Proporcionalitat directa
Si 3 entrades de cinema costen 22,50 €, 6 entrades costen 45 €. Doble d'entrades, doble de preu. Triple d'entrades, triple de preu. Quan dues magnituds es comporten així, són directament proporcionals, i calcular amb elles és molt senzill.
Magnituds directament proporcionals
| Entrades ($x$) | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| Preu en € ($y$) | 7,50 | 15 | 22,50 | 30 | 45 |
| $y/x$ | 7,50 | 7,50 | 7,50 | 7,50 | 7,50 |
Aquí $k = 7{,}50$: és el preu per unitat. La constant gairebé sempre té un significat com aquest: preu per quilo, quilòmetres per hora, euros per hora…
Determina si els parells de magnituds següents són directament proporcionals. Justifica breument la teva resposta: a) El nombre de seguidors d'un "influencer" i els…
Determina si els parells de magnituds següents són directament proporcionals. Justifica breument la teva resposta:
- a) El nombre de seguidors d'un "influencer" i els "likes" que rep a la seva última foto.
- b) La quantitat de quilos de pomes que compres i el preu total a pagar.
- c) L'edat d'una persona i la seva alçària en centímetres.
- d) El temps que deixes el mòbil carregant i el percentatge de bateria que recupera (suposant que carrega de forma constant).
Un grup d'amics vol anar al cinema. Sabem que $3$ entrades han costat $22,50$ €. Completa la taula següent i calcula la constant de proporcionalitat $k$ (preu per…
Un grup d'amics vol anar al cinema. Sabem que $3$ entrades han costat $22,50$ €. Completa la taula següent i calcula la constant de proporcionalitat $k$ (preu per entrada):
| Nombre d'entrades | $1$ | $3$ | $5$ | $8$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Preu total (€) | $22,50$ |
La gràfica: una recta per l'origen
Si dibuixes els punts de la taula, queden alineats en una recta que passa per l'origen $(0, 0)$: 0 entrades, 0 €. La constant $k$ és el pendent (el que puja la recta per cada unitat que avança).
Un cotxe de radiocontrol recorre $12$ metres en tot just $8$ segons mantenint una velocitat constant. Si es continua movent de la mateixa manera: a) Quina distància…
Un cotxe de radiocontrol recorre $12$ metres en tot just $8$ segons mantenint una velocitat constant. Si es continua movent de la mateixa manera:
- a) Quina distància recorrerà en un minut ($60$ segons)?
- b) Quant de temps trigarà a recórrer una pista de $30$ metres?
La bateria d'un patinet elèctric es consumeix de forma proporcional a la distància recorreguda. Si per fer un trajecte de $4,5$ km s'ha gastat un $12 \%$ de la capacitat…
La bateria d'un patinet elèctric es consumeix de forma proporcional a la distància recorreguda. Si per fer un trajecte de $4,5$ km s'ha gastat un $12 \%$ de la capacitat total de la bateria, calcula mitjançant reducció a la unitat quanta bateria es consumirà en un recorregut de $15$ km pel mateix tipus de terreny.
Regla de tres directa
Per calcular un valor desconegut hi ha dos camins equivalents:
1. Reducció a la unitat: calcula primer el valor per a 1 i després multiplica.
2. Regla de tres (proporció): col·loca les dades i fes servir els productes creuats.
Escales i plànols
Les escales són proporcionalitat directa: mesura real $= k \cdot$ mesura al mapa.
Per preparar un batut de fruites per a $4$ persones, es necessiten $600$ ml de llet. Si dissabte que ve convidaràs $10$ amics a casa, quanta llet necessitaràs comprar…
Per preparar un batut de fruites per a $4$ persones, es necessiten $600$ ml de llet. Si dissabte que ve convidaràs $10$ amics a casa, quanta llet necessitaràs comprar perquè tots tinguin el seu batut? Resol utilitzant una regla de tres simple directa.
Una impressora 3D triga $45$ minuts a fabricar una peça que pesa $60$ grams. Si volem imprimir una figura del mateix material que pesa $100$ grams, quant de temps…
Una impressora 3D triga $45$ minuts a fabricar una peça que pesa $60$ grams. Si volem imprimir una figura del mateix material que pesa $100$ grams, quant de temps trigarà la impressora? Expressa el resultat en hores i minuts.
Un mapa de senderisme de la Sierra de Guadarrama està dibuixat a una escala $1:25000$. Un grup d'estudiants planeja una ruta que al mapa mesura $14,4$ cm. 1. Quants…
Un mapa de senderisme de la Sierra de Guadarrama està dibuixat a una escala $1:25000$. Un grup d'estudiants planeja una ruta que al mapa mesura $14,4$ cm.
-
Quants quilòmetres reals recorreran en total?
-
Si caminen a una velocitat constant i triguen $45$ minuts a recórrer els primers $3$ km, quant de temps total els portarà completar la ruta?
Percentatges com a proporcionalitat
Un percentatge és una proporció amb 100: el 15 % de 45 € és $\frac{15}{100} = \frac{x}{45}$, així que $x = 6{,}75$ €. Per això la quantitat i el seu percentatge són directament proporcionals: el 15 % del doble és el doble.
Has vist una dessuadora que t'encanta en una botiga en línia. El seu preu original és de $45$ €, però avui té un descompte del $15\%$. Quants euros t'estalvies gràcies a…
Has vist una dessuadora que t'encanta en una botiga en línia. El seu preu original és de $45$ €, però avui té un descompte del $15\%$. Quants euros t'estalvies gràcies a la rebaixa? (No cal calcular el preu final).
A la mateixa hora del dia, l'ombra d'un senyal de trànsit de $2,2$ metres d'alçària mesura $1,4$ metres. Si just a la vora hi ha una torre d'alta tensió la meva/seva…
A la mateixa hora del dia, l'ombra d'un senyal de trànsit de $2,2$ metres d'alçària mesura $1,4$ metres. Si just a la vora hi ha una torre d'alta tensió la meva/seva ombra mesura $10,5$ metres, quina alçària té la torre? Fes un dibuix esquemàtic de la situació abans de resoldre el problema.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.