Exercicis: Proporcionalitat directa

Determina si els parells de magnituds següents són directament proporcionals. Justifica breument la teva resposta:

1. a) El nombre de seguidors d'un "influencer" i els "likes" que rep a la seva última foto.
2. b) La quantitat de quilos de pomes que compres i el preu total a pagar.
3. c) L'edat d'una persona i la seva alçària en centímetres.
4. d) El temps que deixes el mòbil carregant i el percentatge de bateria que recupera (suposant que carrega de forma constant).

Un grup d'amics vol anar al cinema. Sabem que $3$ entrades han costat $22,50$ €. Completa la taula següent i calcula la constant de proporcionalitat $k$ (preu per entrada):

Per preparar un batut de fruites per a $4$ persones, es necessiten $600$ ml de llet. Si dissabte que ve convidaràs $10$ amics a casa, quanta llet necessitaràs comprar perquè tots tinguin el seu batut? Resol utilitzant una regla de tres simple directa.

Un cotxe de radiocontrol recorre $12$ metres en tot just $8$ segons mantenint una velocitat constant. Si es continua movent de la mateixa manera:

1. a) Quina distància recorrerà en un minut ($60$ segons)?
2. b) Quant de temps trigarà a recórrer una pista de $30$ metres?

El teu telèfon mòbil té una capacitat total d'emmagatzematge de $128$ GB. Si el sistema operatiu i les aplicacions instal·lades ja ocupen el $25\%$ de l'espai, quants gigabytes estan ocupats actualment?

Has vist una dessuadora que t'encanta en una botiga en línia. El seu preu original és de $45$ €, però avui té un descompte del $15\%$. Quants euros t'estalvies gràcies a la rebaixa? (No cal calcular el preu final).

Una impressora 3D triga $45$ minuts a fabricar una peça que pesa $60$ grams. Si volem imprimir una figura del mateix material que pesa $100$ grams, quant de temps trigarà la impressora? Expressa el resultat en hores i minuts.

Marcos acompanya la seva àvia a una fruiteria del mercat del seu barri a València. Veuen un cartell que indica que una malla de $3\text{ kg}$ de taronges costa $4,20\text{ €}$. Marcos vol calcular quant costarà una malla de $5\text{ kg}$ de la mateixa varietat i fa al mòbil l'operació $3 : 4,20 \approx 0,71$. Tot seguit, li diu a la seva àvia: «El quilo surt a $0,71\text{ €}$, així que la malla de $5\text{ kg}$ ens costarà $5 \cdot 0,71 = 3,55\text{ €}$».

1. a) Explica de manera raonada per què el resultat final de Marcos és del tot absurd sense necessitat de fer operacions complexes.
2. b) Identifica l'error conceptual que ha comès Marcos en calcular la constant de proporcionalitat directa. Quina magnitud representa realment el nombre $0,71$ que ha obtingut i quines són les seves unitats de mesura?
3. c) Corregeix el procediment: calcula la constant de proporcionalitat adequada (preu per quilogram), escriu la fórmula de la funció de proporcionalitat directa $y = k \cdot x$ i determina el preu exacte que pagaran per la malla de $5\text{ kg}$.

En una estació meteorològica de l'AEMET situada a Grazalema (Cadis), un pluviòmetre digital registra una precipitació constant durant un temporal de tardor. L'aparell marca que han caigut exactament $18\text{ litres per metre quadrat}$ ($18\text{ mm}$) en un període continuat de $40\text{ minuts}$.

1. a) Abans de fer cap operació matemàtica exacta sobre el paper, estima mentalment quants litres per metre quadrat s'hauran recollit si el temporal continua amb la mateixa intensitat constant durant un total de $2\text{ hores i }15\text{ minuts}$. Explica per escrit quines aproximacions o deduccions ràpides has utilitzat per obtenir la teva estimació prèvia.
2. b) Comprova la teva estimació calculant el valor exacte mitjançant proporcionalitat directa: troba la constant de proporcionalitat (en litres per metre quadrat i minut) i obtén la quantitat final acumulada per als $135\text{ minuts}$.
3. c) Compara la teva estimació de l'apartat a) amb el resultat exacte de l'apartat b) i valora si la teva aproximació inicial era raonable, explicant per què aquesta comprovació és útil en situacions reals.

