Exercicis: Fraccions i decimals

Observa la il·lustració següent, que representa el nivell de càrrega de la bateria d'un telèfon mòbil.

1. Escriu la fracció que representa la part carregada de la bateria respecte del total.

2. Simplifica aquesta fracció fins a obtenir la seva fracció irreductible.

3. Si la bateria té una capacitat total de $4000 \text{ mAh}$, quants mAh d'energia queden disponibles?

Indica si els parells de fraccions següents són equivalents. Per justificar la teva resposta, utilitza el mètode del producte en creu (multiplicar en creu) o simplifica totes dues fraccions fins a obtenir la irreductible.

1. a) $\frac{3}{5}$ i $\frac{9}{15}$
2. b) $\frac{4}{7}$ i $\frac{10}{21}$
3. c) $\frac{-2}{3}$ i $\frac{8}{-12}$

Representa a la recta numèrica següent, de manera aproximada, els nombres racionals que s'indiquen a continuació.

Nombres a representar:

• $A = \frac{3}{2}$

• $B = -\frac{1}{2}$

• $C = \frac{3}{4}$

• $D = -1,5$

Realitza les operacions combinades amb fraccions següents. Recorda simplificar el resultat final sempre que sigui possible i respecta la jerarquia de les operacions (primer parèntesis, després multiplicacions/divisions, i finalment sumes/restes).

1. a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}$
2. b) $\left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right) : \frac{5}{2}$
3. c) $\frac{5}{6} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3}$

Classifica els nombres decimals següents segons siguin decimals exactes, periòdics purs o periòdics mixtos. Després, converteix els dos primers (apartats a i b) en la seva fracció generatriu corresponent.

1. a) $2,5$
2. b) $1,333...$
3. c) $4,1252525...$
4. d) $0,08$

Un grup d'amics compra una pizza gegant per sopar.

• Ana es menja $\frac{1}{6}$ de la pizza.

• Carlos es menja $\frac{2}{6}$ de la pizza.

• Beatriz es menja $\frac{1}{3}$ de la pizza.

1. a) Quina fracció de la pizza s'han menjat entre tots tres? (Recorda reduir a comú denominador si és necessari).
2. b) Quina fracció de pizza ha sobrat?

Calcula la fracció irreductible equivalent a cadascun dels percentatges i nombres decimals següents.

1. a) $25\%$
2. b) $0,75$
3. c) $10\%$
4. d) $1,5$

En un institut de 500 alumnes, s'ha realitzat una enquesta sobre els seus esports preferits. Els resultats són els següents:

• $\frac{1}{2}$ dels alumnes prefereix el futbol.

• $\frac{3}{10}$ dels alumnes prefereix el bàsquet.

• La resta dels alumnes prefereix altres esports.

1. a) Quants alumnes prefereixen el futbol?
2. b) Quants alumnes prefereixen el bàsquet?
3. c) Quina fracció del total d'alumnes prefereix "altres esports"?

Mateo ha de calcular la fracció generatriu del nombre decimal periòdic mixt $0,3\widehat{8}$ per resoldre una activitat de classe. A la seva llibreta escriu el següent:

$$0,3\widehat{8} = \frac{38}{90} = \frac{19}{45}$$

1. Localitza l'error que ha comès Mateo al numerador i explica raonadament per què el seu procediment és incorrecte.

2. Aplica la regla deductiva correcta (restant al nombre sense coma la part que no es repeteix) per trobar la fracció generatriu i simplifica-la fins a obtenir la fracció irreductible.

3. Fes la divisió a mà del numerador entre el denominador de la fracció obtinguda per comprovar que efectivament reprodueix el decimal $0,3888\dots$

Per muntar una prestatgeria al taller de Tecnologia, la Sofia necessita empalmar dos llistons de fusta. El primer llistó fa $1,\widehat{6}\text{ m}$ de llargària i el segon llistó fa exactament $\frac{9}{4}\text{ m}$.

1. Abans de fer càlculs amb fraccions, fes una estimació mental aproximant cada mesura a un nombre decimal amb una sola xifra decimal (dècimes) i suma'ls. Quant fa aproximadament la unió de tots dos llistons?

2. Troba la fracció generatriu irreductible d'$1,\widehat{6}$ i calcula la suma exacta amb la fracció $\frac{9}{4}$, expressant el resultat final com una fracció irreductible.

3. Converteix la fracció irreductible resultant a forma decimal i compara-la amb la teva estimació inicial. Va ser una estimació raonable? Justifica a què es deu la petita diferència.

