Exercicis: Llocs geomètrics

Un jove entrena el seu gos en un descampat. El gos està subjecte a una corretja extensible de $5$ metres de longitud màxima, ancorada a una estaca clavada al terra. Dibuixa i descriu el lloc geomètric que formen les posicions per les quals pot moure's el gos si manté la corretja sempre tensa (és a dir, estirada al màxim). Tria una escala adequada, per exemple $1$ cm en el dibuix equival a $1$ m en la realitat, i assenyala en el teu dibuix l'estaca i la posició del gos.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teua resposta.

Dos pobles, Poble A i Poble B, estan situats a una distància de $8$ km entre ells, com mostra la figura. Les autoritats volen construir una parada d'autobús que estigui exactament a la mateixa distància de tots dos pobles. En quina línia o lloc geomètric han de situar la parada? Representa-ho gràficament al teu quadern.

En un museu, dues parets formen un angle de $70^\circ$. Es vol instal·lar una vitrina que estigui situada sempre a la mateixa distància de totes dues parets. Dibuixa l'angle i traça el lloc geomètric on es podrien col·locar els objectes de la vitrina. Com es diu tècnicament aquesta línia?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Identifica el punt notable del triangle que es descriu en cada cas:

1. a) És el punt que equidista dels tres vèrtexs del triangle.
2. b) És el punt on es tallen les tres altures d'un triangle.
3. c) És el centre de la circumferència inscrita al triangle (la que toca els seus tres costats).
4. d) És el centre de gravetat del triangle i el punt on es tallen les medianes.

Dibuixa al teu quadern un triangle els costats del qual mesurin $6$ cm, $8$ cm i $10$ cm (a la figura tens un esquema del triangle). Traça les seves tres mediatrius i marca el punt on es tallen. Comprova, fent servir el compàs, que aquest punt és el centre d'una circumferència que passa pels tres vèrtexs. Quin nom rep aquest punt?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un parc té forma triangular, com mostra la figura. Es vol instal·lar una font a l'interior del parc de manera que la distància de la font a cadascun dels tres camins (costats del parc) sigui la mateixa.

1. a) Quines rectes notables del triangle hauries de dibuixar per trobar la ubicació?

1. b) Com es diu el punt resultant?

S'ha dissenyat un nou carril bici recte que passa pel centre d'una ciutat. Per seguretat, no es permet construir cap edificació a menys de $15$ metres d'aquest carril. Descriu el lloc geomètric que delimita la zona prohibida a banda i banda del carril bici i dibuixa un esquema senzill.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

És possible que en un triangle coincideixin el circumcentre, l'incentre, el baricentre i l'ortocentre en un mateix punt? En cas afirmatiu, indica quin tipus de triangle ha de ser i dibuixa'l marcant aquest punt.

A la classe de 3r d'ESO, el professor demana definir i traçar el lloc geomètric dels punts que estan a la mateixa distància de dos pals, $A$ i $B$, separats per una distància de $6\text{ m}$. En Sergio escriu al seu quadern:\n\n«El lloc geomètric és el segment de $6\text{ m}$ de longitud que passa just pel punt mitjà entre $A$ i $B$ i és perpendicular a la línia que els uneix; si ens sortim d'aquests $6\text{ m}$, els punts ja no poden estar a la mateixa distància d'$A$ i de $B$ perquè estarien massa lluny».\n\na) Identifica els dos errors conceptuals que comet en Sergio en el seu raonament.\nb) Explica per què la distància a la qual es trobi un punt no li impedeix pertànyer a aquest lloc geomètric i redacta la definició correcta del lloc geomètric de què es tracta.

