Funció de proporcionalitat inversa
Per recórrer 240 km, com més de pressa vas, menys tardes: a 60 km/h, 4 hores; a 80 km/h, 3 hores; a 120 km/h, 2 hores. El producte velocitat × temps és sempre 240. Aquesta relació, que ja coneixes de la proporcionalitat inversa, té una gràfica molt característica: la hipèrbola.
La funció $y = \frac{k}{x}$
Mou $k$, fins i tot a valors negatius:
-
Si $k > 0$: les dues branques són als quadrants I i III, i la funció decreix en cada branca.
-
Si $k < 0$: les branques són als quadrants II i IV, i creix en cada branca.
-
Com més gran és $|k|$, més lluny de l'origen queden les branques.
Considera la funció $y = \frac{12}{x}$. a) Quant val la constant de proporcionalitat inversa $k$? b) Copia i completa al teu quadern la taula per a $x = 1$, $2$, $3$,…
Considera la funció $y = \frac{12}{x}$.
- a) Quant val la constant de proporcionalitat inversa $k$?
- b) Copia i completa al teu quadern la taula per a $x = 1$, $2$, $3$, $4$, $6$ i $12$.
- c) Què passa amb els valors de $y$ a mesura que $x$ es fa més gran?
Sense representar-les, indica en quins quadrants es troben les branques de cadascuna d'aquestes hipèrboles i raona per què: a) $y = \frac{7}{x}$ b) $y = \frac{-4}{x}$ c)…
Sense representar-les, indica en quins quadrants es troben les branques de cadascuna d'aquestes hipèrboles i raona per què:
- a) $y = \frac{7}{x}$
- b) $y = \frac{-4}{x}$
- c) $y = \frac{1}{5x}$
De què depenen els quadrants que ocupa una hipèrbola $y = \frac{k}{x}$?
A la figura apareixen les hipèrboles $y = \frac{3}{x}$ i $y = \frac{12}{x}$ per a valors positius de $x$, com es mostra a continuació. a) Associa cada corba amb la seva…
A la figura apareixen les hipèrboles $y = \frac{3}{x}$ i $y = \frac{12}{x}$ per a valors positius de $x$, com es mostra a continuació.
- a) Associa cada corba amb la seva equació.
- b) Quin efecte té el valor de $k$ en la posició de la hipèrbola respecte a l'origen?
- c) On dibuixaries $y = \frac{6}{x}$? Justifica-ho.
Asímptotes
La hipèrbola s'acosta cada cop més als eixos, però mai els toca:
-
Quan $x$ s'acosta a 0, $y$ es fa enorme (positiva o negativa).
-
Quan $x$ es fa molt gran, $y$ s'acosta a 0.
Aquestes rectes a les quals s'enganxa la gràfica sense arribar a tocar-les es diuen asímptotes. A $y = \frac{k}{x}$ són els dos eixos.
Considera la funció $y = \frac{8}{x}$. a) Talla la seva gràfica l'eix $X$? I l'eix $Y$? Justifica les teves respostes fent servir l'equació. b) Quins valors pren $y$…
Considera la funció $y = \frac{8}{x}$.
- a) Talla la seva gràfica l'eix $X$? I l'eix $Y$? Justifica les teves respostes fent servir l'equació.
- b) Quins valors pren $y$ quan $x$ s'acosta a $0$ per la dreta ($x = 1$, $0,1$, $0,01$…)? I quan $x$ es fa molt gran?
- c) Explica amb les teves paraules què significa que els eixos de coordenades siguin asímptotes de la hipèrbola.
Problemes amb la hipèrbola
Si saps que és de proporcionalitat inversa i coneixes un punt, ja coneixes $k$: $k = x \cdot y$.
Un grup de ciclistes ha de recórrer $240\ \text{km}$ entre dues etapes. La velocitat mitjana $v$ a la qual rodin determinarà el temps $t$ que triguin. a) Escriu la…
Un grup de ciclistes ha de recórrer $240\ \text{km}$ entre dues etapes. La velocitat mitjana $v$ a la qual rodin determinarà el temps $t$ que triguin.
- a) Escriu la funció que dona el temps $t$ en funció de la velocitat $v$.
- b) Completa al teu quadern la taula per a $v = 10$, $15$, $20$, $30$ i $40\ \text{km/h}$.
- c) És una funció de proporcionalitat inversa? Quant val $k$?
Uns quants pintors han de pintar una tanca. Un sol pintor trigaria $12$ dies treballant al mateix ritme. a) Escriu la funció que relaciona el nombre de pintors $x$ amb…
Uns quants pintors han de pintar una tanca. Un sol pintor trigaria $12$ dies treballant al mateix ritme.
- a) Escriu la funció que relaciona el nombre de pintors $x$ amb els dies $y$ que triguen.
- b) Quant triguen $4$ pintors? I $6$?
- c) Té sentit donar valors decimals a $x$ en aquest context? I valors negatius? Explica quins valors pot prendre $x$.
Una funció de proporcionalitat inversa passa pel punt $P(4, 6)$. a) Calcula la seva constant $k$ i escriu la seva equació. b) Completa una taula de valors amb $x = 1$,…
Una funció de proporcionalitat inversa passa pel punt $P(4, 6)$.
- a) Calcula la seva constant $k$ i escriu la seva equació.
- b) Completa una taula de valors amb $x = 1$, $2$, $3$, $6$, $8$ i $12$.
- c) Representa la hipèrbola al teu quadern per a valors positius de $x$.
- d) Passa també pel punt $(-3, -8)$? Comprova-ho amb l'equació.