Exercicis: Operacions amb radicals

Anem a simplificar expressions agrupant radicals semblants. Imagina que $\sqrt{3}$ és com una "x" o una "poma". Fes les sumes i restes següents:

1. $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$

2. $7\sqrt[3]{5} - 2\sqrt[3]{5}$

3. $4\sqrt{6} + \sqrt{6} - 8\sqrt{6}$

Utilitza la propietat del producte d'arrels amb el mateix índex ($\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$) per agrupar aquestes operacions en una sola arrel i, si és possible, calcular el resultat final exacte:

• $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$

• $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$

• $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$

• $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$

Quan tenim una arrel dins d'una altra arrel, la podem simplificar multiplicant els seus índexs ($\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$). Simplifica les expressions següents a una única arrel:

• $\sqrt{\sqrt{81}}$

• $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$

• $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$

De vegades els nombres dins de l'arrel tenen factors que "sobren" i poden sortir fora. Extreu fora de l'arrel tots els factors que puguis dels radicals següents.

• $\sqrt{2^5}$

• $\sqrt{3^3}$

• $\sqrt{5^4}$

• $\sqrt[3]{2^4}$

Volem tancar un terreny quadrat la superfície total del qual és de $225 \text{ m}^2$. Per saber quants metres de tanca necessitem, primer hem de calcular quant fa el costat del quadrat.

1. Calcula la longitud del costat ($l$) sabent que l'àrea és $l^2 = 225$.

2. Calcula el perímetre total del terreny.

Et compraràs una televisió nova i les mides es donen en polzades de la diagonal. La pantalla té forma rectangular amb una amplada de 40 cm i una alçada de 30 cm. Utilitzant el Teorema de Pitàgores ($h = \sqrt{a^2 + b^2}$), calcula quant fa la diagonal de la pantalla en centímetres.

Nota: El resultat és una arrel exacta.

En un examen de 3r d'ESO, l'Elena ha de simplificar l'operació $\sqrt{64 + 36}$. Al seu full escriu el següent: «Com que l'arrel es reparteix a cada sumand, tenim $\sqrt{64 + 36} = \sqrt{64} + \sqrt{36} = 8 + 6 = 14$». Animada per la rapidesa del seu mètode, en el següent exercici intenta simplificar $\sqrt{50} - \sqrt{18}$ escrivint: «$\sqrt{50 - 18} = \sqrt{32}$».

1. a) Calcula el valor numèric real de $\sqrt{64 + 36}$ fent primer la suma interior i explica per què el procediment de l'Elena demostra que l'arrel quadrada no és distributiva respecte de la suma.
2. b) Assenyala l'error conceptual que va cometre en la segona operació ($\sqrt{50} - \sqrt{18}$).
3. c) Resol de manera correcta l'operació $\sqrt{50} - \sqrt{18}$ extraient factors de cada radical fins a obtenir un únic radical semblant irreductible.

Es vol calcular el valor exacte de l'expressió $E = \sqrt{75} - \sqrt{27}$.

1. a) Estima: Sense utilitzar calculadora ni simplificar encara els radicals, determina entre quins dos nombres enters consecutius se situa $\sqrt{75}$ i entre quins es troba $\sqrt{27}$. A partir d'aquestes aproximacions enteres, dona un interval estimat per al resultat de la resta $E$.
2. b) Calcula: Descompon en factors primers els radicands, extreu tots els factors possibles d'ambdues arrels i agrupa els radicals semblants per obtenir el valor exacte en la forma $k\sqrt{3}$.
3. c) Comprova: Prenent l'aproximació $\sqrt{3} \approx 1,73$, troba el valor decimal del teu resultat de l'apartat b) i raona si la teva estimació inicial era coherent amb el resultat obtingut.

Fes les multiplicacions i divisions de radicals següents. Recorda que per operar han de tenir el mateix índex. Si és possible, simplifica el resultat final extreient factors de l'arrel.