En una pista poliesportiva, dues balises d'entrenament estan situades en els punts $A$ i $B$, separades exactament per $8\text{ m}$. Volem col·locar una pilota en una posició que compleixi dues condicions alhora: estar a la mateixa distància d'$A$ que de $B$, i trobar-se exactament a $5\text{ m}$ de la balisa $A$.\n\na) Estima: abans de fer càlculs o traços precisos, estima de manera justificada quantes posicions possibles hi ha a la pista per col·locar la pilota (cap, una, dues o infinites?). Basa la teva predicció en la comparació intuïtiva entre el radi de cerca i la distància entre les balises.\nb) Comprova: identifica formalment quins dos llocs geomètrics corresponen a cada condició. A continuació, calcula la distància exacta a la qual quedarà la pilota de la línia recta que uneix $A$ i $B$ aplicant el teorema de Pitàgores en el triangle corresponent, i conclou si la teva estimació inicial era encertada.

Al pati d'un institut, dues antenes de Wi-Fi estan situades en els punts $A$ i $B$, separats per una distància de $12$ metres (la figura mostra només les antenes). Un estudiant busca un lloc per seure on rebi la mateixa intensitat de senyal de totes dues antenes.

1. a) Descriu quin lloc geomètric formen tots els punts que estan a la mateixa distància d'$A$ i de $B$.

1. b) Si l'estudiant a més vol estar exactament a $10$ metres de l'antena $A$, en quants punts possibles del pati podria situar-se? Explica quines figures geomètriques hauries de dibuixar per trobar-los.

Un ajuntament vol instal·lar un fanal en una petita plaça de forma triangular els vèrtexs de la qual estan situats en els punts $P$, $Q$ i $R$ (mira la figura). Han decidit que el fanal ha d'estar a la mateixa distància de les tres cantonades (vèrtexs) de la plaça perquè la il·luminació sigui equilibrada.

1. a) Com es diu el punt notable del triangle on han d'instal·lar el fanal?

1. b) Quines rectes notables del triangle cal traçar per localitzar aquest punt? Dibuixa-ho de manera esquemàtica.

Dos carrers rectes d'un barri, el Carrer Major i el Carrer Menor, es creuen en un punt $O$ formant un angle de $60^\circ$, com es veu a la figura. Es vol col·locar una paperera que compleixi dues condicions: que sigui a la mateixa distància dels dos carrers i que disti exactament $5$ metres del punt d'intersecció $O$. Considera els carrers com a rectes que es prolonguen indefinidament en els dos sentits.

1. a) Defineix el lloc geomètric que compleix la primera condició (estar a la mateixa distància dels dos carrers).

1. b) Utilitza el concepte de lloc geomètric per explicar com determinaries la posició exacta de la paperera. Quantes solucions possibles hi ha en total?

En un entrenament de futbol, es col·loca una pilota en un punt que dista el mateix de les dues línies de banda (paral·leles entre si). Si la amplada del camp és de $60$ metres:

1. a) Descriu el lloc geomètric on pot estar la pilota.
2. b) Si l'entrenador afegeix una restricció i diu que la pilota ha d'estar a $20$ metres d'un banderí de córner específic, dibuixa l'esquema de la situació i identifica els punts que compleixen totes dues condicions.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un dissenyador gràfic està creant un logotip basat en un triangle escalè. Vol inscriure una circumferència a l'interior del triangle de manera que sigui tangent als tres costats.

1. a) Quin punt notable del triangle ha de ser el centre d'aquesta circumferència?
2. b) Si la distància des d'aquest centre a un dels costats és de $3$ cm, quina serà la distància als altres dos costats? Justifica la teva resposta basant-te en la definició d'aquest lloc geomètric.

Tres amics, Alba, Bruno i Carla, estan situats en un parc formant un triangle. L'Alba i el Bruno són a $10$ metres de distància. La Carla observa que ella es troba en un punt tal que l'angle format per les visuals cap a l'Alba i el Bruno és sempre de $90^\circ$. La figura mostra una de les posicions possibles de la Carla.

1. a) Com es diu el lloc geomètric on es troba la Carla?
2. b) Si la Carla es mou mantenint sempre aquest angle de $90^\circ$ respecte als seus amics, quina figura geomètrica descriuria la seva trajectòria? Indica on és el seu centre i quant mesura el seu radi.

