Exercicis: Angles, longituds i àrees

Un dissenyador està creant un mosaic per al terra d'una plaça utilitzant rajoles amb forma d'hexàgon regular. Calcula quant mesura la suma de tots els angles interiors de l'hexàgon i quin és el valor de cadascun dels seus angles interns.

L'ajuntament vol tancar un parc rectangular que mesura $40$ metres de llarg i $30$ metres d'ample. A més, volen construir un camí en línia recta que creui el parc d'una cantonada a l'oposada (la diagonal). Utilitza el teorema de Pitàgores per calcular la longitud d'aquest camí.

Una empresa de senyalització està fabricant una placa de "Atenció" amb forma de rombe. Si les diagonals del rombe mesuren $16$ cm i $12$ cm respectivament, calcula l'àrea de la placa de metall necessària per fabricar-la.

En una pizzeria, una pizza familiar té un diàmetre de $40$ cm. Si tallem una ració que forma un sector circular amb un angle central de $60^\circ$, calcula l'àrea d'aquest tall de pizza. (Utilitza $\pi \approx 3,14$).

Observa la circumferència següent de centre $O$. Si l'angle central $\angle AOB$ mesura $80^\circ$, calcula el valor de l'angle inscrit $\angle ACB$ que abasta el mateix arc.

Un centre esportiu té una piscina amb una forma peculiar: un rectangle de $20$ m per $10$ m, i en un dels seus costats curts s'hi ha afegit una zona semicircular per a infants. Calcula el perímetre total de la piscina. (Utilitza $\pi \approx 3,14$).

Calcula l'àrea d'un pentàgon regular si sabem que el seu costat mesura $10$ cm i la seva apotema mesura aproximadament $6,88$ cm.

Per mesurar l'alçària a la qual es troba un fanal trencat en un polígon industrial de Getafe, en Marcos recolza una escala de mà de $5\text{ m}$ de longitud a la part superior del pal, de manera que el peu de l'escala queda a $3\text{ m}$ de la base del pal a terra horitzontal. Per calcular l'alçària $h$ del fanal, en Marcos escriu a la seva llibreta:

$$h^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34 \implies h = \sqrt{34} \approx 5,83\text{ m}$$

1. a) Explica, sense fer operacions addicionals, per què el resultat numèric obtingut per en Marcos és físicament impossible en aquest context.
2. b) Identifica l'error conceptual que ha comès en Marcos en aplicar el teorema de Pitàgores.
3. c) Corregeix el procediment i calcula l'alçària real del fanal.

A les obres de remodelació d'una plaça de vianants a Toledo es col·locaran lloses de pedra amb forma de polígon regular. L'arquitecte municipal ha especificat als plànols que cadascun dels angles interiors d'aquestes lloses ha de mesurar exactament $135^\circ$.

1. a) Planteja una equació a partir de la fórmula que relaciona el nombre de costats $n$ d'un polígon regular amb l'amplitud dels seus angles interiors i resol-la per esbrinar de quin polígon regular es tracta.
2. b) Els operaris volen col·locar aquestes lloses a terra unint-les únicament per les seves vores. És possible enrajolar la plaça utilitzant exclusivament aquest tipus de lloses sense deixar cap buit ni encavalcar-se? Justifica la teva resposta analitzant quants graus han de sumar els angles que coincideixen en un mateix vèrtex.

Un operari de manteniment vol instal·lar una càmera de seguretat a la cantonada d'un magatzem rectangular. Per fer-ho, recolza una escala de $5$ metres de longitud de manera que el peu d'aquesta dista exactament $1,4$ metres de la paret. Ara bé, s'adona que per tenir l'angle de visió correcte, necessita que la càmera estigui $60$ cm més alta. Quina longitud mínima hauria de tenir la nova escala si manté el peu en el mateix punt?

Una empresa de disseny està creant un nou logotip basat en un hexàgon regular de $6$ cm de costat. Dins de l'hexàgon, han traçat les diagonals que connecten vèrtexs alterns, formant una "estrella de David" o hexagrama. Calcula el valor dels angles interns dels triangles que formen l'estrella i determina l'àrea de la part ombrejada (l'estrella central) sabent que l'apotema de l'hexàgon original és aproximadament $5,2$ cm.

