Equacions de primer grau
En un plat d'una balança hi ha 3 caixes misterioses i 2 peses d'1 kg; a l'altre, 11 peses d'1 kg. La balança està en equilibri. Quant pesa cada caixa? Sense adonar-te'n, acabes de plantejar una equació: $3x + 2 = 11$. Resoldre-la és esbrinar el pes de la caixa sense desequilibrar la balança.
Què és una equació
No confonguis una equació amb una identitat: $2(x + 1) = 2x + 2$ es compleix per a qualsevol $x$, així que és una identitat, no una equació. I $3x + 2$ (sense $=$) és només una expressió.
Comprovar una solució és fàcil: substitueixes i mires si els dos membres donen el mateix. Per a $x = 3$: $3 \cdot 3 + 2 = 11$ ✓. Per a $x = 4$: $3 \cdot 4 + 2 = 14 \neq 11$ ✗.
En matemàtiques, és fonamental distingir entre una expressió algebraica i una equació. Observa la llista següent i identifica quines són equacions de primer grau. Per a…
En matemàtiques, és fonamental distingir entre una expressió algebraica i una equació. Observa la llista següent i identifica quines són equacions de primer grau. Per a les que ho siguin, indica quin és el seu primer membre i quina és la seva incògnita:
- a) $3x + 5$
- b) $2x - 8 = 10$
- c) $x^2 - 4 = 0$
- d) $5 + 3 = 8$
- e) $\frac{y}{2} + 1 = 7$
Comprovar si un nombre és solució d'una equació consisteix a substituir la incògnita i veure si la igualtat es compleix. Dat el següent conjunt de valors:…
Comprovar si un nombre és solució d'una equació consisteix a substituir la incògnita i veure si la igualtat es compleix. Dat el següent conjunt de valors: $\{-2, 0, 3\}$, indica raonadament quin d'ells és la solució de l'equació:
$5x - (x + 4) = 8$
Resoldre: la balança
La regla d'or: el que facis en un costat, fes-ho també a l'altre. Així la balança continua en equilibri i la igualtat continua sent certa. Resol la balança:
Aquesta idea és el que a classe s'anomena transposar termes:
Resol les següents equacions bàsiques utilitzant la transposició de termes (el que està sumant passa restant i viceversa): a) $x + 15 = 42$ b) $x - 7 = -12$ c)…
Resol les següents equacions bàsiques utilitzant la transposició de termes (el que està sumant passa restant i viceversa):
- a) $x + 15 = 42$
- b) $x - 7 = -12$
- c) $10 - x = 4$
- d) $25 = x + 18$
Una balança està en equilibri. Al plat de l'esquerra hi ha $3$ caixes iguals (de pes $x$) i una pesa de $2$ kg. Al plat de la dreta hi ha una pesa de $14$ kg. Planteja…
Una balança està en equilibri. Al plat de l'esquerra hi ha $3$ caixes iguals (de pes $x$) i una pesa de $2$ kg. Al plat de la dreta hi ha una pesa de $14$ kg.
Planteja l'equació que representa aquest equilibri i calcula quant pesa cada caixa.
Parèntesis i denominadors
Les equacions de debò solen venir «embolicades». Hi ha un ordre que sempre funciona:
Resol aquestes equacions de primer grau eliminant primer els parèntesis. Recorda aplicar la propietat distributiva amb compte: a) $3(x - 2) = 12$ b) $2(x + 4) + 5 = 17$…
Resol aquestes equacions de primer grau eliminant primer els parèntesis. Recorda aplicar la propietat distributiva amb compte:
- a) $3(x - 2) = 12$
- b) $2(x + 4) + 5 = 17$
- c) $10 - (x - 3) = 8$
Resol la següent equació de primer grau assegurant-te de simplificar tots els termes i parar atenció als canvis de signe davant de les fraccions:…
Resol la següent equació de primer grau assegurant-te de simplificar tots els termes i parar atenció als canvis de signe davant de les fraccions:
$\frac{2(x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{3x - 4}{10} + 1$
Resol la següent equació de primer grau amb coeficients fraccionaris i termes aniuats. Para molta atenció a la gestió dels signes negatius davant de les fraccions:…
Resol la següent equació de primer grau amb coeficients fraccionaris i termes aniuats. Para molta atenció a la gestió dels signes negatius davant de les fraccions:
$$\frac{2(x-5)}{3} - \frac{3x - \frac{x+1}{2}}{5} = \frac{x-1}{6} - \frac{7}{10}$$Sempre hi ha una solució?
Gairebé sempre, però no sempre. En reduir pot passar:
| Al final queda… | Exemple | Significa |
|---|---|---|
| $ax = b$ amb $a \neq 0$ | $3x = 9$ | Una solució: $x = 3$ |
| $0x = b$ amb $b \neq 0$ | $0x = 5$ | Cap solució (cap nombre per 0 dona 5) |
| $0x = 0$ | $0x = 0$ | Infinites solucions: era una identitat |
El dibuix avança una idea que veuràs en funcions: cada membre és una recta, i la solució és on es creuen.
Donada l'equació amb un coeficient desconegut $k$: $$\frac{k \cdot x}{3} - 4 = \frac{x + 2}{2}$$ Calcula el valor que ha de tenir $k$ perquè la solució de l'equació…
Donada l'equació amb un coeficient desconegut $k$:
$$\frac{k \cdot x}{3} - 4 = \frac{x + 2}{2}$$Calcula el valor que ha de tenir $k$ perquè la solució de l'equació sigui $x = 6$. Un cop trobat $k$, comprova que la igualtat es compleix substituint tots dos valors en l'equació original.
Aïllar en fórmules
Les mateixes regles serveixen per aïllar una lletra en una fórmula. De $v = \frac{d}{t}$ (velocitat) s'obté $d = v \cdot t$ i $t = \frac{d}{v}$.
En les equacions literals, hem de ser capaços d'aïllar una variable en funció de les altres. Aïlla la variable $x$ en la igualtat següent, suposant que tots els…
En les equacions literals, hem de ser capaços d'aïllar una variable en funció de les altres. Aïlla la variable $x$ en la igualtat següent, suposant que tots els paràmetres $a, b, c$ i $d$ són coneguts i diferents de zero, amb $a \neq d$:
$$a(x + b) - c = d(x - a)$$Expressa el resultat final com una única fracció.
Troba el valor del costat $x$ en el rectangle següent sabent que el seu perímetre total és de $34$ cm.
Troba el valor del costat $x$ en el rectangle següent sabent que el seu perímetre total és de $34$ cm.
Torna al principi: cada caixa misteriosa pesa 3 kg, perquè si retires 2 kg de cada plat et queden 3 caixes que pesen 9 kg ($3x = 9$), i en repartir entre les 3 caixes obtens $x = 3$ kg.