Exercicis: Potències de nombres racionals

Calcula el valor numèric de les potències següents. Recorda que has d'elevar tant el numerador com el denominador a l'exponent indicat. Expressa el resultat com una fracció irreductible.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{5} \right)^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4$

4. $\left( \frac{10}{7} \right)^0$

En matemàtiques, a vegades necessitem canviar el signe de l'exponent per poder operar. Transforma les potències següents perquè tinguin exponent positiu, invertint la base quan sigui necessari. No cal que calculis el resultat final, només expressa la potència transformada.

1. $\left( \frac{4}{5} \right)^{-2}$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^{-4}$

3. $5^{-3}$

4. $\left( -\frac{2}{7} \right)^{-3}$

Utilitza les propietats de les potències per simplificar les expressions següents. Has de deixar el resultat expressat com una única potència (no cal calcular el valor final).

1. $\left( \frac{3}{4} \right)^5 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2$

2. $\left( \frac{2}{5} \right)^7 : \left( \frac{2}{5} \right)^4$

3. $\left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$

4. $\left[ \left( \frac{5}{3} \right)^2 \right]^4$

Tenim una rajola quadrada petita per a un mosaic. El costat de la rajola mesura $\frac{2}{5}$ de metre. Calcula l'àrea que ocupa aquesta rajola expressant el resultat com una fracció.

Ajuda't de l'esquema visual següent:

Determina el signe (positiu o negatiu) del resultat de les potències següents sense necessitat de fer el càlcul complet. Raona la teva resposta basant-te en si la base és negativa i si l'exponent és parell o senar.

1. $\left( -\frac{1}{2} \right)^4$

2. $\left( -\frac{3}{4} \right)^3$

3. $\left( \frac{5}{2} \right)^{-2}$

4. $\left( -\frac{2}{3} \right)^{-5}$

A vegades confonem la mida de les fraccions quan les elevem a una potència. Observa el gràfic següent que representa la unitat, $\left(\frac{1}{2}\right)^1$ i $\left(\frac{1}{2}\right)^2$.

Basant-te en la lògica anterior, ordena les potències següents de menor a major:

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^2, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^1, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^3 $$

Troba el nombre que falta a cada buit perquè les igualtats siguin certes. Escriu a la teva llibreta la igualtat completa.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^{\square} = \frac{8}{27}$

2. $\left( \frac{5}{2} \right)^{\square} = 1$

3. $\left( \frac{1}{4} \right)^{-2} = \square$

4. $\left( \frac{3}{7} \right)^3 \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^{\square} = \left( \frac{3}{7} \right)^5$

Calcula les potències següents que tenen el mateix exponent però diferent base. Recorda que pots multiplicar les bases primer i elevar el resultat a l'exponent comú. Expressa el resultat com una fracció simplificada.

1. $\left( \frac{2}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot 6^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4 : \left( \frac{1}{2} \right)^4$

En Darío escriu a la pissarra la següent resolució d'un exercici proposat per la seva professora:

$$\left(-\frac{3}{5}\right)^{-2} = -\left(\frac{5}{3}\right)^2 = -\frac{25}{9}$$

En defensar la seva resposta, argumenta: «El signe menys de l'exponent converteix tota la potència en un nombre negatiu, i després només he de capgirar la fracció i elevar al quadrat».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals comesos per en Darío. Explica amb claredat la diferència entre el que produeix el signe menys de la base i el que produeix el signe menys de l'exponent.
2. b) Corregeix l'exercici calculant el valor exacte com a fracció irreductible. Finalment, raona quin signe hauria tingut el resultat si l'exponent inicial hagués estat $-3$ en lloc de $-2$.