S'ha dissenyat un joc de taula on una fitxa s'ha de col·locar al "centre de gravetat" d'una peça triangular de cartró perquè es mantingui en equilibri sobre la punta d'un llapis. Els costats del triangle mesuren $15$ cm, $20$ cm i $25$ cm. A la figura pots veure la peça $ABC$ (amb l'angle recte en $A$), les seves tres medianes i el punt $P$ on es col·loca la fitxa.

1. a) Quin nom rep aquest punt d'equilibri en geometria?
2. b) Si tracem una de les medianes d'aquest triangle, en quina proporció divideix el punt d'equilibri aquesta mediana? Expressa la relació entre la distància del punt al vèrtex i la distància del punt al costat oposat.

Una empresa de logística vol ubicar un magatzem central que doni servei a tres botigues situades als punts $A(2, 6)$, $B(2, 0)$ i $C(10, 0)$ (unitats en km). Per minimitzar els costos de transport, el magatzem ha d'estar a la mateixa distància de les tres botigues.

1. a) Determina les coordenades del punt on s'ha de situar el magatzem mitjançant l'estudi de les mediatrius.

1. b) Com s'anomena el lloc geomètric dels punts que són a una distància de $5$ km del punt $B$? Estaria la botiga $C$ dins d'aquesta zona?

Els serveis d'emergències de Castella i Lleó estudien ubicar una base d'ambulàncies comarcal que atengui amb idèntic temps de resposta els nuclis urbans de tres municipis: Arévalo ($A$), Medina del Campo ($M$) i Olmedo ($O$). Les distàncies en línia recta entre els seus centres són aproximadament: $AM = 34\text{ km}$, $AO = 22\text{ km}$ i $MO = 20\text{ km}$. Es decideix situar la base en un punt que equidisti exactament dels tres municipis.\n\na) Modela la situació: defineix quin lloc geomètric determina els punts que equidisten de dos municipis qualssevol i quin punt notable del triangle format per $A$, $M$ i $O$ representa la ubicació de la base.\nb) Aplica la relació entre els costats d'un triangle ($c^2$ enfront d'$a^2 + b^2$) per classificar el triangle $AMO$ en acutangle, rectangle o obtusangle.\nc) A partir de la classificació anterior, raona si la base quedarà dins del triangle delimitat pels tres pobles o fora d'ell. Explica quina conseqüència pràctica té aquesta propietat dels llocs geomètrics per a la gestió del territori.

En un pla cartesià de disseny urbanístic, es desitja que la frontera de repartiment de servei entre dos repetidors, $A$ i $B$ (és a dir, la mediatriu del segment $AB$), sigui exactament la recta bisectriu dels quadrants primer i tercer, l'equació de la qual és $y = x$.\n\na) Si el repetidor $A$ s'instal·la en el punt de coordenades $(0, 8)$, dedueix de manera raonada les coordenades en què s'ha de situar obligatòriament el repetidor $B$. Comprova la teva deducció verificant que el punt mitjà del segment $AB$ pertany a la recta $y = x$ i que el segment $AB$ és perpendicular a aquesta.\nb) Generalitza: formula quina relació algebraica hi ha d'haver entre les coordenades $(x_A, y_A)$ i $(x_B, y_B)$ de qualsevol parell de punts perquè la seva mediatriu continuï sent la recta $y = x$. Proposa dues parelles més de punts diferents que comparteixin aquesta mateixa mediatriu.

Un equip de rescat de muntanya rep senyals de dos excursionistes perduts, situats als punts $A$ i $B$. El centre de comandament sap que la zona de cerca està formada pels punts que estan exactament a la mateixa distància d'$A$ i de $B$. L'helicòpter de rescat ha de seguir una trajectòria rectilínia representada per una carretera secundària $r$. En un mapa de coordenades, els punts són $A(1, 6)$ i $B(5, 2)$, i la carretera segueix la direcció de la recta que passa per $(0, 0)$ i $(4, 8)$.

