Poliedres
Un dau, una caixa de sabates, les piràmides d'Egipte, una pilota de futbol clàssica (quasi)… Són poliedres: cossos tancats les cares dels quals són polígons. Els daus de rol de 4, 8, 12 i 20 cares són, a més, poliedres molt especials: els regulars.
Elements d'un poliedre
Gira el poliedre amb el dit i compta els seus elements. Fixa't en l'última línia:
Observa el cub següent i numera els seus elements fonamentals. Indica quantes cares, vèrtexs i aristes té en total. Fes-ho al teu quadern.
Observa el cub següent i numera els seus elements fonamentals. Indica quantes cares, vèrtexs i aristes té en total. Fes-ho al teu quadern.
Comprova si es compleix el Teorema d'Euler en un prisma de base triangular. Per fer-ho, compta els seus elements i aplica la fórmula: $C + V = A + 2$ on $C$ és el nombre…
Comprova si es compleix el Teorema d'Euler en un prisma de base triangular. Per fer-ho, compta els seus elements i aplica la fórmula:
$C + V = A + 2$
on $C$ és el nombre de cares, $V$ el de vèrtexs i $A$ el d'arestes.
Si tenim un poliedre convex amb 12 cares i 20 vértexs (un dodecaedre), utilitza el teorema d'Euler per calcular el nombre d'arestes que té.
Si tenim un poliedre convex amb 12 cares i 20 vértexs (un dodecaedre), utilitza el teorema d'Euler per calcular el nombre d'arestes que té.
Prismes i piràmides
-
Prisma: dues bases iguals i paral·leles, i cares laterals que són paral·lelograms (rectangles si és recte). Si les bases són rectangles, és un ortoedre (una caixa).
-
Piràmide: una base i cares laterals triangulars que es ajunten en un vèrtex, el cim.
-
Es diuen segons la base: triangular, quadrangular, pentagonal… Són regulars si la base és un polígon regular i són rectes.
Classifica el cos geomètric següent indicant si és un prisma o una piràmide. Raona la teva resposta fixant-te en les seves cares laterals i en les seves bases.
Classifica el cos geomètric següent indicant si és un prisma o una piràmide. Raona la teva resposta fixant-te en les seves cares laterals i en les seves bases.
Observa el dibuix d'aquesta piràmide quadrangular. Identifica i anomena el segment marcat amb la lletra $h$ (que va del vértex al centre de la base) i el segment marcat…
Observa el dibuix d'aquesta piràmide quadrangular. Identifica i anomena el segment marcat amb la lletra $h$ (que va del vértex al centre de la base) i el segment marcat amb la lletra $a$ (altura d'una cara lateral).
Una empresa de perfums ha dissenyat un frasc amb forma de piràmide quadrangular regular. L'arista de la base mesura $6 \text{ cm}$ i l'arista lateral (la que uneix el…
Una empresa de perfums ha dissenyat un frasc amb forma de piràmide quadrangular regular. L'arista de la base mesura $6 \text{ cm}$ i l'arista lateral (la que uneix el vèrtex amb una cantonada de la base) mesura $10 \text{ cm}$. Calcula l'altura de la piràmide per saber si cap en una prestatgeria de $9 \text{ cm}$ d'alt.
Els poliedres regulars
Un poliedre és regular si totes les seves cares són polígons regulars iguals i a cada vèrtex es ajunta el mateix nombre de cares. Només n'existeixen cinc, els sòlids platònics:
| Poliedre | Cares | $C$ | $V$ | $A$ |
|---|---|---|---|---|
| Tetraedre | triangles | 4 | 4 | 6 |
| Cub (hexaedre) | quadrats | 6 | 8 | 12 |
| Octaedre | triangles | 8 | 6 | 12 |
| Dodecaedre | pentàgons | 12 | 20 | 30 |
| Icosaedre | triangles | 20 | 12 | 30 |
Quin és el nom del políedre regular que té 4 cares que són triangles equilàters? Dibuixa un esquema senzill de la seva forma i indica quants vèrtexs té. Pots fer-ho en…
Quin és el nom del políedre regular que té 4 cares que són triangles equilàters? Dibuixa un esquema senzill de la seva forma i indica quants vèrtexs té.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Relaciona cadascun dels 5 Poliedres Regulars (Sòlids Platònics) amb el polígon que forma les seves cares: Tetraedre Cub (Hexaedre) Octaedre Dodecaedre Icosaedre Els…
Relaciona cadascun dels 5 Poliedres Regulars (Sòlids Platònics) amb el polígon que forma les seves cares:
-
Tetraedre
-
Cub (Hexaedre)
-
Octaedre
-
Dodecaedre
-
Icosaedre
Els polígons disponibles són: Triangle equilàter, Quadrat i Pentàgon regular.
Diagonals: Pitàgores a l'espai
La diagonal d'un ortoedre de dimensions $a \times b \times c$ es calcula aplicant Pitàgores dues vegades (primer a la base, després al triangle vertical):
$$D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$Un fabricant de caixes de regal vol dissenyar-ne una amb forma d'ortoedre. Si les dimensions de la base són $10\text{ cm}$ i $15\text{ cm}$, i l'altura és de…
Un fabricant de caixes de regal vol dissenyar-ne una amb forma d'ortoedre. Si les dimensions de la base són $10\text{ cm}$ i $15\text{ cm}$, i l'altura és de $20\text{ cm}$, indica quantes de les seves cares són iguals entre si.
Tenim una caixa de cartró en forma d'ortoedre de dimensions $40 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} \times 120 \text{ cm}$. Volem guardar al seu interior un tub fluorescent…
Tenim una caixa de cartró en forma d'ortoedre de dimensions $40 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} \times 120 \text{ cm}$. Volem guardar al seu interior un tub fluorescent que mesura $128 \text{ cm}$ de llarg. És possible guardar-lo en línia recta unint dos vèrtexs oposats de la caixa? Justifica la teva resposta calculant la diagonal principal del poliedre.
Torna al principi: La pilota de futbol clàssica és «quasi» un poliedre perquè està formada per pentàgons i hexàgons plans (un icosaedre truncat), però la pressió de l'aire en corba les cares perquè roди com una esfera.