Exercicis: Progressions geomètriques

Analitza les seqüències numèriques següents. La teva tasca és identificar quines d'elles són progressions geomètriques. Per a les que ho siguin, indica quina és la seva raó ($r$).

1. a) $2, 6, 18, 54, \dots$
2. b) $5, 10, 15, 20, \dots$
3. c) $80, 40, 20, 10, \dots$
4. d) $3, -3, 3, -3, \dots$

Observa la figura següent. Partim d'un quadrat gran de costat $8 \text{ cm}$. El quadrat següent es forma amb una longitud de costat que és la meitat de l'anterior, i així successivament.

Calcula la longitud del costat dels primers 4 quadrats i escriu el terme general $a_n$ de la successió que formen aquestes longituds.

Imagina que un vídeo viral en una xarxa social es comparteix molt ràpidament. Una persona penja el vídeo (minut 0). Al minut 1, el veuen 5 persones noves. Al minut 2, cadascuna d'aquestes 5 persones el comparteix amb 5 persones noves més, i així successivament.

1. Escriu els quatre primers termes de la successió de nous espectadors per minut.

2. Quina és la raó $r$ de creixement?

3. Escriu la fórmula del terme general $a_n$.

Tenim un full de paper amb un gruix inicial de $0,1 \text{ mm}$.

Si doblem el full per la meitat, el gruix es duplica. Si el tornem a doblar, es torna a duplicar.

Considera $a_1$ com el gruix després del primer plec.

1. Calcula el gruix del full després de 1, 2, 3 i 4 plecs.

2. Quin gruix tindrà la pila de paper després de 10 plecs? Expressa el resultat en mil·límetres.

Una pilota de goma es deixa caure des d'una certa alçària. A cada rebot, la pilota arriba a una alçària que és la meitat de l'alçària anterior.

Si en el primer rebot ($a_1$) arriba a una alçària de $160 \text{ cm}$:

1. a) Escriu la successió de les alçàries en els 5 primers rebots.
2. b) Quina és la raó $r$ d'aquesta progressió?
3. c) Quina alçària aconseguirà en el vuitè rebot?

Donada una progressió geomètrica on el primer terme és $a_1 = 3$ i la raó és $r = 2$:

1. a) Calcula el valor del terme que ocupa la posició 7 ($a_7$).
2. b) Calcula el valor del terme que ocupa la posició 10 ($a_{10}$).

Utilitza la fórmula del terme general: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.

Un avi decideix estalviar per al seu nét seguint una regla matemàtica curiosa. El primer mes desa 2 euros en una guardiola. El segon mes desa 6 euros. El tercer mes desa 18 euros.

Si continua amb aquesta lògica:

1. Comprova que és una progressió geomètrica i troba la raó $r$.

2. Calcula quants diners haurà de ficar a la guardiola el cinquè mes.

Tenim una progressió geomètrica formada per fraccions. Sabem que els primers termes són:

1. a) Identifica el primer terme $a_1$ i la raó $r$.
2. b) Calcula el terme $a_6$ sense necessitat de multiplicar un per un, fent servir la fórmula general.

En David està resolent un exercici de classe: «Troba el sisè terme d'una progressió geomètrica el primer terme de la qual és $a_1 = 6$ i la raó de la qual és $r = 3$». A la seva llibreta ha escrit el següent:

1. a) Identifica i explica amb claredat l'error conceptual i de jerarquia d'operacions que ha comès en David.
2. b) Escriu la fórmula del terme general de manera correcta i calcula el valor real d'$a_6$.
3. c) Si en David hagués aplicat el seu procediment erroni per calcular únicament el segon terme ($a_2$), quin resultat hauria obtingut respecte al valor real? Explica per què l'error d'en David fa que la desviació es dispari de manera desorbitada en augmentar l'índex $n$.