1. a) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{2}$
2. b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}$
3. c) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$
4. d) $\sqrt{2x} \cdot \sqrt{8x^3}$

Extreu tots els factors que puguis dels radicals següents. Tingues en compte l'índex de l'arrel i els exponents dels radicands.

1. a) $\sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}$
2. b) $\sqrt[3]{81}$
3. c) $\sqrt{12x^3 y^4}$
4. d) $\sqrt[4]{32}$

Calcula el perímetre i l'àrea d'un terreny rectangular les dimensions del qual venen donades per radicals. La base fa $\sqrt{27}$ metres i l'alçada $\sqrt{3}$ metres. Simplifica els resultats al màxim.

Per fer sumes i restes amb radicals, aquests han de ser semblants (mateix índex i mateix radicand). Simplifica els radicals següents descomponent els nombres en factors prims i opera:

1. a) $3\sqrt{8} - 5\sqrt{2} + \sqrt{50}$
2. b) $\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27}$
3. c) $2\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{54}$

Tenim un dipòsit d'aigua amb forma de cub. Sabem que el seu volum total és de $128 \text{ m}^3$. Calcula quant mesura l'aresta del dipòsit. Expressa el resultat com un radical simplificat (extreient factors) i no facis servir decimals.

(Ajuda: Recorda que el volum d'un cub és $V = \text{arista}^3$)

Les potències d'exponent fraccionari són una altra manera d'escriure radicals. Utilitza aquesta relació per simplificar les expressions següents i dona el resultat final en forma d'arrel:

1. a) Escriu $5^{3/4}$ en forma d'arrel.
2. b) Escriu $\sqrt[5]{2^3}$ en forma de potència.
3. c) Calcula expressant com a potència primer: $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$
4. d) Simplifica: $\frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt{x}}$

Aplica les propietats de l'arrel d'una arrel i la potència d'una arrel per simplificar les expressions següents a un únic radical irreductible:

1. a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
2. b) $(\sqrt[3]{2})^6$
3. c) $\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}}$ (Pista: Introdueix el primer 2 dins de la segona arrel)

Volem col·locar un cable tensor per subjectar un pal vertical de 4 metres d'alçària. El cable s'ancorarà al terra a una distància de $\sqrt{20}$ metres de la base del pal. Calcula la longitud exacta del cable necessària utilitzant el teorema de Pitàgores. Expressa el resultat com un radical simplificat.

Per simplificar l'expressió numèrica $M = \dfrac{\sqrt{72} \cdot \sqrt{54}}{\sqrt{3}}$, dos estudiants de l'institut proposen camins diferents:

• Mètode d'en Marcos: Agrupar els tres termes sota un únic radical d'índex 2 aplicant les propietats de multiplicació i divisió d'arrels d'igual índex ($\sqrt{\frac{72 \cdot 54}{3}}$), simplificar la fracció dividint abans de multiplicar nombres grans i, al final, extreure factors.

• Mètode de la Sara: Descompondre en factors primers $72$ i $54$ des del principi, extreu tots els factors possibles fora de cada arrel, multiplicar els coeficients i les arrels resultants, i simplificar el quocient final.

1. a) Resol l'expressió pas a pas aplicant el mètode d'en Marcos.
2. b) Resol la mateixa expressió pas a pas aplicant el mètode de la Sara.
3. c) Compara ambdós procediments: quin dels dos camins t'ha semblat més directe i amb menys risc de cometre errors de càlcul mental? Justifica la teva resposta.

Al parc d'atraccions Parque Warner de Madrid, els tècnics revisen la velocitat que aconsegueix una cabina de caiguda lliure. Segons els models físics, la velocitat teòrica $v$ (en metres per segon, $\text{m/s}$) que assoleix un cos en caure lliurement des d'una altura $h$ (en metres), menyspreant el fregament de l'aire, ve donada per la fórmula:

$$v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}$$

on $g$ és l'acceleració de la gravetat, que per a aquestes proves s'arrodoneix a $g = 10\text{ m/s}^2$.

