Potències de nombres racionals

Calcula el valor numèric de les potències següents. Recorda que has d'elevar tant el numerador com el denominador a l'exponent indicat. Expressa el resultat com una fracció irreductible.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{5} \right)^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4$

4. $\left( \frac{10}{7} \right)^0$

Tenim una rajola quadrada petita per a un mosaic. El costat de la rajola mesura $\frac{2}{5}$ de metre. Calcula l'àrea que ocupa aquesta rajola expressant el resultat com una fracció.

Ajuda't de l'esquema visual següent:

A vegades confonem la mida de les fraccions quan les elevem a una potència. Observa el gràfic següent que representa la unitat, $\left(\frac{1}{2}\right)^1$ i $\left(\frac{1}{2}\right)^2$.

Basant-te en la lògica anterior, ordena les potències següents de menor a major:

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^2, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^1, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^3 $$

En matemàtiques, a vegades necessitem canviar el signe de l'exponent per poder operar. Transforma les potències següents perquè tinguin exponent positiu, invertint la base quan sigui necessari. No cal que calculis el resultat final, només expressa la potència transformada.

1. $\left( \frac{4}{5} \right)^{-2}$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^{-4}$

3. $5^{-3}$

4. $\left( -\frac{2}{7} \right)^{-3}$

Calcula el valor de les potències següents transformant-les primer en potències d'exponent positiu. Recorda que el resultat ha de ser una fracció irreductible.

1. a) $(\frac{3}{5})^{-2}$
2. b) $(\frac{-2}{3})^{-3}$
3. c) $-( \frac{1}{4} )^{-2}$
4. d) $(\frac{10}{3})^{-1}$

Determina el signe (positiu o negatiu) del resultat de les potències següents sense necessitat de fer el càlcul complet. Raona la teva resposta basant-te en si la base és negativa i si l'exponent és parell o senar.

1. $\left( -\frac{1}{2} \right)^4$

2. $\left( -\frac{3}{4} \right)^3$

3. $\left( \frac{5}{2} \right)^{-2}$

4. $\left( -\frac{2}{3} \right)^{-5}$

Utilitza les propietats de les potències per simplificar les expressions següents. Has de deixar el resultat expressat com una única potència (no cal calcular el valor final).

1. $\left( \frac{3}{4} \right)^5 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2$

2. $\left( \frac{2}{5} \right)^7 : \left( \frac{2}{5} \right)^4$

3. $\left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$

4. $\left[ \left( \frac{5}{3} \right)^2 \right]^4$

Utilitza les propietats de les potències per simplificar les expressions següents i escriu el resultat com una única potència de base racional. No cal que calculis el valor final, només la potència simplificada.

1. a) $(\frac{2}{7})^3 \cdot (\frac{2}{7})^5 : (\frac{2}{7})^{-2}$
2. b) $[(\frac{1}{5})^2]^{-3} \cdot (\frac{1}{5})^4$
3. c) $(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{6}{5})^4$

Tenim una pilota de goma especial. Cada vegada que rebota contra terra, arriba a una alçària que és $\frac{2}{3}$ de l'alçària anterior.

Si deixem caure la pilota des d'una alçària de 2 metres:

1. a) Expressa mitjançant una potència l'alçària que arriba a tenir després del quart rebot.
2. b) És aquesta alçària més gran o més petita que 0,3 metres? Justifica la teva resposta fent servir el càlcul de la potència.