Determina, mitjançant raonaments de llocs geomètrics, el punt exacte on l'helicòpter creuarà la línia on podrien trobar-se els excursionistes.

Es vol instal·lar una antena de telefonia que doni servei a tres pobles situats en els vèrtexs d'un triangle els costats del qual mesuren $13\text{ km}$, $14\text{ km}$ i $15\text{ km}$. L'enginyer cap decideix que l'antena ha d'estar al circumcentre del triangle perquè la distància als tres pobles sigui la mateixa. Si l'àrea del triangle és de $84\text{ km}^2$, calcula el radi de cobertura que ha de tenir l'antena (la distància des del circumcentre a qualsevol dels vèrtexs) sabent que en qualsevol triangle el radi de la circumferència circumscrita compleix la relació $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot \text{Àrea}}$.

En un parc d'atraccions, una nova atracció de "vol suspès" es mou de manera que es manté sempre a la mateixa distància de dues torres de control fixes, $T_1$ i $T_2$, separades entre si per $30$ metres.

1. Identifica de quin lloc geomètric es tracta i descriu-lo.

2. Si situem les torres en els punts $T_1(-15, 0)$ i $T_2(15, 0)$ d'un pla (unitats en metres), quina recta descriu la trajectòria de l'atracció? Indica'n l'equació.

3. L'atracció passa exactament per damunt d'una caseta de manteniment situada en el punt $P(0, 20)$. Comprova que la caseta equidista de les dues torres calculant les dues distàncies.

Un arquitecte dissenya una plaça triangular els costats de la qual mesuren $30$, $40$ i $50$ metres. A l'interior, hi vol col·locar una font que estigui a la mateixa distància dels tres carrers (els tres costats del triangle).

1. Com es diu el lloc geomètric que determina la posició de la font?

2. Calcula la distància de la font a cadascun dels carrers. (Ajuda: L'àrea d'un triangle també es pot calcular com el producte del semiperímetre pel radi del cercle inscrit, $A = s \cdot r$).

Considera dues rectes secants $r$ i $s$ que es tallen en un punt $V$ formant un angle de $60^\circ$. Es vol dibuixar una circumferència de radi $10\text{ cm}$ que sigui tangent a totes dues rectes i que estigui situada dins de l'angle de $60^\circ$ que mostra la figura.

1. a) Explica sobre quina línia ha de trobar-se el centre $O$ d'aquesta circumferència.

1. b) Calcula a quina distància del punt d'intersecció $V$ de les dues rectes s'ha de situar el centre de la circumferència. (Ajuda: en unir el centre amb el punt de tangència es forma un triangle rectangle; usa les propietats dels triangles amb angles de $30^\circ$ i $60^\circ$).

Dues boies de salvament, $A$ i $B$, suren al mar separades per una distància de $8$ km. Els serveis de rescat volen instal·lar una plataforma que compleixi dues condicions alhora: que equidisti de totes dues boies i que disti exactament $5$ km de la boia $A$.

Al mapa de la figura, amb unitats en km, les boies són a $A(0, 0)$ i $B(8, 0)$.

1. a) Quin lloc geomètric formen els punts que equidisten d'$A$ i de $B$? I els punts que disten $5$ km d'$A$?

1. b) En quants punts diferents es pot instal·lar la plataforma? Justifica-ho raonant sobre la posició relativa dels dos llocs geomètrics anteriors.

1. c) Calcula les coordenades de tots els punts on es pot instal·lar la plataforma. (Ajuda: utilitza el teorema de Pitàgores).

Un far emet un senyal que només es rep a una distància inferior a $10\text{ km}$. Una embarcació es mou per una costa rectilínia $c$ que està a $8\text{ km}$ de distància del far en el seu punt més proper.