Dissenya una progressió geomètrica que compleixi simultàniament aquestes tres condicions:

1. Els seus termes alternen de signe: el primer és positiu, el segon negatiu, el tercer positiu, etc.

2. El tercer terme val exactament $a_3 = 12$.

3. El cinquè terme val exactament $a_5 = 48$.

1. a) Planteja la relació matemàtica entre $a_3$ i $a_5$ mitjançant la raó $r$, dedueix els dos possibles valors numèrics de $r$ i justifica quin d'ells has de triar perquè es compleixi la condició d'alternança de signes.
2. b) A partir del valor de la raó, determina raonadament el primer terme $a_1$.
3. c) Escriu els primers quatre termes de la teva progressió geomètrica i raona per què, en una progressió amb raó negativa i primer terme positiu, resulta impossible que un terme amb subíndex senar sigui negatiu.

Un vídeo d'una streamer famosa s'ha tornat viral. La primera hora va tenir 5 visualitzacions. A causa de l'algorisme de la plataforma, cada hora que passa, el nombre de noves visualitzacions es multiplica per 3 respecte a l'hora anterior.

1. a) Escriu els cinc primers termes de la successió que representa les noves visualitzacions per hora.
2. b) Quina és la raó $r$ d'aquesta progressió geomètrica?
3. c) Escriu el terme general $a_n$ que permet calcular les visualitzacions a l'hora $n$.
4. d) Quantes noves visualitzacions tindrà el vídeo exactament a l'hora 8?

En un videojoc de rol, l'experiència necessària per pujar de nivell segueix una progressió geomètrica. Sabem que per assolir el nivell 2 necessites 150 punts d'experiència, i per assolir el nivell 5 necessites 1200 punts.

Calcula:

1. a) La raó $r$ de la progressió.
2. b) L'experiència necessària per al primer nivell ($a_1$).
3. c) L'experiència necessària per assolir el nivell 10.

Observa la figura fractal següent. Comencem amb un triangle equilàter d'àrea $64\text{ cm}^2$ (Etapa 1). A cada pas següent, en cadascun dels triangles que queden sense pintar, pintem el triangle central format pels punts mitjans dels seus costats (triangle invertit), el qual té una àrea igual a $1/4$ del triangle on es troba.

Considerant la successió formada per l'àrea total dels triangles nous que s'acoloreixen a cada etapa (a partir de l'Etapa 2):

1. a) Escriu els tres primers termes de la successió.
2. b) Quina és la raó d'aquesta progressió?
3. c) Calcula la suma de les àrees de tots els triangles acolorits si repetíssim el procés infinites vegades.

En Miquel vol comprar-se un patinet elèctric que costa 400 €. Decideix estalviar seguint un pla estricte: la primera setmana estalvia 2 €, la segona setmana 4 €, la tercera 8 €, i així successivament, duplicant la quantitat cada setmana.

1. a) Quants diners haurà d'estalviar la setmana número 8?
2. b) Quants diners haurà acumulat en total en acabar la setmana 8?
3. c) Haurà aconseguit prou diners per comprar el patinet en acabar la setmana 8? Si no és així, quantes setmanes necessita en total?

Es deixa caure una pilota de goma des d'una altura inicial de 20 metres. En cada rebot, la pilota perd energia i només arriba al 80% de l'altura anterior ($r = 0,8$).

1. a) Calcula l'altura que arriba la pilota després del tercer rebot.
2. b) Calcula la distància total recorreguda per la pilota (cap avall i cap amunt) en el moment en què toca el terra per quarta vegada.

Nota: Tingues en compte que la primera caiguda és de 20 m, però després puja i baixa.

Tenim un quadrat de costat 10 cm. Unim els punts mitjans dels seus costats per formar un segon quadrat inscrit. Repetim el procés amb el segon quadrat per formar-ne un de tercer, i així successivament.

1. a) Sabent que l'àrea de cada quadrat nou és la meitat de l'anterior, escriu la successió de les àrees dels 5 primers quadrats.
2. b) És una progressió aritmètica o geomètrica? Identifica el primer terme i la diferència o raó.
3. c) Calcula la suma de les àrees dels 10 primers quadrats generats.

Un biòleg estudia una colònia de bacteris en una placa de Petri. Inicialment compta 500 bacteris. Observa que la població augmenta un 20% cada hora.

1. a) Explica per què aquest creixement es correspon amb una progressió geomètrica i determina la raó $r$.
2. b) Escriu el terme general $a_n$ que descriu el nombre de bacteris després de $n$ hores. (Considera $a_0 = 500$ com l'inici, o ajusta la fórmula per a $a_1$ com la quantitat després d'1 hora).
3. c) Quants bacteris hi haurà, aproximadament, al cap de 12 hores?

