Exercicis: Extracció de factors

Per extreure factors d'una arrel, agrupem els factors repetits del radicand segons indiqui l'índex: en una arrel quadrada (índex $2$), cada grup de $2$ factors iguals surt fora com un de sol; en una arrel cúbica (índex $3$), surt cada grup de $3$.

Observa l'esquema següent que representa $\sqrt[3]{x^4}$. Com que $x^4 = x^3 \cdot x$, el grup de $3$ surt fora com una sola $x$ i el factor que sobra es queda dins.

Siguint aquesta lògica, extreu tots els factors possibles de les arrels següents:

1. a) $\sqrt{x^3}$
2. b) $\sqrt{a^5}$
3. c) $\sqrt[3]{m^4}$
4. d) $\sqrt[4]{y^5}$

Per extreure factors d'un radical, dividim l'exponent del radicand entre l'índex de l'arrel.

• El quocient és l'exponent del factor que surt fora.

• El residu és l'exponent del factor que es queda dins.

Calcula l'extracció de factors d'aquestes potències descomponent mentalment l'exponent o fent la divisió:

1. a) $\sqrt{5^7}$ (Divideix 7 entre 2)
2. b) $\sqrt[3]{2^8}$ (Divideix 8 entre 3)
3. c) $\sqrt[4]{3^9}$ (Divideix 9 entre 4)

Moltes vegades ens trobem nombres que no estan factoritzats. El primer pas sempre ha de ser descompondre el nombre en factors primers.

Per exemple, per simplificar $\sqrt{12}$, primer pensem que $12 = 2^2 \cdot 3$. Com que el $2$ està elevat al quadrat, pot "escapar" de l'arrel quadrada.

Descompon en factors primers i extreu tot el que puguis d'aquestes arrels quadrades:

1. a) $\sqrt{18}$
2. b) $\sqrt{50}$
3. c) $\sqrt{20}$
4. d) $\sqrt{75}$

Tenim una parcel·la de terreny quadrada. Sabem que la seva àrea és de $72 \text{ m}^2$, però volem saber quant fa exactament el seu costat expressat de la forma més senzilla possible (extreient factors).

Recorda que si l'Àrea d'un quadrat és $l^2$, aleshores el costat és $l = \sqrt{\text{Àrea}}$.

1. Factoritza el nombre 72.

2. Escriu $\sqrt{72}$ fent servir aquests factors.

3. Extreu els nombres que estan elevats al quadrat.

De vegades tenim nombres i lletres barrejats dins d'una arrel. El procediment és el mateix: treballem amb el nombre per un costat i amb cada lletra per un altre.

Simplifica els radicals següents extreient tots els factors possibles:

1. a) $\sqrt{8x^3}$
2. b) $\sqrt{27a^2}$
3. c) $\sqrt{16y^5}$
4. d) $\sqrt{25z^3}$

No només podem extreure factors del numerador, també ho podem fer del denominador si tenim fraccions dins de l'arrel.

Si tenim $\sqrt{\frac{a^3}{b^2}}$, podem treure factors de dalt i de baix de forma independent. En aquest exemple, $b^2$ surt fora com a $b$ en el denominador, i de $a^3$ en traiem una $a$ en el numerador: $\frac{a}{b}\sqrt{a}$.

Intenta simplificar aquestes expressions:

1. a) $\sqrt{\frac{50}{9}}$
2. b) $\sqrt{\frac{x^3}{4}}$
3. c) $\sqrt{\frac{1}{27}}$ (Pista: factoritza el 27 i deixa'l al denominador)

Anem a jugar al procés invers per comprovar si has entès l'extracció. Si tinc un factor fora de l'arrel i el vull ficar dins, l'he d'elevar a l'índex de l'arrel.