Un arquitecte ha dissenyat una finestra per a un centre cultural amb forma de trapezi isósceles. La base major mesura $2,8$ metres, la base menor mesura $1,6$ metres i els costats no paral·lels mesuren $1,2$ metres cadascun. Per al pressupost, necessita calcular l'àrea total del vidre i la suma dels angles interiors de la finestra per encarregar el marc metàl·lic. Quina és l'àrea de la finestra?

Estem dissenyant un parc infantil amb una zona de jocs circular. En el plànol, hem dibuixat un triangle inscrit a la circumferència de la zona de jocs de manera que un dels costats del triangle coincideix exactament amb el diàmetre de la circumferència, que mesura $10$ metres. Si un altre dels costats mesura $6$ metres:

1. a) Justifica de quin tipus és el triangle atenent els seus angles.

1. b) Calcula l'àrea de la regió de la zona de jocs que queda fora del triangle (la part ombrejada de la figura).

En una plaça de la teva ciutat hi ha una rajola gegant amb forma de corona circular. El radi del cercle exterior és de $4$ metres. Es sap que l'àrea de la part transitable (la corona en si) és de $7\pi$ $m^2$. Calcula el radi del cercle interior i determina la longitud de la tanca circular que caldria posar per envoltar únicament el forat interior.

Un màstil de senyals de $8$ metres d'altura projecta una ombra de $6$ metres sobre el terra a les 11:00 del matí. En aquest mateix instant, l'ombra d'una torre de refrigeració propera mesura $45$ metres.

1. Utilitza la semblança de triangles per calcular l'altura de la torre.

2. Si el cable de seguretat que va des de la punta del màstil de senyals fins a l'extrem de la seva ombra estigués tens, quina longitud tindria?

Calcula l'àrea d'un segment circular de $90^\circ$ d'amplitud que pertany a una circumferència de radi $12$ cm.

Una parcel·la té forma de romboide amb una base de $15$ metres i una altura de $8$ metres. En un dels cantons, el propietari hi ha instal·lat un aspersor que rega en un angle de $60^\circ$ amb un abast de $6$ metres.

1. Calcula l'àrea total de la parcel·la.

2. Calcula l'àrea de la parcel·la que queda sense regar.

En el disseny d'una nova rotonda a Logroño es projecta una zona enjardinada central amb forma d'hexàgon regular de $10\text{ m}$ de costat, la qual queda inscrita dins d'una vorada circular exterior els vèrtexs de la qual coincideixen amb els de l'hexàgon.

1. a) Abans de fer càlculs detallats, estima mentalment quin percentatge de l'àrea total del cercle ocuparà aproximadament la zona enjardinada hexagonal (al voltant del $50\,\%$, del $80\,\%$ o superior al $95\,\%$?). Justifica la teva intuïció comparant visualment ambdues figures geomètriques.
2. b) Calcula el valor de l'àrea del cercle circumscrit i l'àrea de l'hexàgon regular (determina primer la seva apotema aplicant el teorema de Pitàgores en un dels triangles equilàters que el formen). Pren $\pi \approx 3,14$.
3. c) Obtén el percentatge real de superfície que ocupa l'hexàgon respecte al cercle i compara'l amb la teva estimació inicial per valorar si la teva predicció ha estat raonable.

Una torre de vigilància forestal del servei d'emergències està situada al capdamunt d'un turó a la comarca de la Serranía de Cuenca. La torre disposa d'un abast visual directe de $12\text{ km}$ a la rodona en totes les direccions ($360^\circ$). Tanmateix, una formació rocosa situada cap al nord-oest bloqueja completament la visió en un sector angular de $60^\circ$. El pla de prevenció classifica la zona que sí que és visible des de la torre en dues categories:

• Zona d'intervenció ràpida: a una distància menor o igual a $4\text{ km}$ de la torre.

• Zona d'alerta comarcal: a una distància superior a $4\text{ km}$ i fins a l'abast màxim de $12\text{ km}$.