Calcula el producte dels 6 primers termes d'una progressió geomètrica sabent que el primer terme és $a_1 = 3$ i que el quart terme és $a_4 = 24$.

Al laboratori de Ciències d'un institut de Gijón es realitza un assaig deixant caure una pilota des d'una alçària de $3\text{ m}$. Després de cada bot contra el terra, la pilota rebota assolint una alçària màxima equivalent al $60\,\%$ de l'alçària aconseguida en el bot anterior.

1. a) Estima abans de calcular: Si la pilota fes infinits bots ideals, creus que la suma de totes les alçàries assolides en els rebots ($a_1 + a_2 + a_3 + \ldots$) superarà els $10\text{ metres}$ o serà inferior a $6\text{ metres}$? Justifica breument la teva intuïció inicial sense fer servir fórmules.
2. b) Modela la situació: troba l'alçària assolida en el primer rebot ($a_1$) i escriu l'expressió del terme general $a_n$ de l'alçària corresponent al bot número $n$.
3. c) Aplica la fórmula de la suma dels infinits termes ($S_\infty$) per obtenir la suma teòrica total de les alçàries de tots els rebots.
4. d) Compara el valor exacte obtingut amb la teva estimació inicial. Com li explicaries a un company amb les teves pròpies paraules que la suma d'infinites quantitats positives pugui donar un número exacte i finit?

Segons les dades sobre repte demogràfic de l'Instituto Nacional de Estadística (INE), un municipi de la província de Zamora comptava amb $1.250$ habitants empadronats a 1 de gener de 2018. A causa de l'envelliment poblacional i de l'emigració, s'observa que la seva població descendeix a un ritme constant d'un $5\,\%$ anual.

1. a) Modela l'evolució de la població mitjançant una progressió geomètrica: calcula la raó $r$, indica el valor del terme inicial $a_1$ (població el 2018) i formula el terme general $a_n$, on $n=1$ correspon a l'any 2018, $n=2$ a 2019, i així successivament.
2. b) Calcula la població prevista per a l'any 2023 ($n = 6$), arrodonint al nombre sencer de persones més proper.
3. c) L'administració autonòmica estableix que si la població empadronada cau per sota dels $900$ habitants, el consultori mèdic local perd l'atenció presencial diària. Comprova numèricament si per a l'any 2025 ($n = 8$) el municipi ja haurà superat aquest llindar crític o si aconseguirà mantenir el servei.

Un biòleg estudia una soca de bacteris molt agressiva en una placa de Petri. Inicialment, compta 500 bacteris. Observa que la població augmenta un 15% cada hora.

Perquè l'experiment sigui controlable, la població no ha de superar els 2.000.000 de bacteris. Utilitzant la calculadora i els teus coneixements sobre el terme general d'una progressió geomètrica:

1. Escriu l'expressió del terme general $a_n$ que descriu el nombre de bacteris en funció de les hores transcorregudes $n$.

2. Calcula quants bacteris hi haurà exactament al cap de 24 hores.

3. Determina quantes hores completes poden passar com a màxim abans que el cultiu superi el límit de seguretat de 2 milions.

Una pilota de goma especial es deixa caure des d'una alçària de 2 metres. A causa de la pèrdua d'energia, cada vegada que bota contra el terra, puja només fins a l'80% de l'alçària des de la qual ha caigut anteriorment.

Aquest comportament genera una successió d'alçàries màximes assolides després de cada bot.

1. Calcula l'altura que aconsegueix la pilota després del cinquè bot.

2. Imagina que deixem que la pilota boti indefinidament fins a aturar-se. Calcula la distància total (cap avall i cap amunt) que haurà recorregut la pilota des que es va deixar anar fins que s'atura per complet. Vés amb compte: la primera caiguda és única, però els rebots impliquen pujar i baixar la mateixa distància.

Un famós youtuber llança una campanya benèfica. El primer dia dona 10 euros. Es compromet a que cada dia següent donarà una quantitat tal que la suma del que ha donat aquell dia i el dia anterior sigui el triple del que va donar el dia anterior.

