Exercicis: Aproximació i errors

A la pantalla de la teva calculadora apareix el nombre irracional $\sqrt{10} = 3,16227766...$

Copia la taula següent a la teva llibreta i completa-la fent les aproximacions indicades per a aquest nombre:

Tipus d'aproximació	A les unitats	A les dècimes	A les centèsimes	A les mil·lèsimes
Per truncament
Per arrodoniment

Estàs ajudant a organitzar una cursa solidària al teu institut. En calcular la distància exacta d'un tram del recorregut amb el GPS, obtens 2,3458 km.

Per fer els cartells informatius, necessites simplificar aquesta xifra. Escriu com quedaria aquesta distància si aproximem per arrodoniment:

1. a) A les unitats (km).

1. b) A les dècimes.

1. c) A les centèsimes.

Per a l'apartat c), ajuda't de la recta numèrica següent, que mostra el tram entre 2,34 i 2,35 i on cau el nombre:

Un streamer famós ha penjat un vídeo que té exactament 3.894.215 visualitzacions.

1. a) Escriu aquesta quantitat arrodonida als milions.
2. b) Escriu la quantitat arrodonida a les centenes de miler.
3. c) Quantes xifres significatives has utilitzat en l'apartat b?

En mesurar la longitud de la teva taula d'estudi, el valor real de fàbrica és de 120 cm. Tu utilitzes una cinta mètrica i obtens una mesura de 119 cm.

1. a) Calcula l'error absolut ($E_a$) comès en el teu mesurament. Recorda que l'error absolut és la diferència en valor positiu entre el valor real i l'aproximat: $E_a = |V_{real} - V_{aprox}|$.
2. b) Si el teu condeixeble mesura el passadís de l'institut, que mesura realment 5000 cm, i obté 4999 cm, el seu error absolut és d'1 cm, igual que el teu. Significa això que tots dos mesuraments tenen la mateixa precisió? Raona la teva resposta (et pots recolzar en el concepte d'error relatiu).

Calcularem l'error relatiu ($E_r$) per comparar dos pesatges diferents. Recorda que la fórmula és $E_r = \frac{E_a}{|V_{real}|}$.

1. Cas A: Peses una poma el pes real de la qual és 200 g i la teva balança marca 205 g.

2. Cas B: Peses el teu gos el pes real del qual és 20.000 g (20 kg) i la bàscula marca 20.005 g.

Calcula l'error relatiu en tots dos casos (el pots expressar en forma decimal o percentatge) i indica quin mesurament ha estat més precís (de més qualitat).

Mira la imatge següent que representa el velocímetre digital d'una bicicleta elèctrica:

El velocímetre només mostra nombres enters (sense decimals) i marca 24 km/h mitjançant arrodoniment a les unitats.

Això significa que la velocitat real no és exactament 24 km/h, sinó que està compresa en un interval. Entre quins dos valors (fita inferior i fita superior) es troba la velocitat real de la bicicleta?

Has anat al supermercat a comprar ingredients per a un sopar. Els preus reals dels productes són:

• Pasta: 1,85 €

• Salsa de tomàquet: 2,15 €

• Formatge ratllat: 3,48 €

• Refresc: 1,25 €

1. a) Fes una estimació ràpida del cost total arrodonint cada preu a les unitats abans de sumar.
2. b) Calcula la suma exacta dels preus.
3. c) Calcula la diferència (error absolut) entre la teva estimació i el preu real. Creus que ha estat una bona estimació per saber si portaves 10 € a la butxaca?

Volem calcular l'àrea d'un cercle el radi del qual hem mesurat amb un regle.

La mesura del radi és $r = 5$ cm.

Sabem que l'àrea d'un cercle és $A = \pi \cdot r^2$.

1. a) Si utilitzem l'aproximació de $\pi \approx 3$, quina és l'àrea calculada?
2. b) Si utilitzem l'aproximació de $\pi \approx 3,14$, quina és l'àrea calculada?
3. c) Sabent que el valor "real" (fent servir la tecla $\pi$ de la calculadora) és aproximadament 78,54 cm², calcula l'error absolut comès en l'apartat a i en l'apartat b. Quina aproximació de $\pi$ és més adequada d'utilitzar en matemàtiques de 3r d'ESO?

En Marcos afirma a classe de Matemàtiques que les quantitats $0,0350\text{ m}$ i $350\text{ m}$ tenen exactament la mateixa quantitat de xifres significatives perquè «els zeros no aporten valor i tots dos nombres es redueixen a 35». A més, assegura que a $0,0350\text{ m}$ l'instrument va mesurar amb precisió d'unitats perquè no compta decimals.

