Volum d'un cos geomètric
Quanta aigua cap en un aquari? Quant gelat hi ha en un cornet? Quantes boles de plom es poden fabricar fonent una esfera gran? Totes aquestes preguntes són de volum: l'espai que ocupa un cos.
Unitats de volum i capacitat
El volum es mesura en unitats cúbiques: $1 \text{ cm}^3$ és un cubet d'1 cm d'aresta. Cada unitat és 1 000 vegades la següent (perquè $10 \cdot 10 \cdot 10$).
Un aquari té forma d'ortoedre amb les mides següents: $60\text{ cm}$ de llargària, $30\text{ cm}$ d'amplària i $40\text{ cm}$ d'alçària. Calcula quants litres d'aigua…
Un aquari té forma d'ortoedre amb les mides següents: $60\text{ cm}$ de llargària, $30\text{ cm}$ d'amplària i $40\text{ cm}$ d'alçària. Calcula quants litres d'aigua caben a l'aquari si s'omple per complet. (Recorda que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litre}$).
Prismes i cilindres
Un prisma o un cilindre són "piles" de bases iguals. El seu volum és àrea de la base per altura:
$$V = A_{base} \cdot h \qquad \text{Ortoedre: } V = a \cdot b \cdot c \qquad \text{Cilindre: } V = \pi r^2 h$$Un paquet que conté un teclat "gamer" té forma d'ortoedre. Les seves dimensions són $45\text{ cm}$ de llargària, $15\text{ cm}$ d'amplària i $5\text{ cm}$ d'altura.…
Un paquet que conté un teclat "gamer" té forma d'ortoedre. Les seves dimensions són $45\text{ cm}$ de llargària, $15\text{ cm}$ d'amplària i $5\text{ cm}$ d'altura. Calcula el volum d'aire que ocupa la caixa en centímetres cúbics.
Una llauna de refresc cilíndrica té un diàmetre de $6\text{ cm}$ i una altura de $12\text{ cm}$. Calcula el seu volum utilitzant el valor de $\pi \approx 3,14$.
Una llauna de refresc cilíndrica té un diàmetre de $6\text{ cm}$ i una altura de $12\text{ cm}$. Calcula el seu volum utilitzant el valor de $\pi \approx 3,14$.
Calcula el volum d'un prisma la base del qual és un triangle rectangle de catets $6\text{ cm}$ i $8\text{ cm}$, sabent que l'altura del prisma és de $15\text{ cm}$.
Calcula el volum d'un prisma la base del qual és un triangle rectangle de catets $6\text{ cm}$ i $8\text{ cm}$, sabent que l'altura del prisma és de $15\text{ cm}$.
Piràmides i cons: un terç
Si omples d'aigua una piràmide i la buides en un prisma amb la mateixa base i la mateixa altura, necessites exactament tres piràmides per omplir-lo. El mateix passa amb el con i el cilindre.
$$V_{pirámide} = \frac{A_{base} \cdot h}{3} \qquad\qquad V_{cono} = \frac{\pi r^2 h}{3}$$Una piràmide de vidre decorativa té una base quadrada de $8\text{ cm}$ de costat i una altura de $10\text{ cm}$. Calcula el volum de vidre necessari per fabricar-la.
Una piràmide de vidre decorativa té una base quadrada de $8\text{ cm}$ de costat i una altura de $10\text{ cm}$. Calcula el volum de vidre necessari per fabricar-la.
Un cucurutxo de gelat té forma de cone. El radi de la base és de $3\text{ cm}$ i la seva altura és de $12\text{ cm}$. Calcula quants centímetres cúbics de gelat hi caben…
Un cucurutxo de gelat té forma de cone. El radi de la base és de $3\text{ cm}$ i la seva altura és de $12\text{ cm}$. Calcula quants centímetres cúbics de gelat hi caben a l'interior (sense que sobresorti res per dalt).