Classifica els nombres següents en el conjunt numèric més petit al qual pertanyen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) i, per a aquells que siguin decimals (exactes o periòdics), troba la seva fracció generatriu simplificada.

1. a) $4,25$
2. b) $-7$
3. c) $3,1\widehat{6}$
4. d) $5,\widehat{27}$
5. e) $-\frac{18}{3}$

Una vegada obtingudes les fraccions, ordena-les de menor a major.

Realitza les operacions combinades amb fraccions següents, respectant la jerarquia de les operacions. Recorda simplificar el resultat final fins a obtenir la fracció irreductible.

$$ \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right)^{-2} + \frac{5}{3} \cdot \left( \frac{2}{5} - 1 \right) - \frac{1}{2} : \frac{3}{4} $$

Javier ha estat revisant l'emmagatzematge del seu telèfon mòbil, que té una capacitat total de $128 \text{ GB}$. Observa la distribució de les seves dades següent:

1. El sistema operatiu i les aplicacions preinstal·lades ocupen $\frac{1}{8}$ del total.

2. Les fotos i vídeos de les seves vacances ocupen $\frac{2}{5}$ de la resta (el que queda lliure després de comptar el sistema).

3. Els seus jocs ocupen $\frac{1}{4}$ del que quedava després de desar les fotos.

Quina fracció del total representa l'espai que encara té lliure? Quants Gigabytes (GB) són? Ajuda't amb el següent esquema per visualitzar el problema.

Tenim dues bàscules diferents.

• Bàscula A: S'utilitza en un laboratori i en pesar una proveta ens dóna un valor de $24,5 \text{ g}$. El valor real exacte és $\frac{49}{2} \text{ g}$.

• Bàscula B: S'utilitza en un magatzem i en pesar una caixa ens dóna un valor de $5,4 \text{ kg}$. El valor real exacte és $\frac{16}{3} \text{ kg}$.

Calcula l'error absolut i l'error relatiu comès en cada mesurament. Quina de les dues mesures és més precisa? Justifica la teva resposta basant-te en l'error relatiu.

Calcula el valor exacte de la següent expressió, convertint primer tots els nombres decimals a la seva fracció generatriu. No utilitzis aproximacions decimals durant el procés.

$$ \frac{1,2 - 0,\widehat{6}}{1 - 0,8\widehat{3}} : 3^{-1} $$

Tres amics, Ana, Beto i Carla, decideixen comprar un regal d'aniversari que costa $120 \text{ €}$.

• Ana aporta $\frac{2}{5}$ del total.

• Beto aporta $\frac{1}{3}$ del total.

• Carla hi posa la resta.

1. a) Quina fracció del total aporta Carla?
2. b) Quants euros paga cadascú?
3. c) Si haguessin decidit pagar a parts iguals, quina fracció del total hauria pagat cadascú i quants diners suposaria?

Es vol tancar un terreny rectangular. Sabem que la longitud de la seva base és de $\frac{15}{2}$ metres i la seva altura mesura $\frac{2}{3}$ de la mesura de la base.

1. a) Calcula el perímetre del rectangle en forma de fracció i en forma decimal.
2. b) Calcula l'àrea del terreny en metres quadrats ($\text{m}^2$).
3. c) Si el metre de tanca costa $8,50 \text{ €}$, quant costarà tancar tot el terreny?

Una bactèria es reprodueix dividint-se en dues cada hora. Inicialment, en un cultiu hi ha un nombre determinat de bactèries que ocupa $\frac{1}{64}$ de la capacitat total de la placa de Petri.

1. a) Si cada hora es duplica la població, quina fracció de la placa estarà ocupada al cap de 3 hores? Expressa el resultat com una potència de base 2.
2. b) Quantes hores en total hauran de passar (des de l'inici) perquè la placa estigui completament plena (és a dir, la fracció sigui 1)?
3. c) Si a l'inici hi havia 500 bactèries (corresponents a aquest $\frac{1}{64}$), quantes bactèries hi haurà quan la placa estigui a la meitat de la seva capacitat?

Cerca una fracció irreductible positiva $\frac{n}{d}$ que compleixi alhora les quatre condicions següents:

• El denominador $d$ és un nombre d'una sola xifra ($d < 10$).

• En dividir $n$ entre $d$, s'obté un nombre decimal periòdic pur el període del qual té una única xifra.

