Expressions algebraiques
Una subscripció de música costa 9 € al mes. Quant pagues en $x$ mesos? $9x$ euros. Amb una lletra has escrit, d'un sol cop, la resposta per a qualsevol nombre de mesos. Això és l'àlgebra: fer servir lletres per representar nombres que poden canviar o que encara no coneixem.
El llenguatge algebraic
Una expressió algebraica combina nombres i lletres (variables) amb operacions. Traduir del llenguatge normal a l'algebraic és la primera habilitat que necessites:
| Llenguatge normal | Llenguatge algebraic |
|---|---|
| El doble d'un nombre | $2x$ |
| Un nombre més 5 | $x + 5$ |
| El quadrat d'un nombre | $x^2$ |
| La meitat d'un nombre menys 3 | $\frac{x}{2} - 3$ |
| La meitat de (un nombre menys 3) | $\frac{x - 3}{2}$ |
| Dos nombres consecutius | $x,\ x + 1$ |
| Un nombre parell / senar | $2n$ / $2n + 1$ |
En una botiga d'aplicacions per a mòbils, el cost d'una subscripció mensual a un servei de música és de $x$ euros. A més, hi ha una comissió fixa de $1,50$ € per…
En una botiga d'aplicacions per a mòbils, el cost d'una subscripció mensual a un servei de música és de $x$ euros. A més, hi ha una comissió fixa de $1,50$ € per despeses de gestió en cada rebut (s'emet un rebut per persona i per mes). Expressa en llenguatge algebraic:
- a) El cost total d'un mes de subscripció.
- b) El cost de tres mesos de subscripció per a un mateix usuari.
- c) El cost de la subscripció d'un mes per a un grup de 4 amics si a cadascun se li aplica un descompte de $2$ € sobre el preu base $x$.
Un arquitecte està dissenyant una habitació rectangular. La llargada de l'habitació mesura $5$ metres més que l'amplada. Si anomenem $x$ l'amplada de l'habitació: a)…
Un arquitecte està dissenyant una habitació rectangular. La llargada de l'habitació mesura $5$ metres més que l'amplada. Si anomenem $x$ l'amplada de l'habitació:
- a) Escriu una expressió algebraica que representi el perímetre de l'habitació.
- b) Escriu una expressió algebraica que representi l'àrea de l'habitació.
Monomis
Dos monomis són semblants si tenen la mateixa part literal: $3x^2$ i $-7x^2$ ho són; $3x^2$ i $3x$ no. Només els semblants es poden sumar o restar, sumant els coeficients:
$$3x^2 - 7x^2 + x^2 = (3 - 7 + 1)x^2 = -3x^2$$Copia i completa la taula següent identificant els elements de cada monomi donat: | Monomi | Coeficient | Part literal | Grau | | :--- | :---: | :---: | :---: | |…
Copia i completa la taula següent identificant els elements de cada monomi donat:
| Monomi | Coeficient | Part literal | Grau |
|---|---|---|---|
| $-5x^2y$ | |||
| $\frac{3}{4}ab^3$ | |||
| $x^2yz^2$ | |||
| $-12$ |
Redueix les expressions algebraiques següents sumant o restant els monomis semblants: a) $3x^2 - 5x + 2x^2 + x - 4x^2$ b) $2ab^2 + 3a^2b - 5ab^2 + a^2b$ c)…
Redueix les expressions algebraiques següents sumant o restant els monomis semblants:
- a) $3x^2 - 5x + 2x^2 + x - 4x^2$
- b) $2ab^2 + 3a^2b - 5ab^2 + a^2b$
- c) $x + \frac{1}{2}x + 3x$
Polinomis
Un polinomi és una suma de monomis no semblants (els seus termes). Normalment s'escriu ordenat de major a menor grau:
$$P(x) = -2x^3 + 5x^2 - x + 7$$-
Grau del polinomi: el major grau dels seus termes (aquí, 3).
-
Coeficient principal: el del terme de major grau ($-2$).
-
Terme independent: el que no porta $x$ ($7$).
-
Si falta algun grau, el polinomi és incomplet: $x^3 - 4$ no té $x^2$ ni $x$.
Atès el polinomi $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - x + 7$, respon a les qüestions següents: a) Quin és el grau del polinomi? b) Quin és el coeficient del terme de grau 2? c) Quin…
Atès el polinomi $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - x + 7$, respon a les qüestions següents:
- a) Quin és el grau del polinomi?
- b) Quin és el coeficient del terme de grau 2?
- c) Quin és el terme independent?
- d) Ordena el polinomi de forma creixent (de menor a major grau).
Valor numèric i arrels
El valor numèric d'un polinomi per a $x = a$ és el que surt en substituir $x$ per $a$ i operar. S'escriu $P(a)$.
Si $P(a) = 0$, es diu que $a$ és una arrel del polinomi. Gràficament, les arrels són els punts on la gràfica talla l'eix $X$. Passa el dit per la gràfica per veure el valor numèric en cada punt:
Aquí $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ té tres arrels: $-1$, $1$ i $2$. Comprova-ho: $P(1) = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$.
Calcula el valor numèric de les expressions algebraiques següents per als valors de les variables que s'indiquen: a) $3x^2 - 5x + 2$ per a $x = 2$ b) $2(a + b)^2$ per a…
Calcula el valor numèric de les expressions algebraiques següents per als valors de les variables que s'indiquen:
- a) $3x^2 - 5x + 2$ per a $x = 2$
- b) $2(a + b)^2$ per a $a = -1$ i $b = 3$
- c) $\frac{x + 2y}{2}$ per a $x = 4$ i $y = -3$
Una empresa de lloguer de patinets elèctrics utilitza la següent expressió algebraica per calcular el cost en cèntims del lloguer en funció dels minuts d'ús ($x$): $$…
Una empresa de lloguer de patinets elèctrics utilitza la següent expressió algebraica per calcular el cost en cèntims del lloguer en funció dels minuts d'ús ($x$):
$$ C(x) = 2x^2 - 5x + 150 $$Nota: Aquesta fórmula és un model promocional per a usuaris VIP i és vàlida per a trajectes curts.
-
Calcula el valor numèric del cost si utilitzes el patinet durant 10 minuts.
-
Si un usuari ha pagat exactament 150 cèntims, quants minuts teòricament ha estat utilitzant el patinet segons la fórmula? (Pista: observa el terme independent i troba totes les solucions possibles).
-
Desenvolupa l'expressió del cost per a un temps de $(x + 3)$ minuts, és a dir, calcula i simplifica $C(x+3)$.
Volem comprovar si certs valors són "arrels" d'un polinomi. Recorda que una arrel és un valor que fa que el polinomi valgui zero. Atès el polinomi…
Volem comprovar si certs valors són "arrels" d'un polinomi. Recorda que una arrel és un valor que fa que el polinomi valgui zero.
Atès el polinomi $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$:
-
Utilitza la regla de Ruffini per dividir $P(x)$ entre $(x - 1)$. Quin és el residu? És $x=1$ una arrel del polinomi?
-
Sense usar Ruffini, calcula el valor numèric $P(-2)$. És $x=-2$ una arrel?
-
Escriu el polinomi $P(x)$ com a producte dels seus factors irreductibles sabent les seves arrels.