S'efectuen dues proves de control: una des d'una alçària intermèdia $h_1 = 20\text{ m}$ i una altra des de l'alçària màxima $h_2 = 45\text{ m}$.

1. a) Substitueix les dades i calcula les velocitats teòriques exactes, $v_1$ i $v_2$, extraient factors dels radicals fins a obtenir un nombre enter en cada cas.
2. b) Un operari afirma: «Com que la diferència d'altures és $45 - 20 = 25\text{ m}$, la diferència entre ambdues velocitats ($v_2 - v_1$) ha de coincidir amb la velocitat que assoliria la cabina caient des de $25\text{ m}$». Calcula la velocitat que correspon a una caiguda des de $25\text{ m}$ i, basant-te en les propietats dels radicals, justifica raonadament per què l'afirmació de l'operari és falsa.

En un estudi d'arquitectura s'ha dissenyat una peça decorativa triangular per a una façana. La peça és un triangle isòsceles (dos costats iguals i un de desigual).

Sabem que els dos costats iguals mesuren $\sqrt{45}$ metres cadascun, i la base (el costat desigual) mesura $\sqrt{72}$ metres.

Utilitzant el teorema de Pitàgores i les propietats dels radicals (extracció de factors i simplificació), calcula l'altura ($h$) exacta d'aquest triangle. Expressa el resultat com un nombre enter o un radical simplificat al màxim.

Simplifica al màxim l'expressió numèrica següent. Per fer-ho, hauràs de descompondre els radicands en factors prims, extreure factors fora de l'arrel i operar amb fraccions. El resultat final s'ha d'expressar utilitzant un únic radical irreductible.

$$ A = 2\sqrt{75} - \sqrt{\frac{147}{4}} + \frac{5}{2}\sqrt{12} - \sqrt{300} $$

Tenim tres dipòsits d'aigua amb formes cúbiques diferents.

• El dipòsit A té una capacitat de $2$ metres cúbics.

• El dipòsit B té una aresta que mesura exactament el doble que l'aresta del dipòsit A.

• El dipòsit C té una aresta que mesura la meitat que l'aresta del dipòsit A.

• Calcula la longitud exacta de l'aresta del dipòsit A expressant-la com a radical.

• Calcula el volum exacte del dipòsit B i del dipòsit C utilitzant les propietats de les potències i els radicals. No facis servir decimals.

Expressa el resultat de la següent operació com una única potència d'exponent fraccionari. Per aconseguir-ho, hauràs de convertir tots els radicals a potències, aplicar les propietats de les potències (producte i quocient de bases iguals) i simplificar l'exponent final.

$$ \frac{\sqrt[4]{a^3 \cdot \sqrt{a}}}{\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a^2}}} $$

Comprova si el nombre irracional $\phi = 1 + \sqrt{5}$ és solució de l'equació quadràtica:

$$ x^2 - 2x - 4 = 0 $$

Per fer-ho, substitueix la $x$ per $(1 + \sqrt{5})$, desenvolupa el quadrat del binomi (identitat notable) i opera els termes semblants fins a veure si el resultat final és zero.

El volum d'una esfera gegant utilitzada en un planetari és de $500 \pi$ metres cúbics.

Sabent que la fórmula del volum d'una esfera és $V = \frac{4}{3}\pi r^3$:

1. Aïlla el radi $r$ en funció del volum.

2. Substitueix el volum donat i calcula el valor exacte del radi simplificant el radical al màxim (extreient factors fora de l'arrel cúbica).

Fes les operacions següents agrupant els termes en una sola arrel. Recorda que per multiplicar o dividir radicals amb índex diferent, primer els has de reduir a índex comú (mínim comú múltiple dels índexs).

1. a) $ \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[6]{8} $

1. b) $ \frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt[6]{x}} $

Un bacteri té forma quadrada i la seva àrea és de $2,25 \cdot 10^{-10}$ metres quadrats.