Nota: Llegeix bé l'enunciat, és una endevinalla matemàtica sobre la raó $r$.

1. Calcula quant dona el segon i el tercer dia.

2. Demostra que les quantitats donades dia a dia formen una progressió geomètrica i troba la seva raó $r$.

3. Quants diners haurà donat en total al cap d'una setmana (7 dies)?

Estem dissenyant un logotip artístic basat en una successió de quadrats inscrits.

Partim d'un quadrat exterior de costat $L_1 = 20 \text{ cm}$.

El segon quadrat es forma unint els punts mitjans dels costats del primer. El tercer quadrat uneix els punts mitjans del segon, i així successivament.

1. Utilitza el Teorema de Pitàgores per trobar el costat del segon quadrat ($L_2$) i del tercer ($L_3$).

2. Determina la raó de la progressió geomètrica que formen les àrees d'aquests quadrats.

3. Si poguéssim dibuixar infinits quadrats cap a dins seguint aquest patró, quant valdria la suma de les àrees de tots els quadrats (l'àrea total acolorida)?

Una empresa de tecnologia ofereix dos tipus de contracte salarial per a un lloc de programador durant 5 anys:

• Contracte A: Salari inicial de 24.000 € anuals, amb un augment fix de 2.000 € cada any (progressió aritmètica).

• Contracte B: Salari inicial de 22.000 € anuals, amb un augment del 8% cada any respecte a l'any anterior (progressió geomètrica).

• Escriu el terme general $a_n$ per al Contracte A i $b_n$ per al Contracte B.

• Calcula el sou anual en el cinquè any per a tots dos contractes. Quin paga més aquest any en concret?

• Calcula la suma total de diners guanyats en els 5 anys amb cada contracte ($S_5$). Quin contracte és més beneficiós a llarg termini (en el total acumulat)?

Tenim una progressió geomètrica de la qual desconeixem la raó $r$ i el primer terme $a_1$. Tanmateix, sabem que el tercer terme val 12 ($a_3 = 12$) i el sisè terme val 96 ($a_6 = 96$).

1. Planteja un sistema d'equacions o utilitza la fórmula del terme general per trobar la raó $r$.

2. Una vegada tinguis la raó, calcula el primer terme $a_1$.

3. Calcula el producte dels 6 primers termes de la successió ($P_6$).

El Triangle de Sierpinski és un fractal famós que es construeix a partir d'un triangle equilàter.

El procés és el següent (a la figura, els triangles «negres» es dibuixen en verd):

• Pas 0: Tenim un triangle equilàter negre d'àrea $80 \text{ cm}^2$.

• Pas 1: Retallem (traiem) el triangle central invertit, l'àrea del qual és $1/4$ del triangle anterior. Ens queden 3 triangles negres més petits.

• Pas 2: De cadascun dels 3 triangles negres restants, tornem a retallar el triangle central (que és $1/4$ de l'àrea del seu triangle contenidor).

1. Escriu la successió que representa l'àrea negra total que roman a la figura en cada pas ($A_0, A_1, A_2, ...$).

2. Quina és la raó $r$ d'aquesta progressió geomètrica decreixent?

3. Calcula quina àrea negra quedarà després d'aplicar el procés 5 vegades (Pas 5).

Volem interpolar (intercalar) 4 nombres entre el 3 i el 96 per formar una progressió geomètrica de 6 termes en total. És a dir, busquem construir la seqüència:

1. Identifica quina posició ocupen el 3 i el 96 en la progressió ($a_1$ i $a_n$).

2. Utilitza la fórmula del terme general per aïllar i calcular la raó $r$.

3. Escriu els quatre nombres que hem interpolat.

4. Si volguéssim sumar tots aquests 6 nombres, quin seria el resultat?

El departament de matemàtiques planteja el següent repte: «En una progressió geomètrica se sap que el quart terme és $a_4 = 24$ i el setè terme és $a_7 = 192$. Calcula la suma dels primers 7 termes ($S_7$)».

Dos alumnes de la classe proposen estratègies diferents:

• Marta proposa utilitzar la relació directa $a_7 = a_4 \cdot r^{7-4}$ per trobar la raó $r$, retrocedir des d'$a_4$ dividint entre $r^3$ per trobar $a_1$, i finalment calcular la suma amb la fórmula tancada $S_7 = \frac{a_1(r^7 - 1)}{r - 1}$.

