Exercicis: La funció quadràtica

Per a cadascuna d'aquestes funcions quadràtiques, indica els valors dels coeficients $a$, $b$ i $c$, i raona, sense representar-la, si la paràbola té les branques cap amunt o cap avall:

1. a) $y = 2x^2 - 3x + 5$

1. b) $y = -x^2 + 4x$

1. c) $y = 6 - x^2$

1. d) $y = \frac{1}{2}x^2$

Considera la funció $y = x^2 - 2$.

1. a) Copia i completa a la teva llibreta la taula de valors per a $x = -3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ i $3$.

1. b) Representa la paràbola en uns eixos cartesians.

1. c) Quin és el seu vèrtex? I el seu eix de simetria?

La figura mostra la gràfica d'una paràbola. Cada quadrat de la quadrícula mesura 1 unitat a cada eix.

1. a) Quines són les coordenades del vèrtex? És un màxim o un mínim?

1. b) En quins punts talla la paràbola l'eix $X$?

1. c) Quin és el seu eix de simetria?

A la figura apareixen les paràboles $y = x^2$, $y = 2x^2$ i $y = \frac{1}{2}x^2$, com es mostra a continuació.

1. a) Associa cada paràbola amb la seva equació.

1. b) Quin efecte té en la forma de la paràbola el valor del coeficient $a$ a $y = ax^2$?

Sense representar-les, calcula el punt de tall amb l'eix $Y$ de cadascuna d'aquestes paràboles:

1. a) $y = x^2 - 6x + 8$

1. b) $y = -3x^2 + 2x - 7$

1. c) $y = 4x^2$

Quin coeficient de l'equació determina sempre aquest punt de tall?

En la caiguda lliure, la distància recorreguda per un objecte que es deixa caure és, aproximadament, $d = 5t^2$, on $t$ és el temps en segons i $d$ la distància en metres.

1. a) Completa a la teva llibreta una taula de valors per a $t = 0$, $1$, $2$, $3$ i $4$.

1. b) Quina distància ha caigut als $3\ \text{s}$?

1. c) Si un cascot triga $2,5\ \text{s}$ a arribar a terra, des de quina altura va caure?

Indica, sense representar-les, si el vèrtex de cada paràbola és un màxim o un mínim de la funció:

1. a) $y = -5x^2 + 3x - 1$

1. b) $y = 0,2x^2 - 4x + 6$

1. c) $y = 7x - x^2$

Explica de quin coeficient depèn i per què.

La gràfica mostra l'altura d'una pilota llançada cap amunt en funció del temps, com es mostra a la figura.

1. a) Quina és l'altura màxima que assoleix la pilota i en quin instant?

1. b) Des de quina altura es va llançar?

1. c) En quin instant torna la pilota a l'altura de llançament?

Considera la paràbola $y = x^2 - 4x + 3$.

1. a) Calcula l'abscissa del vèrtex amb la fórmula $x = \frac{-b}{2a}$ i troba després la seva ordenada.

1. b) Fes una taula de valors prenent valors de $x$ al voltant del vèrtex.

1. c) Representa-la i indica el seu eix de simetria.

Troba els punts de tall de la paràbola $y = x^2 - 5x + 6$ amb els eixos de coordenades:

1. a) Amb l'eix $Y$.

1. b) Amb l'eix $X$, resolent l'equació $x^2 - 5x + 6 = 0$.

1. c) Calcula el vèrtex i comprova que la seva abscissa està just al mig dels dos talls amb l'eix $X$.

Una pilota de voleibol es colpeja des de terra i la seva altura, en metres, ve donada per $h = -5t^2 + 20t$, on $t$ és el temps en segons, com es mostra a la figura.

1. a) En quin instant assoleix l'altura màxima? Quant val aquesta altura?

1. b) Quant de temps triga a tornar a terra?

1. c) Quina altura té als $3\ \text{s}$? Està pujant o baixant?

La gràfica de la figura correspon a una d'aquestes tres funcions, com es mostra a continuació:

• $y = x^2 - 4x + 5$

• $y = -x^2 + 4x - 1$

• $y = x^2 + 4x + 5$

1. a) Quina de les tres és? Raona la resposta fent servir el sentit de les branques, el punt de tall amb l'eix $Y$ i l'eix de simetria.

