Exercicis: Funció de proporcionalitat inversa

Considera la funció $y = \frac{12}{x}$.

1. a) Quant val la constant de proporcionalitat inversa $k$?

1. b) Copia i completa al teu quadern la taula per a $x = 1$, $2$, $3$, $4$, $6$ i $12$.

1. c) Què passa amb els valors de $y$ a mesura que $x$ es fa més gran?

Un grup de ciclistes ha de recórrer $240\ \text{km}$ entre dues etapes. La velocitat mitjana $v$ a la qual rodin determinarà el temps $t$ que triguin.

1. a) Escriu la funció que dona el temps $t$ en funció de la velocitat $v$.

1. b) Completa al teu quadern la taula per a $v = 10$, $15$, $20$, $30$ i $40\ \text{km/h}$.

1. c) És una funció de proporcionalitat inversa? Quant val $k$?

La gràfica de la figura representa una funció de proporcionalitat inversa, com es mostra a continuació.

1. a) Quant val $y$ quan $x = 2$? I quan $x = 6$?

1. b) Fent servir els valors anteriors, calcula la constant $k$ i escriu l'equació de la funció.

1. c) Quant val $y$ quan $x = 12$?

De les relacions següents, indica quines són de proporcionalitat inversa i, en aquest cas, escriu la seva equació en la forma $y = \frac{k}{x}$:

1. a) $y = \frac{3}{x}$

1. b) $y = \frac{x}{3}$

1. c) $x \cdot y = 10$

1. d) $y = -5x$

1. e) $y = \frac{1}{2x}$

Uns quants pintors han de pintar una tanca. Un sol pintor trigaria $12$ dies treballant al mateix ritme.

1. a) Escriu la funció que relaciona el nombre de pintors $x$ amb els dies $y$ que triguen.

1. b) Quant triguen $4$ pintors? I $6$?

1. c) Té sentit donar valors decimals a $x$ en aquest context? I valors negatius? Explica quins valors pot prendre $x$.

Sense representar-les, indica en quins quadrants es troben les branques de cadascuna d'aquestes hipèrboles i raona per què:

1. a) $y = \frac{7}{x}$

1. b) $y = \frac{-4}{x}$

1. c) $y = \frac{1}{5x}$

De què depenen els quadrants que ocupa una hipèrbola $y = \frac{k}{x}$?

En un experiment de física, un èmbol comprimeix un gas a temperatura constant i es comprova que la pressió $p$ i el volum $V$ verifiquen $p \cdot V = 6$, amb el volum en litres i la pressió en atmosferes, com es mostra a la figura.

1. a) Escriu la funció que dona la pressió en funció del volum.

1. b) Quina pressió exerceix el gas quan ocupa $1,5\ \text{L}$?

1. c) Quin volum ocupa quan la pressió és de $0,5\ \text{atm}$?

1. d) Què li passa a la pressió si el volum es fa molt petit? Podria arribar a ser $V = 0$?

Una funció de proporcionalitat inversa passa pel punt $P(4, 6)$.

1. a) Calcula la seva constant $k$ i escriu la seva equació.

1. b) Completa una taula de valors amb $x = 1$, $2$, $3$, $6$, $8$ i $12$.

1. c) Representa la hipèrbola al teu quadern per a valors positius de $x$.

1. d) Passa també pel punt $(-3, -8)$? Comprova-ho amb l'equació.

Considera la funció $y = \frac{8}{x}$.

1. a) Talla la seva gràfica l'eix $X$? I l'eix $Y$? Justifica les teves respostes fent servir l'equació.

1. b) Quins valors pren $y$ quan $x$ s'acosta a $0$ per la dreta ($x = 1$, $0,1$, $0,01$…)? I quan $x$ es fa molt gran?

1. c) Explica amb les teves paraules què significa que els eixos de coordenades siguin asímptotes de la hipèrbola.

En un concurs de pastissos d'una comarca, el premi de $600\ \text{€}$ es reparteix a parts iguals entre tots els guanyadors, com es mostra a la figura.