Sense fer operacions escrites detallades en un primer moment, observa amb atenció aquestes tres potències:

$$A = \left(\frac{2}{3}\right)^4, \quad B = \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}, \quad C = \left(\frac{3}{2}\right)^{-3}$$

1. a) Fes una estimació raonada prèvia: determina quines d'aquestes potències donaran un resultat menor que $1$ i quines donaran un resultat major que $1$. Així mateix, anticipa si n'hi ha dues que donaran exactament el mateix valor final. Justifica la teva predicció a partir de les propietats de les fraccions i els exponents negatius.
2. b) Calcula el valor numèric exacte d'$A$, $B$ i $C$ en forma de fracció irreductible i contrasta els resultats amb la teva estimació inicial per comprovar si el teu raonament era encertat.

Calcula el valor de les potències següents transformant-les primer en potències d'exponent positiu. Recorda que el resultat ha de ser una fracció irreductible.

1. a) $(\frac{3}{5})^{-2}$
2. b) $(\frac{-2}{3})^{-3}$
3. c) $-( \frac{1}{4} )^{-2}$
4. d) $(\frac{10}{3})^{-1}$

Utilitza les propietats de les potències per simplificar les expressions següents i escriu el resultat com una única potència de base racional. No cal que calculis el valor final, només la potència simplificada.

1. a) $(\frac{2}{7})^3 \cdot (\frac{2}{7})^5 : (\frac{2}{7})^{-2}$
2. b) $[(\frac{1}{5})^2]^{-3} \cdot (\frac{1}{5})^4$
3. c) $(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{6}{5})^4$

Tenim una pilota de goma especial. Cada vegada que rebota contra terra, arriba a una alçària que és $\frac{2}{3}$ de l'alçària anterior.

Si deixem caure la pilota des d'una alçària de 2 metres:

1. a) Expressa mitjançant una potència l'alçària que arriba a tenir després del quart rebot.
2. b) És aquesta alçària més gran o més petita que 0,3 metres? Justifica la teva resposta fent servir el càlcul de la potència.

Simplifica les expressions següents. Per fer-ho, primer hauràs de descompondre les bases en factors primers perquè totes les bases siguin iguals, i després aplicar les propietats de les potències.

1. a) $(\frac{4}{9})^{-2} \cdot (\frac{2}{3})^5$
2. b) $(\frac{25}{4})^3 : (\frac{5}{2})^{-2}$

Calcula el valor de $x$ en cadascuna de les igualtats següents perquè siguin certes. Pensa en les propietats de les potències de la mateixa base.

1. a) $(\frac{1}{2})^x = 32$
2. b) $(\frac{3}{5})^4 \cdot (\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^{-1}$
3. c) $[(\frac{2}{9})^x]^2 = (\frac{2}{9})^{10}$

Observa la figura d'un cub màgic. Suposem que l'aresta d'un cub gran mesura $L$.

Si reduïm la longitud de l'aresta a la meitat ($\frac{1}{2}L$), com canvia el seu volum?

1. a) Calcula el volum del cub original ($V_{grande}$) i del cub reduït ($V_{pequeño}$) en funció de $L$.
2. b) Expressa la relació $\frac{V_{pequeño}}{V_{grande}}$ com una potència de base $\frac{1}{2}$.
3. c) Si el cub gran té un volum de $512 \text{ cm}^3$, quin és el volum del cub reduït?

Realitza les operacions combinades següents pas a pas, respectant la jerarquia de les operacions. Expressa el resultat final com una fracció irreductible.

$$ \left( \frac{2}{3} - 1 \right)^{-2} + \left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot 2^4 - \left( \frac{3}{4} \right)^0 $$

Indica si les afirmacions següents són Veritables o Falses. Si alguna és falsa, escriu la igualtat correcta.

1. a) $(\frac{a}{b})^{-n} = - (\frac{a}{b})^n$
2. b) $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^3 = (\frac{2}{3})^5$
3. c) $(\frac{x}{y})^{-1} \cdot (\frac{y}{x})^{-1} = 1$
4. d) $\frac{a^3}{b^3} = (\frac{a}{b})^3$

En un informe de la Confederació Hidrogràfica del Guadalquivir sobre el seguiment de la sequera, els tècnics estimen que el cabal d'un afluent disminueix de manera regular durant els períodes secs: cada mes que passa sense ploure, el cabal passa a ser $\frac{2}{3}$ del cabal del mes anterior. Els hidròlegs modelitzen aquesta evolució amb l'expressió $C(t) = C_0 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^t$, on $C_0$ és el cabal actual (en $\text{m}^3/\text{s}$) i $t$ representa el temps en mesos transcorreguts ($t > 0$ mesos futurs, $t < 0$ mesos passats).