Un creador de contingut en una plataforma de vídeo rep ingressos directament proporcionals al nombre de visualitzacions dels seus vídeos. Per cada $1250$ visualitzacions, el sistema li genera un benefici de $3,75$ €. Copia la taula següent al teu quadern i completa-la calculant la raó de proporcionalitat $k$. Al gràfic s'ha marcat la dada coneguda.

La bateria d'un patinet elèctric es consumeix de forma proporcional a la distància recorreguda. Si per fer un trajecte de $4,5$ km s'ha gastat un $12 \%$ de la capacitat total de la bateria, calcula mitjançant reducció a la unitat quanta bateria es consumirà en un recorregut de $15$ km pel mateix tipus de terreny.

Per organitzar una convivència escolar, s'ha decidit preparar una recepta de llimonada casolana. La recepta original indica que per a $6$ persones es necessiten $1,5$ litres d'aigua i $450$ g de sucre. Si finalment s'hi han apuntat $42$ persones, quants litres d'aigua i quants quilos de sucre s'han de comprar per mantenir la proporció exacta?

Tres amics, l'Alba, en Bruno i la Carla, han comprat junts un paquet de $50$ sobres de cartes col·leccionables que costava $75$ €. L'Alba va aportar $15$ €, en Bruno $27$ € i la Carla la resta. Si decideixen repartir els sobres de forma directament proporcional als diners que va posar cadascun, quants sobres li corresponen a cadascun?

Un mapa de senderisme de la Sierra de Guadarrama està dibuixat a una escala $1:25000$. Un grup d'estudiants planeja una ruta que al mapa mesura $14,4$ cm.

1. Quants quilòmetres reals recorreran en total?

2. Si caminen a una velocitat constant i triguen $45$ minuts a recórrer els primers $3$ km, quant de temps total els portarà completar la ruta?

Un centre de reciclatge paga als usuaris pel pes del plàstic lliurat. Dilluns, una escola va lliurar $120$ kg i va rebre $18$ €. Dimarts, una altra escola va lliurar una quantitat desconeguda i va rebre $24,75$ €.

1. Quin és el preu per quilo de plàstic reciclat?

2. Quants quilos va lliurar la segona escola?

A la mateixa hora del dia, l'ombra d'un senyal de trànsit de $2,2$ metres d'alçària mesura $1,4$ metres. Si just a la vora hi ha una torre d'alta tensió la meva/seva ombra mesura $10,5$ metres, quina alçària té la torre? Fes un dibuix esquemàtic de la situació abans de resoldre el problema.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de fabricació de components per a telèfons intel·ligents utilitza una màquina que produeix $150$ microxips cada $20$ minuts.

1. Quants microxips produirà en una jornada laboral de $8$ hores sense aturar-se?

2. Si per una fallada tècnica la màquina redueix la seva velocitat de producció a la meitat, quantes hores trigarà a fabricar una comanda urgent de $2250$ microxips?

Laura és la responsable de cuina d'un institut públic amb menjador escolar. Sap pels registres oficials que per atendre $180$ comensals diaris es cuinen exactament $27\text{ kg}$ d'arròs. La setmana que ve se celebren unes jornades d'orientació i el nombre de comensals variarà: dimarts dinaran $210$ alumnes; dijous, $195$; i divendres, $240$.

Per calcular la quantitat d'arròs necessària per a cadascun d'aquests tres dies, Laura dubta entre dues estratègies:

• Mètode 1 (Regla de tres): Plantejar tres regles de tres directes independents mitjançant productes encreuats, una per a cada dia.

• Mètode 2 (Reducció a la unitat): Calcular primer la constant de proporcionalitat directa (la ració d'arròs per comensal) i després aplicar-la als comensals de cada dia.