• El valor del nombre decimal està comprès estrictament entre $1,5$ i $2$ ($1,5 < \frac{n}{d} < 2$).

• La suma del numerador i el denominador és igual a $25$ ($n + d = 25$).

• Justifica quines xifres no poden ser en cap cas el denominador $d$ si volem que el decimal sigui periòdic pur.

• Dedueix els valors exactes d'$n$ i de $d$ descartant amb arguments matemàtics les opcions que no compleixin totes les pistes.

• Escriu la fracció definitiva, comprova que és irreductible i expressa-la en forma decimal indicant-ne el període.

Segons les dades del butlletí hidrològic d'una conca hidrogràfica espanyola, un embassament té una capacitat màxima de $180\text{ hm}^3$. Després de les últimes pluges, l'aigua emmagatzemada es distribueix de la manera següent:

• L'aigua destinada al consum urbà representa el $22,\widehat{2}\%$ de la capacitat total de l'embassament.

• L'aigua reservada per a reg agrícola equival exactament a $\frac{5}{12}$ de la capacitat total de l'embassament.

• El volum restant d'aigua emmagatzemada es reserva com a cabal ecològic del riu.

• Transforma el percentatge de consum urbà ($22,\widehat{2}\%$) en una fracció generatriu irreductible. Recorda que un percentatge equival a una fracció amb denominador 100.

• Calcula quants hectòmetres cúbics ($\text{hm}^3$) d'aigua corresponen exactament a cadascun dels tres usos: urbà, agrícola i cabal ecològic.

• Per evitar sancions mediambientals, la normativa exigeix que el cabal ecològic emmagatzemat superi la quarta part del volum total de l'embassament. A partir dels teus càlculs, determina de manera justificada si es compleix aquesta exigència.

Calcula el valor exacte de la següent expressió, convertint prèviament tots els nombres decimals a la seva fracció generatriu irreductible i simplificant el resultat pas a pas:

$$ \frac{1,1\widehat{6} - \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \cdot 0,1}{2 - \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}} + \sqrt{0,\widehat{4}} $$

Nota: Recorda respectar la jerarquia de les operacions i treballar amb fraccions durant tot el procés per evitar errors d'arrodoniment.

Un servidor d'emmagatzematge al núvol ha patit una sèrie de càrregues massives de dades i esborrats accidentals durant el cap de setmana.

1. El dissabte al matí, el servidor estava ple fins als $\frac{3}{4}$ de la seva capacitat total.

2. Al migdia, un script automàtic va esborrar $\frac{1}{5}$ de les dades que hi havia emmagatzemades en aquell moment.

3. A la tarda, es van penjar nous fitxers que van ocupar $\frac{2}{3}$ de la capacitat que havia quedat lliure després de l'esborrat.

Si al final del dia encara quedaven 120 GB d'espai lliure al disc dur del servidor:

a) Quina fracció del total del disc representa l'espai lliure final?

b) Quina és la capacitat total d'emmagatzematge del servidor en GB?

Observa la figura geomètrica següent que representa un terreny quadrat dividit en diferents parcel·les de conreu.

Calcula quina fracció de l'àrea total del quadrat representa la zona ombrejada (color taronja). Expressa el resultat com una fracció irreductible.

En un laboratori de química s'estan realitzant mesuraments de precisió. Dos estudiants, Álex i Bea, mesuren la longitud d'una fibra microscòpica.

• El valor real de la longitud de la fibra és $2,345 \cdot 10^{-4}$ metres.

• Álex obté una mesura de $2,3 \cdot 10^{-4}$ metres.

• Bea obté una mesura de $2,4 \cdot 10^{-4}$ metres.

Respon justificant les teves respostes amb càlculs:

a) Calcula l'error absolut comès per cada estudiant. Expressa el resultat en notació científica.

b) Calcula l'error relatiu de cada mesura i expressa'l com un percentatge.

c) Basant-te en l'error relatiu, quina de les dues mesures és més precisa i per què?

d) Si tronquem el valor real a les deu-mil·lèsimes, coincideix amb l'arrodoniment a les deu-mil·lèsimes? Explica-ho.

Tres aixetes ($A$, $B$ i $C$) aboquen aigua a un dipòsit, i un desguàs ($D$) permet buidar-lo.

• L'aixeta $A$ omple el dipòsit en 4 hores si funciona sola.

• L'aixeta $B$ omple el dipòsit en 6 hores si funciona sola.

• L'aixeta $C$ omple el dipòsit en 12 hores si funciona sola.