1. a) Explica raonadament els dos errors conceptuals que comet en Marcos sobre la funció dels zeros.
2. b) Indica el nombre correcte de xifres significatives de cadascuna de les dues mesures justificant el paper de cada zero.
3. c) Si la mesura $0,0350\text{ m}$ es va obtenir amb un instrument la darrera xifra del qual indica la sensibilitat de la lectura, quina és la cota d'error absolut (la mitja unitat de la darrera xifra) comesa en mesurar?

Un nombre decimal positiu $x$ s'ha aproximat a les dècimes mitjançant arrodoniment, i s'ha obtingut com a resultat $4,8$.

1. a) Si sabem que en arrodonir el valor original va augmentar i que l'error absolut comès va ser exactament de $0,03$, quin era el valor exacte de $x$?
2. b) Escriu, mitjançant un interval o desigualtats, tots els possibles nombres reals que en arrodonir-se a les dècimes donen com a resultat $4,8$.
3. c) Quin és l'error absolut màxim que es pot cometre en arrodonir qualsevol nombre a les dècimes?

En l'àmbit científic i tecnològic és cabdal saber amb quina precisió estem treballant. Arrodoneix els nombres següents a tres xifres significatives:

1. a) La quantitat de visites d'un vídeo viral: $14\,592\,301$.
2. b) La massa d'una partícula de pols: $0,00040961$ grams.
3. c) El nombre $\pi$: $3,141592...$
4. d) La capacitat d'un disc dur en bytes: $1\,024\,576\,000$.

Després, expressa cada resultat utilitzant la notació científica.

Analitzarem l'error que cometem quan fem servir decimals en lloc de fraccions. Considera la fracció $\frac{7}{3}$.

1. a) Escriu la seva expressió decimal i arrodoneix-la a les centèsimes.
2. b) Calcula l'error absolut ($E_a$) comès amb aquesta aproximació.
3. c) Calcula l'error relatiu ($E_r$) i expressa'l en forma de percentatge.

Nota: Recorda que per al càlcul de l'error, has de fer servir el valor exacte (la fracció) com a referència.

Dos estudiants fan mesuraments diferents per a un projecte de ciències.

• La Lucía mesura la longitud d'un camp de futbol i obté $105$ m, amb un error absolut de $0,5$ m.

• En Marcos mesura la longitud de la pantalla d'un mòbil i obté $15$ cm, amb un error absolut de $0,1$ cm.

Quina de les dues mesures és més precisa (té més qualitat)? Justifica la teva resposta calculant els errors relatius de totes dues mesures.

En moltes benzineries, el preu del combustible es mostra amb tres decimals (mil·lèsimes d'euro), encara que nosaltres paguem amb monedes que només arriben als cèntims (centèsimes).

El preu del dièsel avui és de $1,489$ €/litre.

Posaràs exactament $35$ litres.

1. a) Calcula el preu real exacte multiplicant els $35$ litres pel preu amb tres decimals.
2. b) Calcula el preu si primer arrodonim el preu del litre a dos decimals ($1,49$ €/L).
3. c) Quina és la diferència en euros entre tots dos mètodes? Qui hi surt guanyant amb l'arrodoniment previ, el client o la benzineria?

Volem calcular l'àrea d'un rectangle la base del qual mesura $\sqrt{5}$ cm i la seva altura mesura $\sqrt{3}$ cm.

1. a) Calcula l'àrea exacta utilitzant radicals.
2. b) Aproxima $\sqrt{5}$ i $\sqrt{3}$ a les centèsimes i calcula l'àrea aproximada amb aquests valors.
3. c) Determina l'error absolut comès en fer servir els valors aproximats respecte al valor exacte de l'apartat a.

Les bàscules de bany digitals solen tenir una precisió de $100$ grams ($0,1$ kg). Això significa que si la bàscula marca $54,2$ kg, el pes real podria estar una mica per sobre o una mica per sota, però arrodonit a aquest decimal.

1. a) Escriu l'interval de valors reals possibles per a un pes mesurat de $54,2$ kg.
2. b) Quina és la fita d'error absolut d'aquesta bàscula?

Calcula l'error relatiu comès en les aproximacions següents i indica quina d'elles és la pitjor aproximació (la que té un error relatiu més gran):

1. a) Aproxima la fracció $\frac{1}{3}$ com a $0,33$.
2. b) Aproxima el nombre $\sqrt{2}$ com a $1,41$.
3. c) Aproxima un pressupost de $150.000$ € com a $140.000$ €.

A les notícies han anunciat que a una manifestació han assistit "aproximadament 25.000 persones".

1. a) Si sabem que aquesta xifra s'ha obtingut arrodonint als milers, quin és el nombre màxim i mínim de persones que podrien haver-hi assistit realment?
2. b) Representa aquest interval a la recta numèrica.
3. c) Quin és l'error absolut màxim que es podria estar cometent amb aquest titular?