1. a) Un tècnic afirma que per calcular el cabal que portava l'afluent fa 3 mesos s'ha d'aplicar el factor $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$. Calcula aquest factor en forma de fracció irreductible i explica el sentit físic i matemàtic que en invertir la fracció el factor obtingut sigui estrictament major que $1$.
2. b) Si el cabal mesurat a l'estació d'aforament avui és $C_0 = 16\text{ m}^3/\text{s}$, quin era el cabal estimat fa 2 mesos ($t = -2$)? I quin serà d'aquí a 2 mesos ($t = 2$)? Expressa els dos resultats com a fraccions irreductibles.

Busca una fracció irreductible $\frac{a}{b}$ i un nombre enter $n$ que compleixin simultàniament les tres condicions següents:

1) $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{81}{16}$

2) L'exponent $n$ és un enter negatiu estrictament menor que $-1$.

3) La fracció base verifica que $0 < \frac{a}{b} < 1$.

1. a) Dedueix pas a pas totes les parelles possibles de valors de $\frac{a}{b}$ i de $n$, justificant com utilitzes la descomposició en factors primers del numerador i del denominador.
2. b) Si no fos obligatori que la fracció fos irreductible, podries trobar una altra base positiva diferent que donés el mateix resultat amb un altre exponent enter negatiu? I què passaria si permetéssim que la base $\frac{a}{b}$ fos negativa? Analitza i justifica les possibles solucions addicionals que sorgeixen en ambdós casos.

Simplifica l'expressió algebraica següent utilitzant les propietats de les potències. El resultat final no ha de tenir exponents negatius i ha d'estar simplificat al màxim. Vigila molt amb els signes de les bases i els parèntesis.

$$ \left[ \frac{(x^2 \cdot y^{-3})^{-2} \cdot (x^{-1} \cdot y^2)^3}{(x^3 \cdot y^{-4})^{-1}} \right]^{-2} $$

Calcula el valor exacte de l'operació combinada següent amb fraccions i exponents enters. Recorda respectar la jerarquia de les operacions i treballar amb fraccions irreductibles.

$$ \left( \frac{3}{2} - 2 \right)^{-2} \cdot \left[ \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right] - \left( \frac{3}{4} \right)^0 $$

En arquitectura, sovint s'utilitzen dissenys fractals en què una figura es repeteix a diferents escales. Imagina que dissenyem un vitrall triangular seguint aquest patró:

Partim d'un triangle equilàter d'àrea $A$. En el pas 1, dividim el triangle en 4 triangles iguals i en treiem el central (el triangle invertit). En el pas 2, repetim el procés amb els 3 triangles que queden, i així successivament.

1. Escriu la potència de base racional que representa la fracció d'àrea que queda acolorida després del pas $n$.

2. Si l'àrea inicial és de $256 \text{ cm}^2$, calcula l'àrea restant després de 4 iteracions.

Simplifica l'expressió següent descomponent les bases en factors primers. El resultat s'ha d'expressar com una única potència o un producte de potències de bases primeres.

$$ \frac{27^{-2} \cdot (-12)^4 \cdot 9^{-1}}{18^3 \cdot (-3)^{-5}} $$

Troba el valor de la incògnita $x$ en cadascuna de les igualtats següents, utilitzant les propietats de les potències de base racional:

1. a) $ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 16 $
2. b) $ \left(\frac{3}{5}\right)^{x-1} = \frac{125}{27} $
3. c) $ \frac{2^x \cdot 2^3}{2^{-1}} = 32 $

Un cub de Rubik estàndard de $3 \times 3 \times 3$ està format per petits cubs unitaris. Imagina que construïm cubs gegants formats per cubets de 1 cm de costat.

