Exercicis: Expressions algebraiques

En una botiga d'aplicacions per a mòbils, el cost d'una subscripció mensual a un servei de música és de $x$ euros. A més, hi ha una comissió fixa de $1,50$ € per despeses de gestió en cada rebut (s'emet un rebut per persona i per mes). Expressa en llenguatge algebraic:

1. a) El cost total d'un mes de subscripció.
2. b) El cost de tres mesos de subscripció per a un mateix usuari.
3. c) El cost de la subscripció d'un mes per a un grup de 4 amics si a cadascun se li aplica un descompte de $2$ € sobre el preu base $x$.

Copia i completa la taula següent identificant els elements de cada monomi donat:

Monomi	Coeficient	Part literal	Grau
$-5x^2y$
$\frac{3}{4}ab^3$
$x^2yz^2$
$-12$

Calcula el valor numèric de les expressions algebraiques següents per als valors de les variables que s'indiquen:

1. a) $3x^2 - 5x + 2$ per a $x = 2$
2. b) $2(a + b)^2$ per a $a = -1$ i $b = 3$
3. c) $\frac{x + 2y}{2}$ per a $x = 4$ i $y = -3$

Redueix les expressions algebraiques següents sumant o restant els monomis semblants:

1. a) $3x^2 - 5x + 2x^2 + x - 4x^2$
2. b) $2ab^2 + 3a^2b - 5ab^2 + a^2b$
3. c) $x + \frac{1}{2}x + 3x$

Un arquitecte està dissenyant una habitació rectangular. La llargada de l'habitació mesura $5$ metres més que l'amplada. Si anomenem $x$ l'amplada de l'habitació:

1. a) Escriu una expressió algebraica que representi el perímetre de l'habitació.
2. b) Escriu una expressió algebraica que representi l'àrea de l'habitació.

Atès el polinomi $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - x + 7$, respon a les qüestions següents:

1. a) Quin és el grau del polinomi?
2. b) Quin és el coeficient del terme de grau 2?
3. c) Quin és el terme independent?
4. d) Ordena el polinomi de forma creixent (de menor a major grau).

Realitza les sumes i restes de polinomis següents:

1. a) $(3x^2 - 5x + 4) + (2x^2 + x - 6)$
2. b) $(x^3 - 2x^2 + 3) - (x^2 - 5x + 1)$
3. c) $(-4x^4 + 2x^2) + (4x^4 - x^2 + x)$

Observa la figura següent formada per un quadrat de costat $x$ i un rectangle adossat de base $3$ i altura $x$.

1. a) Escriu el polinomi que representa l'àrea total de la figura.
2. b) Si el costat $x$ val $4$ cm, quina és l'àrea total de la figura?

En Mario està resolent una tasca sobre polinomis i ha de simplificar la següent expressió reduint termes semblants:

$$P(x) = 4x^3 - 7x^2 + 2x^3 + 5$$

Al seu quadern escriu el següent procediment:

$$P(x) = (4 - 7 + 2)x^{3+2+3} + 5 = -1x^8 + 5 = -x^8 + 5$$

i conclou afirmant que el resultat final és un binomi de grau $8$.

1. a) Localitza i explica detalladament els dos errors conceptuals comesos per en Mario en la seva resolució.
2. b) Corregeix l'exercici al teu quadern fent els passos de manera correcta. Quin és el polinomi reduït resultant, el seu grau i el seu terme independent?

Dissenya i escriu en cada cas una expressió algebraica que compleixi rigorosament totes les condicions exigides:

1. a) Un monomi en què intervinguin dues variables diferents, $x$ i $y$, el coeficient del qual sigui un nombre fraccionari negatiu i el seu grau total sigui igual a $5$.
2. b) Un polinomi de grau $3$ amb la indeterminada $x$, ordenat de major a menor grau, que tingui tres termes, el coeficient principal del qual sigui $4$, el seu terme independent sigui $-6$ i que tingui com a arrel $x = 1$ (recorda que un nombre $a$ és arrel d'un polinomi si el seu valor numèric és $0$, és a dir, $P(a) = 0$). Justifica pas a pas com dedueixes el terme intermedi que falta.

Observa la figura següent composta per dos rectangles units. Les longituds vénen donades en funció d'una variable indeterminada $x$.

