Exercicis: Divisió de polinomis

Divideix el següent polinomi entre el monomi donat, simplificant cadascun dels termes resultants:

En tota divisió de polinomis es compleix la relació $P(x) = d(x) \cdot c(x) + r(x)$. Si en dividir un polinomi entre $d(x) = x + 3$ hem obtingut un quocient $c(x) = x - 1$ i un residu $r(x) = 5$, quin és el polinomi dividend $P(x)$?

Aplica la regla de Ruffini per calcular el quocient i el residu de la divisió següent:

Utilitza la regla de Ruffini per realitzar la divisió del polinomi $P(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ entre el binomi $d(x) = x + 1$. Indica clarament quin és el quocient $C(x)$ i el residu $R$.

Sense fer la divisió llarga ni utilitzar Ruffini, calcula el valor del residu de la següent operació utilitzant el teorema del residu:

Calcula el valor de la lletra $k$ perquè la divisió sigui exacta (és a dir, que el residu sigui $0$):

L'àrea d'un estudi de gravació rectangular ve donada pel polinomi $A(x) = 3x^2 + 15x$. Si sabem que l'amplada de l'estudi mesura $3x$ metres, quina és l'expressió algebraica que representa la llargada de l'estudi?

Comprova si el nombre $a = 3$ és una arrel del polinomi $P(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3$ realitzant la divisió per Ruffini i observant el residu obtingut. Justifica la teva resposta basant-te en el resultat de l'operació.

L'Elena vol calcular el quocient i el residu de la divisió $(2x^3 - 7x + 5) : (x - 3)$ aplicant la regla de Ruffini. Al seu quadern ha preparat la taula anotant a la fila superior els nombres $2$, $-7$, $5$ i a l'esquerra, com a valor associat al divisor, el nombre $-3$.

1. a) Identifica i explica els dos errors conceptuals que ha comès l'Elena abans de posar-se a operar: un relatiu al signe del divisor i un altre als coeficients del dividend.
2. b) Corregeix ambdues errades refent la taula de Ruffini de manera adequada, i escriu explícitament el polinomi quocient $C(x)$ i el residu $R$ obtinguts.

Donada la divisió de polinomis $(6x^4 - x^3 - 2x^2 + 8x - 1) : (2x^2 - x + 1)$:

1. a) Abans de realitzar l'algorisme, estima i raona:

1. Quin grau exacte tindrà el polinomi quocient?

2. Quin és el grau màxim que pot tenir el residu? Podria ser el residu un polinomi de segon grau com $x^2 - 3$? Justifica-ho segons la definició de la divisió de polinomis.

3. Quin serà el monomi principal (el terme de grau més alt) del quocient?

1. b) Realitza la divisió tradicional per l'algorisme de la caixa i comprova si les teves estimacions sobre els graus i el monomi principal coincideixen amb el resultat obtingut.

Utilitza l'algorisme de la divisió per trobar el quocient $C(x)$ i el residu $R(x)$ de la següent operació entre polinomis. Recorda ordenar i completar els termes del dividend abans de començar:

$(6x^4 + 7x^3 - 5x^2 + 1) : (3x^2 - x + 2)$

Aplica la regla de Ruffini per calcular el quocient i el residu de la divisió del polinomi $P(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 10$ entre el binomi $(x + 3)$.

Recorda que, per aplicar la regla, el polinomi ha d'estar complet i ordenat (si falta algun terme, s'escriu el seu coeficient $0$) i que el valor que es col·loca a l'esquerra és l'arrel del divisor.

1. a) Escriu els coeficients del dividend i el valor d'$a$ que fas servir en la regla de Ruffini.

1. b) Fes la regla de Ruffini pas a pas.

1. c) Escriu el polinomi quocient $C(x)$ i indica clarament quin és el valor del residu $R$.

Sense fer la divisió, utilitza el teorema del residu per esbrinar si el nombre $x = 2$ és arrel del polinomi $P(x) = 2x^3 - 5x^2 - x + 6$. Justifica la teva resposta indicant si la divisió de $P(x)$ entre $(x - 2)$ és exacta o no.

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la divisió del polinomi $P(x) = x^3 - kx^2 + 4x - 8$ entre el binomi $(x - 2)$ tingui un residu igual a $10$.

L'àrea d'una pista de pàdel rectangular ve donada pel polinomi $A(x) = 2x^2 + 11x + 12$. Si sabem que l'amplada de la pista mesura $(x + 4)$ metres, determina l'expressió algebraica que representa la llargada de la pista.