• Hugo proposa plantejar un sistema de dues equacions amb dues incògnites: $\begin{cases} 24 = a_1 \cdot r^3 \\ 192 = a_1 \cdot r^6 \end{cases}$, resoldre'l aïllant $a_1$ en la primera i substituint en la segona, i a continuació calcular a mà un a un els 7 termes ($a_1, a_2, \ldots, a_7$) per sumar-los directament, evitant fer servir la fórmula de la suma.

1. a) Resol el problema aplicant minuciosament els dos mètodes i comprova si tots dos condueixen al mateix resultat numèric.
2. b) Compara els dos camins: quins són els punts febles del procediment d'en Hugo respecte a l'estratègia de la Marta pel que fa a eficàcia i risc d'error?
3. c) Imagina que les dades fossin $a_{10} = 50$, $a_{30} = 51.200$ i se sol·licités la suma dels primers 40 termes ($S_{40}$). Justifica raonadament per què el mètode d'en Hugo esdevé inviable a la pràctica i quin dels dos enfocaments evidencia una comprensió algebraica madura.

Una emprenedora de València busca finançament per engegar el seu projecte durant els primers 6 mesos. Dues incubadores d'empreses li ofereixen sengles propostes d'ajuda mensual a fons perdut:

• Pla A (Programa Acelera): Rep $600\text{ €}$ el primer mes, i cada mes posterior la quantia augmenta en una quantitat fixa de $100\text{ €}$ respecte a l'anterior ($600\text{ €}, 700\text{ €}, 800\text{ €}, \dots$).

• Pla B (Fondo Impulso): Rep $300\text{ €}$ el primer mes, i cada mes següent la quantia s'incrementa un $30\,\%$ respecte a la del mes previ ($r = 1,30$).

1. a) Identifica quin tipus de progressió (aritmètica o geomètrica) descriu cadascuna de les modalitats i escriu l'expressió matemàtica del terme general de la mensualitat rebuda en el mes $n$ per a tots dos plans.
2. b) Calcula la quantia que cobraria mes a mes en cada pla durant els 6 mesos de durada del programa. En quin mes concret la mensualitat individual del Pla B supera per primera vegada la del Pla A?
3. c) Utilitza les fórmules de suma corresponents per calcular la quantitat econòmica total acumulada després dels 6 mesos complets amb cadascun dels dos plans. En vista del resultat, quin dels dos plans li proporciona més diners en total i per què el creixement geomètric no sempre resulta ser l'opció més avantatjosa en terminis curts encara que a llarg termini sigui exponencialment superior?

Repte del tema. Estalvi constant o multiplicador? Dissenya un pla d'estalvi a un any per finançar un projecte personal.

1. Fase 1: Dades reals. Entra al web de l'INE (o del Banc d'Espanya) i consulta l'última dada publicada de la inflació interanual (IPC, p. ex. $2,8\,\%$). Fixa una quantitat inicial d'estalvi per al primer mes ($a_1 = 20$ €).

2. Fase 2: Modelització. Planteja dues opcions per a $12$ mesos:

3. Pla A (Progressió aritmètica): Augmentes la teva aportació mensual en una diferència fixa de $d = 3$ €. Troba el terme general $a_n$ i el capital acumulat mitjançant la suma $S_{12}$.

4. Pla B (Progressió geomètrica): Augmentes la teva aportació un $10\,\%$ mensual respecte al mes anterior ($r = 1,10$). Dedueix la fórmula de $b_n$ i calcula la suma total $S_{12}$.

5. Fase 3: Simulació i decisió. Crea en un full de càlcul (Excel, Calc o Google Sheets) una taula comparativa mes a mes i un gràfic que representi totes dues evolucions. Redacta un informe breu justificant quina opció et resulta més viable i si els diners acumulats compensen la pujada de preus segons l'IPC anotat.

Es valorarà:

• Deducció i càlcul algebraic rigorós dels termes generals i sumes ($S_{12}$).

• Disseny correcte del full de càlcul, fórmules automàtiques i gràfica comparativa.

• Argumentació crítica i realista de la decisió final vinculada a l'IPC real.