La teva tasca consisteix a:

1. Trobar l'expressió algebraica simplificada (polinomi) que representa el perímetre total de la figura.

2. Trobar l'expressió algebraica simplificada (polinomi) que representa l'àrea total de la figura.

Una empresa de lloguer de patinets elèctrics utilitza la següent expressió algebraica per calcular el cost en cèntims del lloguer en funció dels minuts d'ús ($x$):

$$ C(x) = 2x^2 - 5x + 150 $$

Nota: Aquesta fórmula és un model promocional per a usuaris VIP i és vàlida per a trajectes curts.

1. Calcula el valor numèric del cost si utilitzes el patinet durant 10 minuts.

2. Si un usuari ha pagat exactament 150 cèntims, quants minuts teòricament ha estat utilitzant el patinet segons la fórmula? (Pista: observa el terme independent i troba totes les solucions possibles).

3. Desenvolupa l'expressió del cost per a un temps de $(x + 3)$ minuts, és a dir, calcula i simplifica $C(x+3)$.

Considera els polinomis següents que representen les dimensions i propietats de diferents cossos geomètrics:

$$ P(x) = 3x^2 - 5x + 1 $$ $$ Q(x) = 2x^2 + 4x - 2 $$ $$ R(x) = x - 3 $$

Realitza les operacions combinades següents i simplifica el resultat final:

1. Calcula la diferència: $P(x) - Q(x)$.

2. Calcula el producte: $Q(x) \cdot R(x)$.

3. Calcula: $2 \cdot P(x) - 3 \cdot Q(x)$.

Utilitzant les igualtats notables (quadrat d'una suma, quadrat d'una diferència i suma per diferència), desenvolupa o factoritza les expressions algebraiques següents segons correspongui. Relaciona l'apartat 2 amb la interpretació geomètrica mostrada a la imatge.

1. Desenvolupa: $(3x + 2)^2$

2. Desenvolupa: $(x - 4)^2$

3. Desenvolupa: $(2x + 5)(2x - 5)$

4. Factoritza el polinomi (escriu-lo com a quadrat d'un binomi): $x^2 + 10x + 25$

Volem comprovar si certs valors són "arrels" d'un polinomi. Recorda que una arrel és un valor que fa que el polinomi valgui zero.

Atès el polinomi $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$:

1. Utilitza la regla de Ruffini per dividir $P(x)$ entre $(x - 1)$. Quin és el residu? És $x=1$ una arrel del polinomi?

2. Sense usar Ruffini, calcula el valor numèric $P(-2)$. És $x=-2$ una arrel?

3. Escriu el polinomi $P(x)$ com a producte dels seus factors irreductibles sabent les seves arrels.

Tenim una caixa de cartró amb forma d'ortoedre (prisma rectangular) el volum de la qual ve donat per l'expressió algebraica:

$$ V(x) = x^3 + 4x^2 + 3x $$

1. Extreu factor comú en l'expressió del volum.

2. Factoritza completament el polinomi resultant per trobar les expressions algebraiques que corresponen a la llargada, amplada i altura de la caixa.

3. Si sabem que $x = 5$ cm, quines són les dimensions numèriques reals de la caixa?

Troba el valor de la constant $k$ en els casos següents, aplicant el teorema del residu:

1. Perquè la divisió del polinomi $P(x) = x^3 - 3x^2 + kx - 2$ entre $(x+2)$ sigui exacta (és a dir, que el residu sigui 0).

2. Perquè el residu de dividir $Q(x) = 2x^2 + kx + 5$ entre $(x-1)$ sigui igual a 4.

Simplificació de fraccions algebraiques. Recorda que per simplificar has de factoritzar primer tant el numerador com el denominador utilitzant igualtats notables o treure factor comú.

Simplifica les fraccions algebraiques següents:

1. $$ \frac{4x^2 - 9}{2x + 3} $$
2. $$ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4} $$
3. $$ \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 + 4x + 4} $$

En una ciutat espanyola, l'empresa pública municipal de transport ofereix dues opcions per desplaçar-se en autobús durant un mes:

• Opció A (Bitllet senzill): cada bitllet costa $1,40$ €.

• Opció B (Abonament mensual recarregable): s'abona una quota fixa de manteniment de $12,50$ € al mes, i cada viatge realitzat té un cost reduït de $0,60$ €.

