Àrea d'un políedre
Quant de cartró fa falta per a una caixa? Quant de vidre per a un llumener amb forma de piràmide? Per saber-ho cal calcular l'àrea del políedre: la suma de les àrees de totes les seves cares. El truc és desplegar-lo i veure'l pla.
El desenvolupament pla
Si "obres" un políedre i l'estens sobre la taula, obtens el seu desenvolupament pla: totes les seves cares unides per algunes arestes. L'àrea del políedre és l'àrea d'aquest desenvolupament.
Un jove dissenyador està creant un prototip d'altaveu intel·ligent amb forma de cub. Si l'aresta del cub mesura $9\text{ cm}$, calcula la superfície total de material…
Un jove dissenyador està creant un prototip d'altaveu intel·ligent amb forma de cub. Si l'aresta del cub mesura $9\text{ cm}$, calcula la superfície total de material plàstic que es necessita per recobrir totes les seves cares.
A partir del desenvolupament pla de la figura, identifica de quin poliedre es tracta i calcula la seva àrea total sabent que cada quadrat té $5\text{ cm}$ de costat.
A partir del desenvolupament pla de la figura, identifica de quin poliedre es tracta i calcula la seva àrea total sabent que cada quadrat té $5\text{ cm}$ de costat.
Àrea d'un prisma
Les cares laterals d'un prisma recte, desplegades, formen un rectangle la base del qual és el perímetre de la base del prisma i l'altura del qual és l'altura del prisma.
Una caixa de sabates té forma d'ortoedre (prisma rectangular) amb les dimensions següents: $30\text{ cm}$ de llargada, $18\text{ cm}$ d'amplada i $12\text{ cm}$…
Una caixa de sabates té forma d'ortoedre (prisma rectangular) amb les dimensions següents: $30\text{ cm}$ de llargada, $18\text{ cm}$ d'amplada i $12\text{ cm}$ d'altura. Calcula l'àrea total de cartró utilitzat per fabricar la caixa (sense comptar solapes).
Un estoig per a un instrument musical té forma de prisma triangular directe. La base és un triangle equilàter de $8\text{ cm}$ de costat i l'altura del prisma és de…
Un estoig per a un instrument musical té forma de prisma triangular directe. La base és un triangle equilàter de $8\text{ cm}$ de costat i l'altura del prisma és de $40\text{ cm}$. Si l'àrea de la base triangular és aproximadament $27,7\text{ cm}^2$, calcula l'àrea total de l'estoig.
Calcula l'àrea lateral d'un prisma directe l'altura del qual és de $12\text{ cm}$ i la base del qual és un rombe de diagonals $16\text{ cm}$ i $12\text{ cm}$. (Pista:…
Calcula l'àrea lateral d'un prisma directe l'altura del qual és de $12\text{ cm}$ i la base del qual és un rombe de diagonals $16\text{ cm}$ i $12\text{ cm}$.
(Pista: Primer has de trobar el costat del rombe utilitzant el teorema de Pitàgores en un dels triangles rectangles interiors de la base).
Àrea d'una piràmide
Les cares laterals d'una piràmide regular són triangles iguals de base el costat $l$ i altura l'apotema de la piràmide $ap$:
$$A_L = \frac{P_{base} \cdot ap}{2} \qquad\qquad A_T = A_L + A_{base}$$Calcula l'àrea lateral d'una piràmide quadrangular regular si sabem que el costat de la base mesura $10\text{ cm}$ i l'apotema de la piràmide (l'altura de les seves…
Calcula l'àrea lateral d'una piràmide quadrangular regular si sabem que el costat de la base mesura $10\text{ cm}$ i l'apotema de la piràmide (l'altura de les seves cares laterals) mesura $15\text{ cm}$.
Una empresa d'arquitectura ha dissenyat una lluerna de vidre amb forma de piràmide quadrangular regular. L'aresta de la base mesura $4\text{ m}$ i l'altura de la…
Una empresa d'arquitectura ha dissenyat una lluerna de vidre amb forma de piràmide quadrangular regular. L'aresta de la base mesura $4\text{ m}$ i l'altura de la piràmide és de $3\text{ m}$. Calcula la superfície total de vidre necessària per cobrir les quatre cares laterals (la base queda oberta per deixar passar la llum a l'interior de l'edifici).
Tronc de piràmide i políedres regulars
-
Tronc de piràmide: les cares laterals són trapezis. $A_L = \dfrac{(P_B + P_b) \cdot ap}{2}$, i el total suma les dues bases.
-
Políedres regulars: totes les cares són iguals, així que $A = n.º\ \text{de caras} \cdot \text{área de una cara}$. Per a triangles equilàters de costat $l$: àrea de cada cara $= \frac{\sqrt 3}{4}\,l^2$.
Un vidrier ha de fabricar un vidre per a un llum amb forma de tetraedre regular (totes les seves cares són triangles equilàters iguals). Si cada cara té una àrea de…
Un vidrier ha de fabricar un vidre per a un llum amb forma de tetraedre regular (totes les seves cares són triangles equilàters iguals). Si cada cara té una àrea de $15,6\text{ cm}^2$, quanta superfície de vidre tindrà el llum complet?
Calcula l'àrea total d'un tronc de piràmide quadrangular regular les bases del qual són quadrats de costats $12\text{ cm}$ i $6\text{ cm}$ respectivament, i l'altura de…
Calcula l'àrea total d'un tronc de piràmide quadrangular regular les bases del qual són quadrats de costats $12\text{ cm}$ i $6\text{ cm}$ respectivament, i l'altura de la cara lateral (apotema del tronc) és de $8\text{ cm}$. Quant de paper de regal es necessita com a mínim per embolicar un objecte amb aquesta forma?
Un trofeu té la forma d'un octaedre regular de $6\text{ cm}$ d'aresta. El trofeu es baanyarà en plata, i el cost del bany és de $0,05\text{ €}$ per cada centímetre…
Un trofeu té la forma d'un octaedre regular de $6\text{ cm}$ d'aresta. El trofeu es baanyarà en plata, i el cost del bany és de $0,05\text{ €}$ per cada centímetre quadrat. Quin serà el cost total d'argentar les $8$ cares del trofeu?
(Dada: L'àrea d'un triangle equilàter de costat $a$ és $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$).
Torna al principi: Per calcular el cartró d'una caixa tancada trobes l'àrea total (lateral més dues bases), mentre que per al vidre d'un llumener piramidal només calcules l'àrea lateral, ja que la base queda oberta a l'interior de l'edifici.