Operaciones con radicales

Vamos a simplificar expresiones agrupando radicales semejantes. Imagina que $\sqrt{3}$ es como una "x" o una "manzana". Realiza las siguientes sumas y restas:

1. $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$

2. $7\sqrt[3]{5} - 2\sqrt[3]{5}$

3. $4\sqrt{6} + \sqrt{6} - 8\sqrt{6}$

Para realizar sumas y restas con radicales, estos deben ser semejantes (mismo índice y mismo radicando). Simplifica los siguientes radicales descomponiendo los números en factores primos y opera:

1. a) $3\sqrt{8} - 5\sqrt{2} + \sqrt{50}$
2. b) $\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27}$
3. c) $2\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{54}$

Utiliza la propiedad del producto de raíces con el mismo índice ($\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$) para agrupar estas operaciones en una sola raíz y, si es posible, calcular el resultado final exacto:

• $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$

• $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$

• $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$

• $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$

Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales. Recuerda que para operar deben tener el mismo índice. Si es posible, simplifica el resultado final extrayendo factores de la raíz.

1. a) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{2}$
2. b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}$
3. c) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$
4. d) $\sqrt{2x} \cdot \sqrt{8x^3}$

Calcula el perímetro y el área de un terreno rectangular cuyas dimensiones vienen dadas por radicales. La base mide $\sqrt{27}$ metros y la altura $\sqrt{3}$ metros. Simplifica los resultados al máximo.

Cuando tenemos una raíz dentro de otra raíz, podemos simplificarla multiplicando sus índices ($\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$). Simplifica las siguientes expresiones a una única raíz:

• $\sqrt{\sqrt{81}}$

• $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$

• $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$

Las potencias de exponente fraccionario son otra forma de escribir radicales. Utiliza esta relación para simplificar las siguientes expresiones y da el resultado final en forma de raíz:

1. a) Escribe $5^{3/4}$ en forma de raíz.
2. b) Escribe $\sqrt[5]{2^3}$ en forma de potencia.
3. c) Calcula expresando como potencia primero: $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$
4. d) Simplifica: $\frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt{x}}$

Aplica las propiedades de la raíz de una raíz y la potencia de una raíz para simplificar las siguientes expresiones a un único radical irreducible:

1. a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
2. b) $(\sqrt[3]{2})^6$
3. c) $\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}}$ (Pista: Introduce el primer 2 dentro de la segunda raíz)

Vas a comprar una televisión nueva y las medidas se dan en pulgadas de la diagonal. La pantalla tiene forma rectangular con una anchura de 40 cm y una altura de 30 cm. Utilizando el Teorema de Pitágoras ($h = \sqrt{a^2 + b^2}$), calcula cuánto mide la diagonal de la pantalla en centímetros.

Nota: El resultado es una raíz exacta.

Queremos colocar un cable tensor para sujetar un poste vertical de 4 metros de altura. El cable se anclará al suelo a una distancia de $\sqrt{20}$ metros de la base del poste. Calcula la longitud exacta del cable necesaria utilizando el Teorema de Pitágoras. Expresa el resultado como un radical simplificado.

Tenemos un depósito de agua con forma de cubo. Sabemos que su volumen total es de $128 \text{ m}^3$. Calcula cuánto mide la arista del depósito. Expresa el resultado como un radical simplificado (extrayendo factores) y no uses decimales.

(Ayuda: Recuerda que el volumen de un cubo es $V = \text{arista}^3$)