1. a) Escriu el polinomi $A(x)$ que representa el cost mensual de realitzar $x$ viatges mitjançant l'Opció A, i el polinomi $B(x)$ que representa el cost mensual de realitzar $x$ viatges amb l'Opció B.
2. b) Defineix i redueix el polinomi $D(x) = A(x) - B(x)$, que representa l'estalvi econòmic que s'obté en triar l'abonament mensual en lloc dels bitllets senzills.
3. c) Si una estudiant estima que realitzarà exactament $20$ viatges al llarg del mes, calcula el valor numèric $D(20)$ i interpreta el resultat obtingut en el context del problema: quina opció li resulta més econòmica i per què? A partir de quants viatges comença a ser rentable l'abonament mensual?

En una estació meteorològica de muntanya de l'AEMET es modelitza la temperatura $T$ (en graus Celsius) durant un dia d'hivern mitjançant el següent polinomi:

$$T(h) = -0,2h^2 + 2,4h - 3$$

on $h$ representa el nombre d'hores transcorregudes des de les 08:00 del matí ($h = 0$ equival a les 08:00, $h = 4$ equival a les 12:00, etc.).

1. a) Observa els coeficients del polinomi abans d'operar. Sabent que a les 08:00 ($h = 0$) la temperatura era de $-3$ ºC, fes una estimació raonada de si a les 12:00 ($h = 4$) la temperatura haurà superat o no els $0$ ºC.
2. b) Calcula ara el valor numèric exacte $T(4)$ i contrasta el resultat amb la teva estimació prèvia.
3. c) Un observador novell afirma que a les $18:00$ ($h = 10$) la temperatura assolirà els $15$ ºC. Sense calcular encara el valor exacte, estima si aquesta afirmació és versemblant tenint en compte el signe del terme quadràtic $-0,2h^2$ per a valors creixents de $h$. Després, calcula $T(10)$ i confirma si l'afirmació era correcta.

En un estudi d'arquitectura estan dissenyant una nova plaça rectangular per a un institut. El disseny consta d'una zona enjardinada central rectangular envoltada per un camí pavimentat d'amplada uniforme.

Sabem que la zona enjardinada interior té unes dimensions de $x$ metres d'amplada i el doble de llargada, és a dir, $2x$ metres. El camí que envolta el jardí té una amplada constant de 3 metres a tots els seus costats.

1. Dibuixa un esquema de la situació.

2. Escriu l'expressió algebraica reduïda que representa l'àrea total de la plaça (jardí més camí).

3. Escriu l'expressió algebraica que representa l'àrea del camí pavimentat (la zona grisa del dibuix).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Tenim un polinomi $P(x) = 2x^4 - 5x^3 + kx^2 - 12$. Sabem que en realitzar la divisió d'aquest polinomi entre el binomi $(x + 2)$, el residu obtingut és 40.

Utilitzant el teorema del residu (sense realitzar la divisió llarga ni Ruffini complet), determina el valor de $k$. Una vegada trobat el valor de $k$, comprova si $x=2$ és una arrel del polinomi resultant.

Una empresa de paqueteria vol fabricar caixes sense tapa a partir de làmines rectangulars de cartró de 40 cm de llargada per 30 cm d'amplada. Per a fer-ho, es tallen quatre quadrats iguals de costat $x$ a les cantonades i es dobleguen les pestanyes resultants cap amunt.

1. Escriu el polinomi que expressa el volum de la caixa en funció de $x$.

2. Determina el volum de la caixa si tallem quadrats de 5 cm de costat.

3. Tindria sentit físic tallar quadrats de 16 cm de costat? Raona la teva resposta basant-te en les dimensions de la làmina.

Observa la successió següent de figures formades per punts.

• Figura 1: Té 3 punts (formant un triangle).

• Figura 2: Té 6 punts.

• Figura 3: Té 10 punts.

• Dibuixa la Figura 4 seguint el patró de creixement.

• Troba una expressió algebraica (polinomi) en funció de $n$ que ens permeti calcular el nombre total de punts de la Figura n. Pista: Relaciona aquests nombres amb l'àrea d'un rectangle de costats $n+1$ i $n+2$.

• Utilitza la teva expressió per calcular quants punts tindria la Figura 20.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Analitza les següents igualtats notables incompletes. La teva tasca consisteix a trobar el valor dels termes que falten (representats per buits) i escriure la igualtat completa.