Una família prepara un viatge en cotxe de Madrid a Còrdova per l'autovia A-4. La distància que marca el navegador és de $396,4\text{ km}$, el consum mitjà del vehicle és de $6,8\text{ litres}$ cada $100\text{ km}$ i el preu de la gasolina en aquell moment és d'$1,59\text{ €/litre}$.

1. a) Abans d'operar amb decimals, arrodoneix cadascuna de les tres dades numèriques a una sola xifra significativa i fes una estimació mental de la despesa total en combustible del viatge.
2. b) Utilitza la calculadora amb les dades originals per calcular el cost real exacte del trajecte (expressa el resultat arrodonit als cèntims d'euro).
3. c) Calcula l'error absolut i l'error relatiu percentual de la teva estimació respecte al valor real. A partir del resultat, valora si l'estimació prèvia va ser raonable per planificar el pressupost del viatge.

En un taller de fusteria metàl·lica disposen de barres d'alumini de $300\text{ cm}$ de llargària i necessiten tallar peces individuals de $14,6\text{ cm}$. Per esbrinar quantes peces completes s'obtenen de cada barra, dos operaris divideixen $300 : 14,6 = 20,5479...$:

• L'Elena diu: «Hem d'arrodonir a les unitats; com que la xifra de les dècimes és un 5, obtenim 21 peces».

• En Sergio diu: «Hem de truncar a les unitats; per tant, obtenim 20 peces».

1. a) Quin dels dos mètodes és l'adequat per resoldre aquest problema real? Explica quina conseqüència pràctica tindria aplicar el mètode incorrecte.
2. b) Amb el mètode correcte, calcula quants centímetres d'alumini sobren exactament d'una barra després d'obtenir totes les peces possibles.
3. c) Planteja una situació quotidiana diferent d'aquesta en què el truncament sigui més convenient o realista que l'arrodoniment matemàtic, i justifica per què.

En un laboratori de nanotecnologia i en un observatori astronòmic s'han realitzat dues mesures diferents amb els seus instruments de precisió respectius:

1. La longitud d'un xip microscòpic: $0,00045 \text{ m}$ (amb un error possible de $\pm 0,00001 \text{ m}$).

2. La distància entre dos satèl·lits: $45000 \text{ km}$ (amb un error possible de $\pm 100 \text{ km}$).

Sense fer càlculs complexos, es podria pensar que la mesura del xip és "més fina" per ser el nombre més petit, però quina de les dues mesures té més qualitat o precisió científica?

Justifica la teva resposta calculant l'error relatiu de totes dues mesures i expressant-lo en percentatge.

Volem pintar una pista d'aterratge per a helicòpters (heliport) que té forma circular. Per calcular la quantitat de pintura necessària, mesurem el radi i obtenim $r = 12,5 \text{ m}$. Sabem que la fórmula de l'àrea és $A = \pi \cdot r^2$.

1. a) Calcula l'àrea "exacta" utilitzant la tecla $\pi$ de la teva calculadora.
2. b) Calcula l'àrea aproximada utilitzant el valor arrodonit $\pi \approx 3,14$.
3. c) Calcula l'error absolut i l'error relatiu comès en fer servir l'aproximació de $\pi$ respecte al valor de la calculadora.
4. d) Si un pot de pintura cobreix $5 \text{ m}^2$, afecta l'error comès al nombre de pots que hem de comprar?

Una empresa de joieria compra or basant-se en el pes. La seva balança digital mesura amb una precisió de centèsimes de gram ($0,01 \text{ g}$). Tanmateix, la factura que emeten trunca el pes a un sol decimal (dècimes de gram) per fer el cobrament.

Aquesta setmana han comprat 4 lots d'or els pesos reals dels quals a la balança han sigut:

• Lot A: $12,48 \text{ g}$

• Lot B: $25,19 \text{ g}$

• Lot C: $8,76 \text{ g}$

• Lot D: $15,95 \text{ g}$

1. a) Calcula el pes total real sumant les quantitats exactes de la balança.
2. b) Calcula el pes total que apareix a les factures sumant les quantitats truncades a les dècimes.
3. c) Quin és l'error absolut total que s'ha comès amb aquest mètode de facturació? Qui hi surt perdent, el comprador o el venedor?

Tenim un dipòsit d'aigua amb forma d'ortoedre (caixa rectangular). Hem mesurat les seves dimensions amb una cinta mètrica que només marca els decímetres, per la qual cosa les nostres mesures tenen una cota d'error absolut de $0,5 \text{ dm}$ (és a dir, el valor real podria ser 0,5 dm més gran o més petit).