Per exemple: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Relaciona a la teva llibreta cada expressió simplificada de l'esquerra amb la seva arrel original de la dreta (no cal que calculis, només raona quin nombre ha sortit):

1. $2\sqrt{2}$ --- A. $\sqrt{12}$

2. $3\sqrt{2}$ --- B. $\sqrt{20}$

3. $2\sqrt{3}$ --- C. $\sqrt{8}$

4. $2\sqrt{5}$ --- D. $\sqrt{18}$

Simplifica els radicals següents. Fixa't bé en l'índex de l'arrel, ja que en aquest exercici barregem arrels quadrades (índex 2) i arrels cúbiques (índex 3).

Recorda:

• A $\sqrt{\quad}$, fem grups de 2.

• A $\sqrt[3]{\quad}$, fem grups de 3.

1. a) $\sqrt{3^2 \cdot 2}$
2. b) $\sqrt[3]{3^3 \cdot 2}$
3. c) $\sqrt{2^2 \cdot 3^3}$
4. d) $\sqrt[3]{5^4}$

Per simplificar el radical $\sqrt[3]{a^7 \cdot b^4}$, la Lucía divideix cada exponent entre l'índex: $7 : 3 = 2$ (residu $1$) i $4 : 3 = 1$ (residu $1$). A continuació, escriu al seu quadern el pas següent:

$$\sqrt[3]{a^7 \cdot b^4} = a \cdot b \cdot \sqrt[3]{a^2 \cdot b}$$

1. a) Localitza l'error conceptual que ha comès la Lucía en situar els quotients i els residus de les divisions.
2. b) Recolzant-te en la propietat de les potències $a^D = (a^c)^d \cdot a^r$, explica per què el quotient ha de ser l'exponent del factor exterior i el residu el del factor interior.
3. c) Escriu la simplificació corregida d'aquest radical.

Volem analitzar i aproximar el radical $\sqrt{180}$ sense recórrer d'entrada a la calculadora.

1. a) Estima entre quins dos nombres enters consecutius es troba $\sqrt{180}$, justificant la teva resposta a partir dels dos quadrats perfectes més propers.
2. b) Descompon $180$ en factors primers i extreu tots els factors possibles fora de l'arrel.
3. c) Sabent que $\sqrt{5} \approx 2,24$, comprova si el valor que resulta de multiplicar el coeficient exterior per aquesta aproximació és coherent amb l'interval que vas estimar a l'apartat a).

Extreu tots els factors possibles dels radicals numèrics següents. Per fer-ho, primer hauràs de fer la descomposició factorial dels nombres que hi ha dins de l'arrel.

1. a) $\sqrt{216}$
2. b) $\sqrt[3]{5000}$
3. c) $\sqrt[4]{162}$

Simplifica els radicals següents que contenen variables. Recorda que per poder extreure una variable, el seu exponent ha de ser igual o major que l'índex de l'arrel.

1. a) $\sqrt[3]{x^4 \cdot y^7 \cdot z^{10}}$
2. b) $\sqrt{25a^3 b^5 c}$
3. c) $\sqrt[5]{\frac{m^7}{n^{10}}}$

Tenim un dipòsit d'aigua amb forma cúbica. Sabem que el seu volum total és de $686 \text{ m}^3$. Calcula la longitud de l'aresta del dipòsit expressant el resultat mitjançant un radical simplificat (extreient factors).

En moltes fórmules científiques apareixen potències de 10 molt grans o molt petites dins d'arrels. Simplifica les expressions següents extreient potències de 10 fora del radical:

1. a) $\sqrt{1,44 \cdot 10^7}$
2. b) $\sqrt[3]{2 \cdot 10^{14}}$
3. c) $\sqrt{0,00003}$ (Ajuda: expressa-ho primer com a $3 \cdot 10^{-5}$)

Calcula la longitud de la hipotenusa d'un triangle rectangle els catets del qual fan $10 \text{ cm}$ i $5 \text{ cm}$. Aplica el Teorema de Pitàgores i expressa el resultat final extreient tots els factors possibles de l'arrel.