Calcula quant mesura el costat del bacteri. Expressa el resultat final en notació científica i en mil·límetres. (Recorda que $\sqrt{a \cdot 10^n} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{10^n}$).

Una arquitecta dissenya un parterre rectangular per a una plaça de vianants a València. El projecte exigeix que l'àrea exacta sigui de $\sqrt{216}\text{ m}^2$ i que l'amplada mesuri $\sqrt{6}\text{ m}$.

1. a) Planteja l'equació que relaciona l'àrea amb els costats, aïlla la longitud de la llargada i calcula la seva mesura simplificant al màxim el quocient de radicals.
2. b) Per delimitar una altra zona enjardinada s'encarrega una vorada de longitud exacta $L = 5\sqrt{2}\text{ metres}$. La vorada es construirà acoblant dues peces contigües les mides de les quals venen donades per arrels quadrades no exactes de nombres naturals diferents, és a dir, $\sqrt{a} + \sqrt{b} = 5\sqrt{2}$, amb $a$ i $b$ nombres naturals tals que $a < b$ i cap d'ells és un quadrat perfecte. Troba totes les parelles possibles de nombres $(a, b)$ que compleixen aquestes condicions i justifica amb detall per què no hi ha més solucions.

Considera la següent equació on intervenen radicals niats amb diferents índexs:

$$\sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt[3]{x} = 8$$

1. a) Per simplificar el membre esquerre es poden seguir dues estratègies teòriques:

• Estratègia A (propietats de radicals): Introduir la $x$ exterior dins de l'arrel cúbica, aplicar la propietat de l'arrel d'una arrel i finalment multiplicar radicals d'igual índex.

• Estratègia B (exponents fraccionaris): Expressar cada radical i factor com una potència d'exponent fraccionari i aplicar les regles de producte i potència de potències de la mateixa base.

Tria una de les dues estratègies, desenvolupa-la pas a pas i demostra que el membre esquerre es simplifica exactament a $x$.

1. b) A partir del resultat obtingut, indica quin valor ha de prendre $x$ perquè es compleixi la igualtat.
2. c) Un company sosté que $x = -8$ també podria ser solució vàlida en els nombres reals perquè $(-8) \cdot \sqrt[3]{-8} = 16 > 0$ i la seva arrel quadrada existeix. Substitueix $x = -8$ en el membre esquerre de l'equació original, calcula el seu valor numèric respectant la jerarquia i els signes, i raona per què queda descartat com a solució de l'equació.

Repte del tema. Com optimitzaries els materials de reforma de casa teva? Transforma dues estances en espais quadrats equivalents aplicant el càlcul amb radicals.

1. Presa de dades reals: Mesura amb una cinta mètrica la llargada i l'amplada de dues habitacions de casa teva. Calcula en un full de càlcul les seves àrees reals $A_1$ i $A_2$ arrodonides a nombres enters (per exemple, $18\text{ m}^2$ i $8\text{ m}^2$).

2. Extracció de factors: Imagina que redistribueixes cada estança com una superfície quadrada. Planteja els seus costats exactes: $l_1 = \sqrt{A_1}$ i $l_2 = \sqrt{A_2}$. Descompon els radicands en factors primers i extreu factors per obtenir radicals simplificats.

3. Operacions amb radicals: Calcula la longitud total de sòcol necessària sumant els perímetres de totes dues estances ($4l_1 + 4l_2$) operant amb radicals semblants en valor exacte. Troba també la diagonal exacta de l'estança més gran ($d = l_1 \cdot \sqrt{2}$).

4. Proposta raonada: Redacta un informe breu amb la taula de mesures, el desenvolupament algebraic exacte i l'aproximació final a dos decimals per pressupostar el sòcol a $2,75\text{ €/m}$.

Es valorarà:

• Rigor en el mesurament real i modelització d'àrees quadrades.

• Destresa en la descomposició, extracció de factors i suma de radicals semblants.

• Claredat de l'informe contrastant la precisió del càlcul exacte enfront de l'arrodoniment comercial.