1. a) Aplica tots dos mètodes per calcular els quilos d'arròs de dimarts ($210$ comensals) i comprova que tots dos procediments porten al mateix resultat.
2. b) Utilitza el Mètode 2 per calcular els quilos necessaris per a dijous ($195$ comensals) i divendres ($240$ comensals).
3. c) Justifica de manera argumentada quin dels dos mètodes resulta més avantatjós i eficient en aquest cas particular. Canviaria la teva recomanació si Laura només hagués de calcular el menjar per a un sol dia aïllat? Raona la resposta.

Un punt de recàrrega de la xarxa pública municipal subministra energia elèctrica a una potència neta constant de $22\text{ kW}$ (és a dir, transfereix exactament $22\text{ kWh}$ per cada hora completa de connexió contínua). Un usuari connecta el seu cotxe elèctric, la bateria del qual té una capacitat total de $50\text{ kWh}$, en el moment en què la bateria es troba al $10\,\%$ de la seva càrrega. La tarifa municipal fixa un preu de $0,38\text{ €}$ per cada $\text{kWh}$ recarregat.

1. a) Calcula quants $\text{kWh}$ d'energia necessita rebre el vehicle per assolir el $80\,\%$ de la seva capacitat (nivell recomanat habitualment pels fabricants per allargar la vida de les bateries).
2. b) Modela la relació entre el temps transcorregut $t$ (en hores) i l'energia transferida $E$ (en $\text{kWh}$) mitjançant una funció de proporcionalitat directa. Quant de temps exacte (expressat en hores, minuts i segons) ha d'estar endollat el cotxe per assolir aquest $80\,\%$?
3. c) Modela la funció que expressa el cost econòmic total $C$ (en euros) en funció del temps de càrrega $t$ (en hores). Troba la constant de proporcionalitat directa d'aquesta relació, indica les seves unitats i interpreta què significa a la pràctica. Quant pagarà l'usuari en total per aquesta recàrrega?

Un estudi d'arquitectura està dissenyant una maqueta d'un gratacel utilitzant una impressora 3D d'alta precisió. Han comprovat que per imprimir una secció de l'estructura que té un volum de $450\text{ cm}^3$ es necessiten $12,5\text{ metres}$ de filament plàstic i la impressora triga $3\text{ hores i }45\text{ minuts}$. Si el gratacel complet a la maqueta requereix un volum total de plàstic de $2,16\text{ dm}^3$:

1. a) Quants rodets de filament de $50\text{ metres}$ hauran de comprar com a mínim per completar la maqueta?
2. b) Si la impressora treballa sense interrupcions, quants dies i hores trigarà a acabar la feina?

Un servidor de reproducció en continu (streaming) de vídeo ajusta la mida dels seus fitxers de forma proporcional a la durada i a la resolució (nombre total de píxels). Un vídeo de $10\text{ minuts}$ a una resolució de $1280 \times 720$ píxels ocupa $450\text{ MB}$.

Calcula quant ocuparà una pel·lícula de $1\text{ hora i }45\text{ minuts}$ si es penja amb una resolució de $1920 \times 1080$ píxels, sabent que la relació entre el pes i el total de píxels és directament proporcional. Expressa el resultat en gigabytes ($1\text{ GB} = 1024\text{ MB}$).

En un mapa estel·lar, la distància entre dues estrelles és de $18\text{ cm}$. Es sap que aquest mapa representa una escala on $1\text{ cm}$ equival a $4,5$ anys llum. Si una nau espacial viatja a una velocitat constant i triga $240\text{ anys}$ a recórrer $0,8$ anys llum:

1. a) A quina distància real en anys llum estan les dues estrelles?
2. b) Quants segles trigaria la nau a viatjar d'una estrella a l'altra? (Considera que la relació entre el temps i la distància recorreguda és directament proporcional).