1. Si tenim un cub gegant el volum del qual és $8^{4} \text{ cm}^3$, expressa la longitud de la seva aresta com una potència de base 2.

2. Si pintem l'exterior d'aquest cub gegant, quants cubets unitaris tindran almenys una cara pintada? Expressa el càlcul utilitzant potències i la resta de volums.

Ordena els nombres següents de menor a major sense calcular-ne el valor decimal, utilitzant les propietats de les potències per comparar-los (pista: intenta igualar les bases o els exponents). Justifica la teva resposta pas a pas.

$$ A = 2^{60} \quad ; \quad B = 3^{40} \quad ; \quad C = 5^{30} \quad ; \quad D = (0,5)^{-50} $$

La capacitat d'emmagatzematge dels ordinadors ha crescut exponencialment.

Sabent que:

• 1 Kilobyte (KB) = $2^{10}$ bytes

• 1 Megabyte (MB) = $2^{10}$ KB

• 1 Gigabyte (GB) = $2^{10}$ MB

• 1 Terabyte (TB) = $2^{10}$ GB

Calcula quants fitxers de música, que ocupen una mitjana de $4 \cdot 10^6$ bytes cadascun, caben aproximadament en un disc dur de 2 TB. Expressa el resultat en notació científica i com una potència de base 2 aproximada (considerant $10^3 \approx 2^{10}$).

Per simplificar la següent expressió amb fraccions i exponents enters:

$$E = \frac{\left[\left(-\frac{3}{4}\right)^{-2}\right]^3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{-5}}{\left(\frac{9}{16}\right)^{-2}}$$

dos estudiants de 3r d'ESO proposen dues estratègies diferents:

• Estratègia de la Lucía: Treballa primer amb els signes i les inversions; passa cada potència a exponent positiu invertint les fraccions individuals, descompon totes les bases en els seus factors primers ($2$ i $3$) i simplifica la gran fracció resultant aplicant propietats de potències d'exponent natural.

• Estratègia d'en Pablo: Manté l'estructura de bases racionals unificant-ho tot a potències de base $\frac{3}{4}$. Per a fer-ho fa servir que $\frac{4}{3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-1}$, que $\frac{9}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2$, analitza el signe global observant els exponents parells i senars, i opera algebraicament els exponents enters mitjançant les propietats habituals abans de calcular cap nombre gran.

1. a) Resol l'expressió completa seguint el mètode de la Lucía.
2. b) Resol l'expressió completa seguint el mètode d'en Pablo.
3. c) Compara els dos camins: quin minimitza el nombre de càlculs i redueix la possibilitat de cometre errors amb fraccions complexes de diversos nivells? Justifica quin dels dos mètodes recomanaries a un company.

Volem construir una expressió amb potències de fraccions de la forma:

$$M = \frac{\left(\frac{x}{y}\right)^p \cdot \left(\frac{y}{x}\right)^q}{\left(\frac{x}{y}\right)^r}$$

on $x, y \neq 0$ i els exponents $p, q, r$ són nombres enters. L'expressió ha de verificar de manera simultània les tres condicions següents:

1) En simplificar-la aplicant propietats de les potències, el resultat final ha de ser exactament $\left(\frac{x}{y}\right)^{-3}$.

2) Almenys dos dels tres exponents ($p, q, r$) han de ser nombres enters estrictament negatius.

3) L'exponent $q$ no pot ser zero ($q \neq 0$).

1. a) Expressa la condició (1) com una equació algebraica que relacioni els exponents $p$, $q$ i $r$, transformant prèviament la base $\frac{y}{x}$ en una potència de base $\frac{x}{y}$.
2. b) Troba una terna de nombres enters $(p, q, r)$ que satisfaci totes les condicions exigides i comprova la validesa de la teva solució.
3. c) Un company sosté que és impossible trobar una terna vàlida si s'afegeix una quarta condició: $p + q + r = 1$. Demostra de manera raonada si l'afirmació del teu company és vertadera o falsa plantejant el sistema corresponent.