1. a) Escriu la funció que dona el premi per persona $y$ en funció del nombre de guanyadors $x$.

1. b) Quant rep cadascun si hi ha $3$ guanyadors? I si n'hi ha $8$?

1. c) La gràfica d'aquesta funció no és una hipèrbola completa, sinó només alguns punts d'aquesta. Explica per què.

Una bateria externa de $20.000\ \text{mAh}$ es descarrega segons el consum del dispositiu que alimenta. La durada $t$ en hores depèn del consum mitjà $c$ en $\text{mA}$: com més gran és el consum, menys dura.

1. a) Sabent que $t = \frac{20.000}{c}$, calcula quantes hores dura amb un consum de $800\ \text{mA}$.

1. b) Quin és el consum si la bateria ha durat $40$ hores?

1. c) Si el consum es duplica, què li passa a la durada? Justifica-ho amb l'equació.

A la figura apareixen les hipèrboles $y = \frac{3}{x}$ i $y = \frac{12}{x}$ per a valors positius de $x$, com es mostra a continuació.

1. a) Associa cada corba amb la seva equació.

1. b) Quin efecte té el valor de $k$ en la posició de la hipèrbola respecte a l'origen?

1. c) On dibuixaries $y = \frac{6}{x}$? Justifica-ho.

Indica si cada afirmació és veritable o falsa i justifica la teva resposta amb un exemple o un contraexemple:

1. a) «Tota funció decreixent és de proporcionalitat inversa.»

1. b) «En la funció $y = \frac{k}{x}$, si el valor de $x$ es duplica, el valor de $y$ es redueix a la meitat.»

1. c) «La hipèrbola $y = \frac{10}{x}$ talla la recta $y = 10$ en un únic punt.»

1. d) «Les funcions $y = \frac{2}{x}$ i $y = \frac{-2}{x}$ són simètriques respecte a l'eix $X$.»

Tasca de decisió. L'AFA d'un institut lloga un autobús de $54$ places per a una excursió al museu de ciències. L'autobús costa $378\ \text{€}$ i el seu preu es reparteix a parts iguals entre els alumnes que s'hi apuntin, com es mostra a la figura.

1. a) Escriu la funció que dona el preu per alumne $y$ en funció del nombre d'assistents $x$. Quins valors pot prendre $x$?

1. b) Quants alumnes s'han d'apuntar perquè el preu per persona no superi els $14\ \text{€}$?

1. c) El primer dia s'apunten $21$ alumnes. Quant pagaria cadascun? Si després s'hi apunten $6$ més, quant es retornaria a cadascun?

1. d) Per què la gràfica d'aquesta funció s'acosta cada vegada més a l'eix $X$ sense tocar-lo? Què significa això en aquest context?

Per aixecar una galleda d'aigua amb una palanca s'aplica la llei de la palanca: $F \cdot d = 600$, on $F$ és la força en newtons i $d$ la distància del punt de suport a l'extrem on s'empeny, en centímetres.

1. a) Escriu la funció que dona la força en funció de la distància.

1. b) Quina força cal aplicar empenyent a $50\ \text{cm}$? I a $150\ \text{cm}$?

1. c) Un nen pot aplicar com a màxim $80\ \text{N}$. A quina distància mínima del punt de suport ha d'empenyer?

1. d) Interpreta l'asímptota vertical de la gràfica: què passaria en empenyer molt a prop del punt de suport?

Investiga si la recta $y = x + 1$ talla la hipèrbola $y = \frac{6}{x}$:

1. a) Planteja l'equació $\frac{6}{x} = x + 1$ i transforma-la en una equació de segon grau.

1. b) Resol-la i escriu les coordenades dels punts de tall.

1. c) Comprova gràficament el resultat representant totes dues funcions al teu quadern.

1. d) Tallaria la recta $y = x + 8$ la mateixa hipèrbola? Justifica-ho sense resoldre l'equació.