Una planta dessalinitzadora produeix aigua potable de forma proporcional al temps de funcionament de les seves turbines. Durant un període de $8\text{ hores}$, la planta produeix aigua suficient per proveir una població de $3.500\text{ persones}$, consumint $1.400\text{ kWh}$ d'energia.

A causa d'una onada de calor, el consum d'aigua per persona augmenta un $25\%$. Si la planta ara ha de proveir una població de $5.000\text{ persones}$ en aquestes noves condicions, durant quantes hores haurà de funcionar i quin serà el consum energètic total previst? (Suposa que el consum d'energia és també directament proporcional al temps de funcionament).

Al laboratori de Física de 3r d'ESO s'analitzen dues molles elàstiques, $A$ i $B$, que verifiquen la llei de Hooke: la força aplicada $F$ (en Newtons, $\text{N}$) és directament proporcional a l'allargament experimentat $x$ (en centímetres, $\text{cm}$), complint $F = k \cdot x$.

L'alumnat troba una fitxa de laboratori antiga en la qual s'han esborrat diverses dades, però conserva intactes tres anotacions:

1. En sotmetre la molla $A$ a una força de $10\text{ N}$, el seu allargament registrat és de $8\text{ cm}$.

2. Sota una mateixa força desconeguda $F_1$, la molla $A$ s'allarga exactament $3\text{ cm}$ més que la molla $B$.

3. Si es duplica aquesta força desconeguda (aplicant $2 \cdot F_1$), l'allargament total que experimenta la molla $B$ és igual a l'allargament que tenia la molla $A$ sota la força original $F_1$.

1. a) Calcula la constant elàstica de proporcionalitat $k_A$ de la molla $A$ i interpreta el seu significat físic indicant les seves unitats.
2. b) A partir exclusivament de les propietats teòriques de la proporcionalitat directa i de les condicions 2 i 3, dedueix la constant de proporcionalitat elàstica $k_B$ de la molla $B$ sense calcular prèviament el valor numèric de la força $F_1$.
3. c) Reconstrueix les dades perdudes de l'assaig: troba el valor numèric exacte de la força $F_1$ (en $\text{N}$) i els allargaments que van tenir totes dues molles sota aquesta força.

L'Empresa Municipal de Transports (EMT) monitora el consum energètic dels seus autobusos elèctrics urbans. En condicions normals de circulació, el consum d'energia és directament proporcional a la distància recorreguda, amb una constant de proporcionalitat d' $1,20\text{ kWh/km}$. Tanmateix, durant els mesos d'estiu, l'ús ininterromput del sistema de climatització incrementa el consum per quilòmetre en un $25\,\%$.

1. a) Escriu l'equació de proporcionalitat directa $E = k \cdot d$ que relaciona l'energia consumida $E$ (en $\text{kWh}$) amb la distància recorreguda $d$ (en $\text{km}$) en cadascun dels dos escenaris: règim estàndard ($k_1$) i règim d'estiu ($k_2$).
2. b) Un autobús comença la seva jornada amb la bateria completament carregada ($320\text{ kWh}$). Per normativa de seguretat, la central exigeix que el vehicle torni a cotxeres abans que la bateria baixi al $15\,\%$ de la seva capacitat. Calcula l'autonomia màxima (en quilòmetres) que pot recórrer l'autobús en règim d'estiu abans d'haver-se de retirar a cotxeres.
3. c) Durant una jornada especial de proves, un autobús realitza un trajecte total de $180\text{ km}$: els primers $120\text{ km}$ amb la climatització encesa al màxim i els últims $60\text{ km}$ en mode estàndard. Calcula la constant de proporcionalitat global del dia (el consum mitjà real per quilòmetre). Un informe tècnic provisional proposava calcular aquesta constant fent la mitjana aritmètica simple de $k_1$ i $k_2$: $\frac{1,20 + 1,50}{2} = 1,35\text{ kWh/km}$. Justifica rigorosament per què aquesta mitjana simple és conceptualment errònia i com intervé la ponderació de les distàncies en el càlcul correcte.