Reconstrueix el polinomi dividend $D(x)$ sabent que, en dividir-lo entre $d(x) = x^2 - 1$, s'obté com a quocient $C(x) = x + 5$ i com a residu $R(x) = 3x - 2$. Utilitza la propietat fonamental de la divisió: $D(x) = d(x) \cdot C(x) + R(x)$.

Un equip de joves programadors està dissenyant un nivell d'un videojoc on el volum d'una caixa de subministraments és $V(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$. Si la base de la caixa té una àrea de $A(x) = x^2 - 4x + 4$, quina és l'expressió de l'alçada de la caixa? Quin valor pren l'alçada si $x = 5$ unitats?

Comprova si el binomi $(x + 1)$ és un factor del polinomi $P(x) = x^4 - 1$. Per fer-ho, pots utilitzar tant la divisió llarga com Ruffini o el teorema del factor. Explica què significa que un binomi sigui "factor" d'un altre polinomi en relació amb el residu de la divisió.

Es considera el polinomi $P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x - 15$ i es vol estudiar la seva divisió entre $(x - 3)$.

1. a) Si l'únic propòsit d'un exercici fos esbrinar si la divisió és exacta (és a dir, si el residu val zero), compara dos camins possibles: la regla de Ruffini i el Teorema del Residu. Justifica quin dels dos procediments és més ràpid i eficient per respondre a aquesta pregunta.
2. b) Aplica el mètode que has seleccionat com a més eficient a l'apartat anterior, calcula el residu i dedueix de manera justificada si $(x - 3)$ és o no un factor de $P(x)$.
3. c) Si ara et demanessin obligatòriament trobar el polinomi quocient $C(x)$, raona si el mètode del Teorema del Residu et continuaria servint i obtén aquest quocient utilitzant el mètode adequat.

Volem determinar un polinomi de tercer grau $P(x)$ el coeficient principal del qual sigui $1$. Es coneixen les dades següents sobre les seves divisions:

1. En dividir-lo entre $(x - 2)$, la divisió és exacta.

2. En dividir-lo entre $(x + 1)$, el residu és $0$.

3. El seu terme independent val $-8$.

1. a) Utilitzant les dues primeres condicions, determina dues arrels de $P(x)$ i escriu la seva expressió de forma factoritzada: $P(x) = (x - 2) \cdot (x + 1) \cdot (x - a)$, on $a$ és una arrel desconeguda.
2. b) A partir del terme independent, planteja una equació senzilla per calcular el valor exacte de l'arrel $a$ i desenvolupa el polinomi per expressar-lo en la forma habitual $P(x) = x^3 + Bx^2 + Cx + D$.
3. c) Utilitza el Teorema del Residu (sense fer la divisió llarga ni Ruffini) per comprovar si el binomi $(x + 4)$ és també un factor de $P(x)$.

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè el polinomi $P(x) = x^4 - ax^3 + bx^2 + x - 6$ sigui divisible simultàniament per $(x - 1)$ i per $(x + 2)$. Pista: utilitza el teorema del residu per plantejar un sistema d'equacions.

Una empresa de logística utilitza caixes de cartró el volum de les quals en centímetres cúbics ve donat pel polinomi $V(x) = 2x^3 + 9x^2 + 7x - 6$. Si sabem que l'àrea de la base de la caixa és $B(x) = 2x^2 + 5x - 3$, calcula el polinomi que representa l'alçada $H(x)$ de la caixa.

En dividir un polinomi $P(x)$ entre $Q(x) = x^2 - 4$, obtenim com a quocient $C(x) = x^2 + 2x - 3$ i com a residu $R(x) = 5x + 1$. Reconstrueix el polinomi original $P(x)$ i expressa'l en la seva forma estàndard (ordenat de major a menor grau).

Determina el valor de $k$ perquè el residu de la divisió $(2x^4 - 5x^3 + kx^2 - 12) : (x + 2)$ sigui igual al residu de la divisió $(x^3 + 2x^2 - x + 10) : (x - 3)$.

Calcula el quocient i el residu de la següent divisió utilitzant la regla de Ruffini. Para atenció, ja que el divisor no té coeficient principal igual a 1:

Recorda que per utilitzar Ruffini el divisor ha de ser del tipus $(x - a)$. Com podries transformar $2x - 1$ perquè tingui aquesta forma?

El benefici total d'una botiga de videojocs per la venda d'un nou llançament ve expressat pel polinomi $B(x) = x^3 + 15x^2 + 54x$. Si el benefici per cada videojoc venut es representa pel binomi $(x + 6)$, fes la divisió per trobar el polinomi que representa el nombre total de videojocs venuts.