Es vol fabricar un gelat amb forma de cone la generatriu del qual mesura $15 \text{ cm}$ i el radi de la seva base és de $6 \text{ cm}$. Calcula el volum de gelat que hi…
Es vol fabricar un gelat amb forma de cone la generatriu del qual mesura $15 \text{ cm}$ i el radi de la seva base és de $6 \text{ cm}$. Calcula el volum de gelat que hi cap a l'interior del cone. Si en servir-lo s'hi afegeix una semiesfera perfecta de gelat sobre la base (del mateix radi), quin serà el volum total del gelat?
L'esfera
$$V_{esfera} = \frac{4}{3}\pi r^3$$El professor d'educació física guarda les pilotes d'handbol en una caixa. Si cada pilota té un radi de $9\text{ cm}$, calcula el volum d'una d'elles errodonent a dos…
El professor d'educació física guarda les pilotes d'handbol en una caixa. Si cada pilota té un radi de $9\text{ cm}$, calcula el volum d'una d'elles errodonent a dos decimals. (Utilitza $\pi \approx 3,14$).
Tres boles metàl·liques de radi $3 \text{ cm}$ es refonen per crear una única esfera de mida més gran. Suposant que no es perd material en el procés, quin serà el radi…
Tres boles metàl·liques de radi $3 \text{ cm}$ es refonen per crear una única esfera de mida més gran. Suposant que no es perd material en el procés, quin serà el radi de la nova esfera resultant? Arrodoneix el resultat a les centèsimes.
Cossos compostos
Molts objectes reals combinen diversos cossos: un sitja (cilindre + con), una càpsula (cilindre + dues semiesferes), una peça amb un forat. Es descomponen, es calcula cada part i se'n fa la suma (o es resta el buit).
Un got cilíndric de $6 \text{ cm}$ de diàmetre interior conté aigua fins a una altura de $10 \text{ cm}$. S'hi introdueix una pedra de forma irregular i el nivell de…
Un got cilíndric de $6 \text{ cm}$ de diàmetre interior conté aigua fins a una altura de $10 \text{ cm}$. S'hi introdueix una pedra de forma irregular i el nivell de l'aigua puja fins als $12,5 \text{ cm}$ sense arribar a vessar. A la figura, la línia discontínua marca el nivell inicial de l'aigua i la línia blava contínua, el nivell final.
Quin és el volum de la pedra expressat en centímetres cúbics?
Calcula el volum d'un cos geomètric format per un cilindre de $10 \text{ cm}$ d'altura i $4 \text{ cm}$ de radi, que té a la part superior una piràmide quadrangular la…
Calcula el volum d'un cos geomètric format per un cilindre de $10 \text{ cm}$ d'altura i $4 \text{ cm}$ de radi, que té a la part superior una piràmide quadrangular la base de la qual està inscrita en la circumferència del cilindre i l'altura de la qual és de $6 \text{ cm}$.
(Pista: el costat del quadrat de la base de la piràmide coincideix amb el costat d'un quadrat inscrit en una circumferència de radi $4 \text{ cm}$).
L'ajuntament d'una ciutat ha instal·lat jardineres de ciment amb forma de prisma hexagonal regular. Si cada costat de l'hexàgon de la base mesura $30 \text{ cm}$ i…
L'ajuntament d'una ciutat ha instal·lat jardineres de ciment amb forma de prisma hexagonal regular. Si cada costat de l'hexàgon de la base mesura $30 \text{ cm}$ i l'altura de la jardinera és de $60 \text{ cm}$, calcula el volum de terra (en litres) necessari per omplir-la per complet.
(Dada: recorda que primer has de trobar l'apotema de la base utilitzant el teorema de Pitàgores).
Torna al principi: Per saber quanta aigua cap en un aquari de $60 \times 30 \times 40\text{ cm}$, calculem el seu volum com a prisma rectangular: $V = 60 \cdot 30 \cdot 40 = 72\,000\text{ cm}^3 = 72\text{ dm}^3$, cosa que equival exactament a $72\text{ L}$ d'aigua.