Per poder sumar o restar radicals, aquests han de ser semblants. A primera vista, els radicals següents semblen diferents. Extreu factors de cadascun d'ells per comprovar si la seva part radical és la mateixa i, si és així, expressa'ls de forma simplificada:

1. a) $\sqrt{80}$
2. b) $\sqrt{125}$
3. c) $2\sqrt{45}$

Simplifica les fraccions següents amb radicals extreient factors tant del numerador com del denominador. Si és possible, simplifica la fracció resultant:

1. a) $\sqrt{\frac{98}{75}}$
2. b) $\sqrt[3]{\frac{16a^4}{27b^3}}$

Indica si les igualtats següents són verdaderes o falses fent l'extracció de factors necessària:

1. a) $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$
2. b) $\sqrt{16 \cdot x^6} = 4x^3$
3. c) $\sqrt[3]{8 + 27} = 5$
4. d) $\sqrt{\frac{x^2}{4}} = \frac{x}{2}$

En resoldre un repte de càlcul, obtens com a resultat final el radical simplificat $12\sqrt[3]{5}$. L'enunciat inicial s'ha esborrat de la pissarra, però saps que procedia d'extreure factors d'una arrel cúbica exacta de la forma $\sqrt[3]{A}$, on $A$ és un nombre natural.

1. a) Reconstrueix el radicand original $A$, expressant-lo primer mitjançant la seva descomposició en factors primers i trobant després el seu valor numèric.
2. b) Si el resultat simplificat hagués estat $12\sqrt{5}$ (arrel quadrada) procedent d'un radical de la forma $\sqrt{B}$, quin dels dos radicands originals ($A$ o $B$) és més gran? Justifica-ho comparant com influeix l'índex de l'arrel en introduir els factors, sense necessitat de calcular arrels.

Per simplificar el radical $\sqrt{7200}$, dos estudiants proposen camins diferents:

• Camí de Carlos: Descompon $7200$ en factors primers ($7200 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^2$), divideix els exponents entre l'índex $2$ i extreu cada factor segons el seu quotient i residu.

• Camí de Marta: Escriu $7200$ associant mentalment quadrats coneguts: $7200 = 72 \cdot 100 = 36 \cdot 2 \cdot 100 = 6^2 \cdot 10^2 \cdot 2$, i extreu directament les bases a l'exterior.

1. a) Aplica ambdós mètodes detallant els passos intermedis i comprova que s'obté la mateixa expressió irreductible.
2. b) Valora els dos procediments: en quins casos resulta clarament més ràpid el camí de Marta i en quines situacions és imprescindible recórrer a l'algorisme de Carlos?
3. c) Si et demanen simplificar $\sqrt{1848}$, quin dels dos mètodes triaries? Raona la teva elecció.

Calcula i simplifica el radical següent descomponent el radicand en factors primers. Vés amb compte, ja que el radicand és un nombre negatiu i l'índex és senar, per la qual cosa el resultat existeix en els nombres reals. Extreu tots els factors possibles fora de l'arrel.

$$ \sqrt[3]{-54000} $$

Simplifica l'expressió algebraica següent amb radicals. Per fer-ho, hauràs d'utilitzar les propietats de les potències per agrupar termes semblants dins de l'arrel abans d'extreure els factors. Recorda que un exponent negatiu equival a l'inversa de la base amb exponent positiu.

$$ \sqrt[4]{\frac{32 \cdot x^6 \cdot y^{-3}}{81 \cdot z^5}} $$

De vegades, abans d'extreure factors, cal operar dins del radicand. En aquest cas, no pots extreure factors directament perquè hi ha una suma i una resta. Primer, treu factor comú dins de l'arrel i, després, extreu fora tot el que sigui possible.

$$ \sqrt{18x^5 + 50x^5 - 8x^5} $$

Tenim un terreny quadrat la superfície del qual és de $720 \text{ m}^2$. Volem instal·lar una canonada de reg que creui el terreny en diagonal. Calcula la longitud exacta de la canonada expressant el resultat com un radical simplificat (extreient el màxim nombre de factors).