Les mesures obtingudes són:

• Llargada: $20 \text{ dm}$

• Amplada: $10 \text{ dm}$

• Alçada: $15 \text{ dm}$

Calcula el volum del dipòsit ($V = \text{llargada} \times \text{amplada} \times \text{alto}$) i determina entre quins dos valors (interval) es troba el volum real del dipòsit, tenint en compte les cotes d'error de cada mesura.

Aproximarem el nombre irracional $\sqrt{10}$.

1. a) Escriu l'aproximació de $\sqrt{10}$ per arrodoniment a les dècimes, a les centèsimes i a les mil·lèsimes.
2. b) Calcula l'error absolut comès en cadascun dels tres casos anteriors (fent servir el valor de la calculadora com a "valor real").
3. c) Quantes xifres decimals necessitem prendre perquè l'error absolut sigui menor que $0,0001$? Justifica la teva resposta sense necessitat d'escriure totes les xifres, utilitzant la lògica de les cotes d'error.

Un velocímetre digital d'una bicicleta marca la velocitat amb un sol decimal. En un moment determinat, marca $24,5 \text{ km/h}$.

Sabem que aquest aparell aproxima per arrodoniment a la dècima més propera.

1. a) Escriu l'interval de valors reals possibles en què es troba la velocitat exacta de la bicicleta. És a dir, quina és la velocitat mínima i màxima que podria portar el ciclista perquè l'aparell marqui 24,5?
2. b) Si el ciclista manté aquesta velocitat durant 2 hores exactes, quina és la diferència màxima en quilòmetres (cota d'error absolut) entre la distància calculada amb el valor 24,5 i la distància real possible?

Es vol parcel·lar un terreny rectangular per construir-hi habitatges.

Les dimensions del terreny són $\frac{200}{3}$ metres de llargada i $\frac{100}{7}$ metres d'amplada.

Si treballem amb fraccions, el càlcul és exacte, però els operaris necessiten nombres decimals.

1. a) Calcula l'àrea exacta del terreny fent servir les fraccions.
2. b) Aproxima cada dimensió a dues xifres decimals (centèsimes) i calcula l'àrea amb aquests valors aproximats.
3. c) Quin és l'error relatiu comès en calcular l'àrea amb els valors aproximats respecte al valor exacte de la fracció?

Calcula pas a pas la cota d'error absolut i la cota d'error relatiu en la següent operació combinada, tenint en compte l'ordre d'operacions.

Donats els nombres $A = 2,86$ i $B = 4,13$, aproximacions d'uns valors reals desconeguts, però sabent que tots dos han estat arrodonits a les centèsimes.

1. a) Calcula el valor de $C = \frac{A + B}{2}$.

1. b) Raona: quina és la cota d'error absolut del resultat $C$? (Pista: pensa en el valor màxim i mínim que podrien tenir $A$ i $B$ abans de ser arrodonits).

1. c) Calcula la cota d'error relatiu de $C$, dividint la cota d'error absolut entre el valor de $C$.

En les notes de premsa sobre el padró municipal de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), la població empadronada a Terol es publica com a $36\,000$ habitants (arrodonida als milers més propers), mentre que la de Madrid es publica com a $3\,340\,000$ habitants (arrodonida a les desenes de miler més properes).

1. a) Determina la cota d'error absolut (error màxim possible) comesa en la xifra de cadascuna de les dues ciutats.
2. b) Calcula la cota d'error relatiu percentual de cada mesurament prenent com a referència el valor publicat.
3. c) Un titular de premsa afirma: «La xifra oficial de Madrid és deu vegades menys precisa i fiable que la de Terol perquè el seu marge d'error absolut és de $5\,000$ persones enfront de les $500$ de Terol». Utilitza els conceptes d'error absolut i d'error relatiu per rebatre matemàticament l'afirmació del periodista i concloure quina dada és de més qualitat.

Un laboratori farmacèutic fabrica càpsules en les quals la massa teòrica de principi actiu ha de ser de $0,250\text{ g}$. El protocol de control de qualitat exigeix de manera estricta que l'error relatiu de la massa real respecte al valor teòric no superi l'$1,6\,\%$.

1. a) Planteja la condició matemàtica i determina l'interval de massa real $[m_{\text{mín}}, m_{\text{máx}}]$ que fa acceptable una càpsula.
2. b) Per fer el control, el laboratori disposa de dues balances analítiques:

• Balança A: precisió de $\pm 0,005\text{ g}$.

• Balança B: precisió de $\pm 0,001\text{ g}$.

Calcula l'error relatiu màxim percentual que introdueix únicament la imprecisió de cada instrument en pesar $0,250\text{ g}$. Justifica de manera raonada si la Balança A és adequada per certificar el compliment del protocol o si resulta imprescindible emprar la Balança B.