Es vol dissenyar una tanca publicitària rectangular la superfície total de la qual està definida per $S(x) = x^4 - 16$. Si sabem que un dels seus costats mesura $L(x) = x^2 + 4$, calcula el polinomi que representa l'altre costat. A continuació, indica si l'àrea és divisible per $(x - 2)$ i justifica la teva resposta sense fer la divisió llarga.

Considera el polinomi $P(x) = 3x^3 - kx^2 + 12x - 4$.

1. Calcula el valor de $k$ perquè $x = 2$ sigui una arrel del polinomi.

2. Un cop trobat $k$, utilitza la regla de Ruffini per dividir $P(x)$ entre $(x - 2)$ i comprova que el residu és zero.

3. El quocient obtingut és un polinomi de segon grau mònic? (Un polinomi és mònic si el seu coeficient principal és 1).

Una empresa de paqueteria i logística amb seu a Zaragoza dissenya caixes modulars per optimitzar el transport en furgonetes. El volum total de càrrega (en decímetres cúbics, equivalent a litres) corresponent a un enviament ve modelitzat pel polinomi:

on $x$ és una cota de disseny en decímetres amb $x > 1$. La superfície de la base de la furgoneta on s'apilen les caixes, mesurada en decímetres quadrats, ve donada pel polinomi:

1. a) Modelitza l'alçària $H(x)$ que assoleix l'apilament dividint el volum $V(x)$ entre la superfície de la base $S(x)$. Realitza la divisió i interpreta el significat del residu obtingut: encaixen les caixes ocupant tota la base sense deixar buits o volums sobrants que impedeixin tancar la porta posterior?
2. b) Si per a un determinat repartiment es fixa $x = 3\text{ dm}$, calcula el valor numèric de la superfície de la base, de l'alçària i del volum total, i comprova que es compleix la prova de la divisió: $V(3) = S(3) \cdot H(3) + R$.

Considera un polinomi $P(x)$ del qual no coneixem la seva expressió completa, però en sabem dos resultats de les seves divisions: en dividir $P(x)$ entre $(x - 2)$ el residu obtingut és $7$, i en dividir $P(x)$ entre $(x + 1)$ el residu obtingut és $-2$.

1. a) Si dividim $P(x)$ entre el polinomi de segon grau $d(x) = (x - 2) \cdot (x + 1) = x^2 - x - 2$, raona detalladament a partir de la relació de graus per què el residu $R(x)$ ha de tenir com a màxim grau $1$ i es pot escriure sempre com a $R(x) = mx + n$.
2. b) Planteja la igualtat fonamental de la divisió: $P(x) = (x^2 - x - 2) \cdot C(x) + (mx + n)$. Sense conèixer el quocient $C(x)$, substitueix els valors adequats de $x$ en aquesta igualtat per formular un sistema de dues equacions lineals amb incògnites $m$ i $n$.
3. c) Resol el sistema i escriu l'expressió algebraica definitiva del residu $R(x)$.

Repte del tema. Com optimitzar l'embalatge dels enviaments? Redissenyaràs una caixa de cartó per a enviaments sostenibles partint d'un objecte quotidià.

1. Presa de dades i expressions: Mesura en centímetres la llargària, l'amplària i l'alçària d'una caixa real que tinguis a casa. Planteja que augmentes la llargària en $x\text{ cm}$, l'amplària en $(x - 1)\text{ cm}$ i l'alçària queda fixa en el seu valor mesurat $h$. Escriu les expressions algebraiques de les noves arestes.

2. Producte i suma: Determina el polinomi del volum total $V(x)$ multiplicant les tres dimensions i el polinomi de l'àrea total $A(x)$ sumant les àrees de les seves sis cares per estimar el cartó necessari.

3. Divisió: Si la caixa transportarà peces modulars amb un volum unitari de $(x + 2)\text{ cm}^3$, divideix $V(x)$ entre $(x + 2)$ aplicant la divisió de polinomis per obtenir el quocient $C(x)$ i el residu $R$, de manera que $V(x)=(x+2)C(x)+R$. Per a $x = 2,5$, comprova que el nombre màxim d'unitats completes que hi caben per volum és la part entera de $V/(x+2)$ i explica per què no coincideix, en general, amb el valor del quocient, ni el residu amb el volum desaprofitat.

4. Informe final: Utilitza un full de càlcul o GeoGebra per avaluar el volum útil i el cartó gastat si s'amplia $x = 2,5\text{ cm}$, redactant una proposta raonada sobre la viabilitat de l'embalatge.

Es valorarà:

• Precisió en el plantejament de les expressions algebraiques i el càlcul del producte i la suma.

• Domini de l'algorisme de la divisió polinòmica i interpretació crítica de quocient i residu.

• Ús adequat de l'eina digital i justificació de conclusions a partir de les dades mesurades.