En notació científica, per extreure factors d'una arrel, de vegades necessitem ajustar l'exponent de la potència de 10. Calcula el valor exacte de l'arrel quadrada següent, extreient tots els factors possibles i deixant el resultat expressat en notació científica simplificada.

$$ \sqrt{1,2 \cdot 10^7} $$

Simplifica el radical anidat següent. Primer, converteix l'expressió en una sola arrel multiplicant els índexs i expressa el radicand com a potència. Finalment, extreu tots els factors possibles.

$$ \sqrt{\sqrt[3]{64 \cdot a^{13} \cdot b^7}} $$

El polinomi següent dins de l'arrel quadrada correspon a una identitat notable (el quadrat d'un binomi o trinomi). Factoritza el polinomi dins del radicand i simplifica l'expressió extreient els factors resultants.

$$ \sqrt{9x^2 - 30x + 25} $$

Calcula el volum d'un cub sabent que la seva aresta fa $a = \sqrt[3]{16x^4}$. Expressa el resultat final simplificat, extreient tots els factors possibles de l'arrel resultant. Recorda que el volum d'un cub és $V = a^3$, però en aquest exercici volem que expressis primer $a$ simplificada i després calculis el volum operant amb radicals.

$$ \text{Calcula } V \text{ si } a = \sqrt[3]{16x^4} $$

En la investigació de sinistres vials a Espanya, la Dirección General de Tráfico (DGT) utilitza expressions derivades de la física per calcular la velocitat estimada $v$ (en $\text{km/h}$) prèvia a una frenada d'emergència sobre calçada humida:

$$v = \sqrt{250 \cdot \mu \cdot d}$$

on $\mu$ representa el coeficient de fregament pneumàtic-asfalt (adimensional) i $d$ la distància de frenada (en metres). En una carretera convencional amb límit de $90\text{ km/h}$, amb ferm mullat on $\mu = \frac{2}{5}$, es mesura una marca de frenada de $d = 45\text{ m}$.

1. a) Substitueix les dades en l'expressió i simplifica el radical extreient tots els factors possibles per expressar la velocitat de forma exacta com $k\sqrt{m}$, amb $k, m \in \mathbb{N}$.
2. b) Sabent que $2,23 < \sqrt{5} < 2,24$, acota el valor de la velocitat estimada i dictamina de forma justificada si el vehicle superava el límit legal de la via abans de frenar.
3. c) Un testimoni afirma: «Si la petjada hagués mesurat el doble ($90\text{ m}$), significaria que el vehicle circulava exactament al doble de velocitat». Utilitza l'extracció de factors en el radical per justificar algebraicament si l'afirmació del testimoni és vertadera o falsa.

En un exercici amb variables algebraiques, es demana extreure factors del radical $\sqrt{\frac{50x^3}{y^6}}$, especificant a l'enunciat que $x > 0$ i $y < 0$. En Sergio lliura la resposta següent:

$$\sqrt{\frac{50x^3}{y^6}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5^2 \cdot x^2 \cdot x}{(y^3)^2}} = \frac{5x}{y^3}\sqrt{2x}$$

1. a) Demostra que el resultat d'en Sergio és contradictori analitzant els signes: determina raonadament quin signe té el radical de partida i quin signe té l'expressió final d'en Sergio segons les condicions de l'enunciat ($x > 0$, $y < 0$).
2. b) Aplicant la propietat $\sqrt{a^2} = |a|$, corregeix el desenvolupament d'en Sergio per donar l'expressió simplificada correcta sense utilitzar barres de valor absolut.
3. c) Si l'expressió hagués estat d'índex senar, per exemple $\sqrt[3]{\frac{50x^4}{y^6}}$ amb les mateixes condicions per a $x$ i $y$, hauria sorgit aquest mateix conflicte de signes en extreure factors? Justifica la teva resposta a partir de les propietats de les arrels d'índex senar.