1. a) Modela la situació calculant la superfície total de bosc (en $\text{km}^2$) que els vigilants poden supervisar efectivament des de la torre (pren $\pi \approx 3,14$).
2. b) Calcula l'àrea corresponent a la «zona d'alerta comarcal» visible.
3. c) Si els serveis d'emergències detecten una columna de fum a la zona visible, és més probable que el focus es trobi a la zona d'intervenció ràpida o a la d'alerta comarcal si assumim que el risc es reparteix de manera homogènia pel terreny? Justifica la teva resposta comparant quantitativament ambdues àrees.

Un arquitecte està dissenyant un finestral per a un museu amb una forma geomètrica particular. El disseny consisteix en un triangle isósceles els costats iguals del qual mesuren $10\text{ m}$ i la base del qual mesura $12\text{ m}$. A l'interior, vol col·locar un panell solar rectangular la base del qual estigui recolzada sobre la base del triangle i els seus dos vèrtexs superiors toquin els costats iguals del triangle. Si l'arquitecte vol que l'altura del rectangle sigui exactament la meitat de la seva base, calcula les dimensions del rectangle i l'àrea de la regió del triangle que queda sense cobrir pel panell solar.

En un parc tecnològic han construït una plaça amb forma d'hexàgon regular de $20\text{ m}$ de costat. Al centre de la plaça s'hi ha instal·lat una font circular el voral de la qual és tangent a tots els costats de l'hexàgon. L'ajuntament vol pavimentar amb rajoles especials només la superfície compresa entre la font i el perímetre de l'hexàgon. Calcula l'àrea que s'ha de pavimentar utilitzant $\pi \approx 3,1416$ i arrodonint el resultat a dos decimals.

Una empresa de disseny gràfic està creant un nou logotip basat en les propietats de la circumferència. Han dibuixat una circumferència de radi $R = 8\text{ cm}$. Dins d'aquesta, han traçat dues cordes paral·leles situades a banda i banda del centre, una de $10\text{ cm}$ i una altra de $14\text{ cm}$ de longitud. L'àrea del logotip és el trapezi isósceles que es forma en unir els extrems d'aquestes dues cordes. Calcula l'àrea d'aquest trapezi i la distància exacta que separa les dues cordes.

Un dron de vigilància té un angle de visió de $90^\circ$. Si el dron es troba a una alçària de $90\text{ m}$ sobre el punt central d'una parcel·la rectangular, la distància des del dron fins a qualsevol vèrtex de la parcel·la és de $150\text{ m}$ i des de la seva posició els vèrtexs d'un dels costats majors de la parcel·la es veuen sota aquest angle de $90^\circ$, calcula la longitud de la parcel·la. A més, determina l'àrea total de la parcel·la rectangular de terreny.

Es vol construir una claraboia al sostre d'una sala d'estar amb la forma d'un triangle escalè. Els costats del triangle mesuren $13\text{ dm}$, $14\text{ dm}$ i $15\text{ dm}$. El vidre utilitzat té un cost de $45\text{ €}$ per cada decímetre quadrat. Calcula l'altura del triangle sobre el costat de $14\text{ dm}$ (utilitzant un sistema d'equacions derivat del teorema de Pitàgores) i el cost total del vidre necessari per a la claraboia.

La "Rosassa de la Catedral" d'una ciutat està formada per una circumferència exterior de diàmetre $6\text{ m}$. Al seu interior, es tracen quatre circumferències iguals els diàmetres de les quals coincideixen amb quatre radis perpendiculars de la circumferència exterior, formant una flor de quatre pètals. Calcula l'àrea dels quatre pètals delimitats per la intersecció d'aquestes quatre circumferències.

Un senyal de trànsit té forma d'octàgon regular. Sabem que la distància màxima entre dos vèrtexs oposats (el diàmetre de la circumferència circumscrita) és de $80\text{ cm}$. Un operari ha de pintar el senyal de color vermell, excepte un quadrat central els vèrtexs del qual coincideixen amb els punts mitjans de quatre dels costats de l'octàgon (formant una creu interior). Calcula l'àrea que s'ha de pintar de vermell i l'angle interior d'aquest octàgon.