• El desguàs $D$ buida el dipòsit ple en 8 hores.

El dipòsit està inicialment buit. S'obren les tres aixetes ($A$, $B$, $C$) i el desguàs ($D$) simultàniament. Tanmateix, a les 2 hores de funcionament, es tanca l'aixeta $A$ per una avaria, i queden les altres dues i el desguàs funcionant.

Calcula el temps total (en hores i minuts) que trigarà el dipòsit a omplir-se per complet des de l'inici.

Troba dos nombres racionals i dos nombres irracionals que es trobin estrictament compresos en l'interval:

$$ \left( \frac{13}{9} \, , \, 1,4\widehat{5} \right) $$

Explica detalladament el procediment que has seguit per trobar-los i demostra que, efectivament, pertanyen a aquest interval.

Un joier disposa de dos lingots d'un aliatge d'or i coure.

• El primer lingot té una puresa tal que per cada 5 parts d'or n'hi ha 2 de coure.

• El segon lingot és de menys qualitat, i té 3 parts d'or per cada 4 parts de coure.

El joier fon una certa quantitat del primer lingot amb una certa quantitat del segon per obtenir un nou lingot de 420 grams. Si vol que la fracció final d'or en el nou lingot sigui exactament $\frac{2}{3}$ del pes total:

Quants grams ha de tallar i fondre de cadascun dels dos lingots originals?

Sigui $x$ un nombre decimal periòdic mixt la part entera del qual és 0.

Sabent que:

• El seu anteperíode té 2 xifres.

• El seu període té 1 xifra.

• La fracció generatriu irreductible d'aquest nombre té com a denominador 900.

• El nombre satisfà que: $\frac{1}{8} < x < \frac{1}{7}$

Troba tots els valors possibles de $x$ i expressa'ls com a fracció i com a nombre decimal.

En un examen es planteja calcular el valor exacte de l'operació combinada següent:

$$M = \frac{0,\widehat{7} - 0,4\widehat{6}}{0,\widehat{3}}$$

Tres estudiants de 3r d'ESO proposen camins diferents:

• Hugo arrodoneix prèviament cada decimal a les centèsimes ($0,78$; $0,47$ i $0,33$) i opera amb la calculadora.

• Elena afirma que es poden restar directament els períodes al numerador i després dividir els nombres decimals resultants.

• David converteix cada terme en la seva fracció generatriu irreductible i opera amb les fraccions pas a pas.

• Aplica el mètode d'Hugo i calcula el valor decimal que obté.

• Aplica el mètode de David utilitzant fraccions generatrius irreductibles i simplifica el resultat fins a una fracció irreductible. Obtén la seva expressió decimal periòdica exacta.

• Avalua críticament les propostes:

a) Calcula l'error absolut que comet Hugo comparant el seu resultat amb el valor exacte de David i reflexiona sobre el risc d'arrodonir abans d'operar en situacions de precisió científica o financera.

b) Justifica per què la idea d'Elena d'operar directament amb les xifres decimals periòdiques no és un mètode vàlid en general per al producte o la divisió.

Es vol dissenyar un codi numèric a partir d'una fracció irreductible $\frac{a}{b}$ (amb $a, b \in \mathbb{N}$ i $a < b$) que compleixi les condicions següents:

• El seu desenvolupament decimal és periòdic mixt, amb un anteperíode d'una xifra i un període de dues xifres: $0,x\widehat{yz}$.

• La fracció està晚 compresa a la recta real estrictament entre $0,15$ i $0,20$.

• El denominador $b$ és el nombre natural més petit possible que permet obtenir aquesta estructura decimal.

• Analitza la fracció generatriu teòrica $\frac{N - a}{990}$ i raona quins factors primers ha de contenir obligatòriament el denominador simplificat $b$. Demostra per què el menor denominador possible no pot ser $22$ i ha de ser $b = 55$.

• Troba l'únic numerador $a$ que fa que $\frac{a}{55}$ sigui irreductible i se situï en l'interval $(0,15;\; 0,20)$. Troba el seu desenvolupament decimal identificant l'anteperíode i el període.

• Troba la fracció generatriu irreductible del nombre $0,1\widehat{9}$. En vista del resultat, classifica'l en el conjunt numèric més restrictiu al qual pertany ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) i escriu un exemple de nombre irracional que estigui situat estrictament entre la teva fracció $\frac{a}{55}$ i aquest nombre $0,1\widehat{9}$.