1. Descriu el lloc geomètric dels punts de la costa que reben el senyal del far.

2. Calcula la longitud del tram de costa en què l'embarcació estarà dins del radi d'abast del far.

En un triangle isòsceles $ABC$, amb $AB = AC$, sabem que el baricentre (punt on es tallen les medianes), l'ortocentre (punt on es tallen les altures) i el circumcentre (punt on es tallen les mediatrius) estan tots alineats sobre una mateixa recta.

1. Aquesta recta coincideix amb la mediana, l'altura, la mediatriu i la bisectriu traçades des del vèrtex $A$. Quina relació té amb l'eix de simetria del triangle? Justifica la teva resposta.

2. Si la base $BC$ mesura $12\text{ cm}$ i l'altura corresponent a aquesta base mesura $9\text{ cm}$, determina a quina distància de la base es troba el baricentre, sabent que el baricentre divideix cada mediana en dos segments de manera que el que arriba al vèrtex és el doble de llarg que l'altre.

Una cooperativa agrícola compra una finca triangular amb cantonades a les cruïlles de tres carreteres comarcals rectes. Les carreteres formen un triangle rectangle els costats del qual mesuren $60\text{ m}$, $80\text{ m}$ i $100\text{ m}$. Cal construir un pou comunitari dins de la parcel·la i es debaten dos mètodes geomètrics basats en llocs geomètrics:\n\n- Mètode 1: situar el pou en el circumcentre de la finca (intersecció de les mediatrius), amb l'argument que ha d'estar a la mateixa distància dels tres vèrtexs (cruïlles de carreteres).\n- Mètode 2: situar el pou en l'incentre de la finca (intersecció de les bisectrius interiors), amb l'argument que ha d'estar a la mateixa distància de les tres carreteres (costats de la finca).\n\nPer garantir la seguretat de la maquinària i evitar abocaments, la normativa agrària exigeix que el pou estigui ubicat estrictament a l'interior del terreny i a la distància més gran possible de la vora de qualsevol carretera.\n\na) Analitza la viabilitat d'ambdós mètodes calculant a quina distància exacta se situaria el pou de cadascuna de les tres carreteres en el Mètode 1 i en el Mètode 2 (pots calcular el radi de la circumferència inscrita igualant l'àrea del triangle, $A = \frac{b \cdot h}{2}$, a la suma de les àrees dels tres triangles que es formen des de l'incentre, $A = \frac{a+b+c}{2} \cdot r$).\nb) Justifica de manera crítica quin dels dos mètodes s'ha de triar i per què l'altre és completament inadmissible segons la normativa exigida.

Salvament Marítim detecta un senyal de socors als voltants de l'estret de Gibraltar. Dues estacions costaneres situades a Tarifa ($T$) i Algesires ($A$), separades per $20\text{ km}$ en línia recta, coordinen la cerca a partir de tres dades tècniques:\n\n1. La intensitat del senyal rebut és idèntica en ambdues estacions costaneres.\n2. L'autonomia del vaixell de rescat amb base a Tarifa li permet cobrir un radi màxim de cerca de $15\text{ km}$ des d'aquesta estació.\n3. Per evitar els esculls i l'intens canal de navegació costanera, es descarta qualsevol posició la distància de la qual a la línia recta que uneix Tarifa i Algesires sigui inferior o igual a $6\text{ km}$.\n\na) Modela matemàticament el problema traduint cadascuna de les tres condicions al llenguatge de llocs geomètrics (mediatriu, circumferència/cercle o bandes paral·leles de distància a una recta).\nb) Dedueix amb rigor la forma geomètrica de la zona on es pot trobar l'embarcació: determina si es tracta d'una regió bidimensional o d'un conjunt de segments, i calcula la distància mínima i màxima a la línia recta $TA$ dels punts que formen aquesta zona.\nc) Si una boia sonar confirma que la distància exacta des de l'embarcació fins a Tarifa és de $12,5\text{ km}$, calcula quantes ubicacions possibles queden per a l'embarcació i a quina distància exacta de la línia recta $TA$ es troba cadascuna d'elles.