Per fabricar una tremuja de descàrrega agrícola, un taller ha de tallar una xapa d'acer amb forma de trapezi isòsceles les bases del qual mesuren $30\text{ cm}$ i $14\text{ cm}$, i els costats oblics del qual mesuren $17\text{ cm}$ cadascun. Dos alumnes de 3r d'ESO proposen maneres diferents de trobar l'àrea:

• Estratègia de la Lucía: Traçar les dues altures des dels extrems de la base menor per descompondre el trapezi en un rectangle central i dos triangles rectangles iguals als extrems; calcular l'altura amb el teorema de Pitàgores i sumar les tres àrees parcials.

• Estratègia d'en Mateo: Prolongar els costats oblics cap amunt fins que es tallin en un punt exterior, formant un triangle isòsceles gran que engloba el trapezi i un triangle isòsceles petit superior; calcular les altures de tots dos triangles mitjançant semblança, calcular les seves àrees i restar-les.

1. a) Desenvolupa completament l'estratègia de la Lucía i troba l'àrea del trapezi.
2. b) Analitza la proposta d'en Mateo: és geomètricament vàlida? Quins coneixements addicionals exigeix que fan que sigui un camí innecessàriament complex enfront del de la Lucía?
3. c) Demostra com el raonament de descomposició de la Lucía permet justificar de manera general la fórmula clàssica de l'àrea de qualsevol trapezi en què els peus d'aquestes altures caiguin sobre la base major, $A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$, agrupant algebraikament el rectangle i els dos triangles.

Un taller de restauració de Granada ha de rehabilitar una rosassa circular de vidre de $2\text{ m}$ de diàmetre ($1\text{ m}$ de radi). En el disseny original, una motllura metàl·lica recta uneix dos punts $A$ i $B$ de la circumferència de manera que l'angle central que abraça aquest arc mesura exactament $120^\circ$. Per assegurar l'estructura, s'ha de col·locar una vareta des d'un punt qualsevol $P$, situat sobre l'arc major $AB$, cap als extrems $A$ i $B$, formant el triangle inscrit $APB$.

1. a) Utilitza la propietat que relaciona l'angle inscrit amb l'angle central que abraça el mateix arc per demostrar quin valor exacte té l'angle $\widehat{APB}$. Varia aquest angle si movem el punt $P$ al llarg d'aquest arc major? Justifica el teu raonament.
2. b) Traça mentalment els radis $OA$ i $OB$ que van des del centre $O$ als extrems de la corda. Descompon el triangle isòsceles $OAB$ en dos triangles rectangles traçant l'altura des del centre fins a la corda i aplica el teorema de Pitàgores (aprofitant que els angles aguts mesuren $30^\circ$ i $60^\circ$) per calcular la distància del centre $O$ a la corda i la longitud exacta de la corda $AB$.
3. c) Calcula l'àrea del segment circular menor delimitat per la corda $AB$ i l'arc menor $AB$ (pren $\pi \approx 3,14$). Explica detalladament la resta d'àrees que permet obtenir aquesta superfície.

Repte del tema. Com optimitzaries l'espai d'una plaça del teu municipi? Imagina que l'ajuntament t'encarrega dissenyar la remodelació geomètrica d'un parc proper.

1. Escala i semblança: Captura el parc a Google Maps o a la Seu del Cadastre. Amb l'eina de mesurament, obtén una distància real de referència i trasllada el plànol a GeoGebra aplicant una raó de semblança $k$ adequada.

2. Llocs geomètrics: Ubica tres accessos principals no alineats i troba el punt equidistant a aquests (circumcentre mitjançant mediatrius) per instal·lar un fanal central; comprova que queda dins del parc i, si no, justifica una altra ubicació. A més, traça la bisectriu de l'angle format per dos passejos per ubicar una filera d'arbres.

3. Angles, longituds i àrees: Mesura els angles del polígon del parc. Descompon el recinte en figures planes elementals (triangles, trapezis o sectors circulars) i calcula el seu perímetre i la seva àrea real total en $\text{m}^2$.

Producte final: Un informe breu (una pàgina) amb la captura de GeoGebra, el desenvolupament dels càlculs i el pressupost estimat si sembrar gespa costa $7,50$ €/m$^2$.

Es valorarà:

• Precisió en l'ús d'escales i proporcionalitat geomètrica amb dades reals.

• Correcta construcció i justificació dels llocs geomètrics (mediatrius i bisectriu).

• Exactitud en el càlcul d'angles, longituds i àrees compostes.