2$), cada grup de $2$ factors iguals surt fora com un de sol; en una arrel cúbica (índex $3$), surt cada grup de $3$.

Observa l'esquema següent que representa $\sqrt[3]{x^4}$. Com que $x^4 = x^3 \cdot x$, el grup de $3$ surt fora com una sola $x$ i el factor que sobra es queda dins.

Siguint aquesta lògica, extreu tots els factors possibles de les arrels següents:

1. a) $\sqrt{x^3}$
2. b) $\sqrt{a^5}$
3. c) $\sqrt[3]{m^4}$
4. d) $\sqrt[4]{y^5}$

Moltes vegades ens trobem nombres que no estan factoritzats. El primer pas sempre ha de ser descompondre el nombre en factors primers.

Per exemple, per simplificar $\sqrt{12}$, primer pensem que $12 = 2^2 \cdot 3$. Com que el $2$ està elevat al quadrat, pot "escapar" de l'arrel quadrada.

Descompon en factors primers i extreu tot el que puguis d'aquestes arrels quadrades:

1. a) $\sqrt{18}$
2. b) $\sqrt{50}$
3. c) $\sqrt{20}$
4. d) $\sqrt{75}$

Tenim una parcel·la de terreny quadrada. Sabem que la seva àrea és de $72 \text{ m}^2$, però volem saber quant fa exactament el seu costat expressat de la forma més senzilla possible (extreient factors).

Recorda que si l'Àrea d'un quadrat és $l^2$, aleshores el costat és $l = \sqrt{\text{Àrea}}$.

1. Factoritza el nombre 72.

2. Escriu $\sqrt{72}$ fent servir aquests factors.

3. Extreu els nombres que estan elevats al quadrat.

Extreu tots els factors possibles dels radicals numèrics següents. Per fer-ho, primer hauràs de fer la descomposició factorial dels nombres que hi ha dins de l'arrel.

1. a) $\sqrt{216}$
2. b) $\sqrt[3]{5000}$
3. c) $\sqrt[4]{162}$

De vegades tenim nombres i lletres barrejats dins d'una arrel. El procediment és el mateix: treballem amb el nombre per un costat i amb cada lletra per un altre.

Simplifica els radicals següents extreient tots els factors possibles:

1. a) $\sqrt{8x^3}$
2. b) $\sqrt{27a^2}$
3. c) $\sqrt{16y^5}$
4. d) $\sqrt{25z^3}$

No només podem extreure factors del numerador, també ho podem fer del denominador si tenim fraccions dins de l'arrel.

Si tenim $\sqrt{\frac{a^3}{b^2}}$, podem treure factors de dalt i de baix de forma independent. En aquest exemple, $b^2$ surt fora com a $b$ en el denominador, i de $a^3$ en traiem una $a$ en el numerador: $\frac{a}{b}\sqrt{a}$.

Intenta simplificar aquestes expressions:

1. a) $\sqrt{\frac{50}{9}}$
2. b) $\sqrt{\frac{x^3}{4}}$
3. c) $\sqrt{\frac{1}{27}}$ (Pista: factoritza el 27 i deixa'l al denominador)

Simplifica els radicals següents que contenen variables. Recorda que per poder extreure una variable, el seu exponent ha de ser igual o major que l'índex de l'arrel.

1. a) $\sqrt[3]{x^4 \cdot y^7 \cdot z^{10}}$
2. b) $\sqrt{25a^3 b^5 c}$
3. c) $\sqrt[5]{\frac{m^7}{n^{10}}}$

Anem a jugar al procés invers per comprovar si has entès l'extracció. Si tinc un factor fora de l'arrel i el vull ficar dins, l'he d'elevar a l'índex de l'arrel.

Per exemple: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Relaciona a la teva llibreta cada expressió simplificada de l'esquerra amb la seva arrel original de la dreta (no cal que calculis, només raona quin nombre ha sortit):

1. $2\sqrt{2}$ --- A. $\sqrt{12}$

2. $3\sqrt{2}$ --- B. $\sqrt{20}$

3. $2\sqrt{3}$ --- C. $\sqrt{8}$

4. $2\sqrt{5}$ --- D. $\sqrt{18}$

Indica si les igualtats següents són verdaderes o falses fent l'extracció de factors necessària:

1. a) $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$
2. b) $\sqrt{16 \cdot x^6} = 4x^3$
3. c) $\sqrt[3]{8 + 27} = 5$
4. d) $\sqrt{\frac{x^2}{4}} = \frac{x}{2}$

Per poder sumar o restar radicals, aquests han de ser semblants. A primera vista, els radicals següents semblen diferents. Extreu factors de cadascun d'ells per comprovar si la seva part radical és la mateixa i, si és així, expressa'ls de forma simplificada:

1. a) $\sqrt{80}$
2. b) $\sqrt{125}$
3. c) $2\sqrt{45}$

Simplifica les fraccions següents amb radicals extreient factors tant del numerador com del denominador. Si és possible, simplifica la fracció resultant:

1. a) $\sqrt{\frac{98}{75}}$
2. b) $\sqrt[3]{\frac{16a^4}{27b^3}}$