1. $( \dots + 3y)^2 = 4x^2 + \dots + 9y^2$

2. $(5x - \dots)^2 = \dots - 20x + 4$

3. $(3x + \dots) \cdot (3x - \dots) = 9x^2 - 16$

Explica breument quina fórmula has utilitzat en cada cas (quadrat d'una suma, quadrat d'una diferència o suma per diferència).

L'àrea d'un rectangle ve donada pel polinomi $A(x) = 2x^2 + 7x + 3$.

1. Factoritza el polinomi $A(x)$ per trobar les expressions algebraiques que corresponen a la base i l'altura del rectangle, sabent que totes dues expressions són binomis amb coeficients enters.

2. Si sabem que el valor de $x$ és tal que $x > 0$, calcula quant valdria el perímetre del rectangle en funció de $x$. Simplifica l'expressió resultant al màxim.

Volem demostrar algebraicament una curiositat matemàtica sobre els nombres senars.

Sabem que qualsevol nombre senar es pot escriure de la forma $2n + 1$ (sent $n$ un nombre enter) i el seu consecutiu senar seria $2n + 3$.

1. Escriu l'expressió algebraica de la diferència dels quadrats de dos nombres senars consecutius: $(2n+3)^2 - (2n+1)^2$.

2. Desenvolupa i simplifica aquesta expressió al màxim.

3. Basant-te en el resultat simplificat, raona: És cert que la diferència dels quadrats de dos nombres senars consecutius és sempre un múltiple de 8?

Es vol construir una peça metàl·lica amb forma de corona circular (un anell pla).

El radi exterior de l'anell és $R$ i el radi del forat interior és $r$.

1. Escriu l'expressió algebraica de l'àrea de la peça ($A$) utilitzant $\pi$, $R$ i $r$.

2. Sabent que el radi exterior és $x + 3$ i el radi interior és $x - 3$:

   a) Substitueix aquests valors en la fórmula de l'àrea.

   b) Utilitza les igualtats notables per simplificar l'expressió de l'àrea. El resultat final ha de ser un monomi o polinomi molt senzill multiplicat per $\pi$.

Es vol trobar el valor numèric de l'expressió algebraica:

$$E(x) = (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 5) - (2x^2 - x) \cdot (x + 4)$$

per al valor $x = -2$.

Dos estudiants discuteixen sobre quina és la millor estratègia per calcular-lo:

• En Marcos proposa el Mètode 1: substituir directament $x = -2$ a cadascun dels factors de l'expressió original i realitzar les operacions aritmètiques respectant la jerarquia.

• La Sara proposa el Mètode 2: multiplicar primer els polinomis, agrupar i reduir tots els termes semblants fins a obtenir l'expressió en la seva forma canònica més simple, i després substituir $x = -2$.

1. a) Aplica el Mètode 1 d'en Marcos detallant cadascuna de les operacions intermèdies.
2. b) Aplica el Mètode 2 de la Sara desenvolupant i reduint primer l'expressió algebraica, i calculant després el valor numèric per comprovar que coincideix amb l'anterior.
3. c) Compara ambdós camins valorant el risc d'error en cadascun. Si ara et demanessin calcular el valor d'aquesta mateixa expressió per a quatre valors diferents ($x = 0$, $x = 1$, $x = 2$ i $x = 3$), quin dels dos mètodes triaries i per què? Justifica la teva resposta.

Considera la família de polinomis donada per l'expressió:

$$P(x) = 2x^3 + kx^2 - 8x - 12$$

on $k$ és un nombre real constant que desconeixem.

1. a) Sabent que $x = -2$ és una arrel de $P(x)$, calcula de manera justificada el valor exacte del coeficient $k$.
2. b) Un cop fixat aquest valor de $k$, comprova de forma raonada mitjançant el càlcul del valor numèric si $x = 3$ i $x = 1$ són també arrels del polinomi.
3. c) Un company de classe assegura: «Com que $P(x)$ té grau $3$, és segur que podem trobar quatre nombres reals diferents que anul·lin el polinomi». Argumenta per què aquesta afirmació és matemàticament falsa recolzant-te en la relació entre el grau d'un polinomi i el seu nombre màxim d'arrels.
4. d) Construeix un polinomi $Q(x)$ de grau $2$ que tingui únicament com a arrels els valors $x = -2$ i $x = 3$, i el coeficient principal del qual sigui $-5$. Presenta el resultat ordenat i reduït.