1. b) Confirma la teva elecció calculant el vèrtex de la funció triada i comparant-lo amb el de la gràfica.

Un hortolà vol tancar un hort rectangular adossat a la paret de casa seva, de manera que només necessita tanca per a tres costats. Disposa de $40\ \text{m}$ de tanca.

1. a) Si el costat perpendicular a la paret mesura $x$ metres, expressa la longitud del costat paral·lel en funció de $x$.

1. b) Escriu la funció que dona l'àrea del hort en funció de $x$. De quin tipus és?

1. c) Calcula el vèrtex de la paràbola i dedueix les dimensions que fan màxima l'àrea. Quant val aquesta àrea màxima?

A la figura apareixen tres paràboles, $a$, $b$ i $c$, obtingudes traslladant la paràbola $y = x^2$.

1. a) Associa cadascuna amb la seva equació: $y = x^2 + 3$, $y = (x - 2)^2$, $y = x^2$.

1. b) Quines són les coordenades del vèrtex de cadascuna?

1. c) Quines coordenades tindria el vèrtex de $y = (x + 1)^2 - 5$? Justifica-ho sense representar-la.

Una paràbola té el seu vèrtex al punt $V(1, -4)$ i passa pel punt $P(3, 0)$.

1. a) Quin és el seu eix de simetria?

1. b) Fent servir la simetria de la paràbola, troba un altre punt per on també passi.

1. c) En quins punts talla l'eix $X$?

En un tir lliure de bàsquet, la pilota segueix una trajectòria donada per $h = -0,08x^2 + 0,64x + 1,9$, on $x$ és la distància horitzontal al jugador en metres i $h$ l'altura de la pilota en metres. La cistella està a $4,6\ \text{m}$ del jugador i el cèrcol a $3,05\ \text{m}$ d'altura.

1. a) Quina altura té la pilota quan arriba a la vertical de la cistella? Encistella el tir?

1. b) Quina és l'altura màxima que assoleix la pilota durant el tir?

La taula correspon a una funció quadràtica:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$3$	$6$	$13$	$24$	$39$	$58$

1. a) Calcula les diferències entre valors consecutius de $y$ (primeres diferències).

1. b) Calcula les diferències d'aquestes diferències (segones diferències). Què observes?

1. c) Quin és el vèrtex de la paràbola? Cap on s'obren les seves branques?

Indica si cada afirmació és vertadera o falsa i justifica la teva resposta amb un exemple o un contraexemple:

1. a) «Tota paràbola talla l'eix $X$ en dos punts.»

1. b) «La paràbola $y = x^2 + c$ mai no té el vèrtex per sota del punt $(0, c)$.»

1. c) «Si dues paràboles tenen el mateix vèrtex, aleshores són la mateixa paràbola.»

1. d) «La gràfica de $y = -x^2$ s'obté reflectint $y = x^2$ respecte de l'eix $X$.»

Una associació de veïns vol tancar un jardí rectangular fent servir els $120\ \text{m}$ de malla metàl·lica de què disposa, com es mostra a la figura.

1. a) Si un dels costats mesura $x$ metres, expressa l'altre costat en funció de $x$.

1. b) Escriu la funció que dona l'àrea del jardí en funció de $x$.

1. c) Troba les dimensions que fan màxima l'àrea i calcula aquesta àrea.

1. d) Comprova que el rectangle d'àrea màxima és un quadrat. Creus que passarà sempre quan es tanca amb un perímetre fix? Investiga-ho amb un perímetre de $80\ \text{m}$.

Un coet de fira assoleix una altura, en metres, donada per $h = -5t^2 + 25t$ en els $t$ segons posteriors al llançament.

1. a) Planteja i resol l'equació que permet saber en quins instants el coet està a $30\ \text{m}$ d'altura.

1. b) Explica per què hi ha dues solucions i què significa cadascuna.

1. c) Quina altura màxima assoleix el coet?

Troba l'equació de la paràbola $y = ax^2 + bx + c$ que passa pels punts $A(0, 3)$, $B(1, 0)$ i $C(3, 0)$:

1. a) Substitueix les coordenades de $A$ per obtenir el valor de $c$.

1. b) Substitueix les de $B$ i $C$ i planteja un sistema de dues equacions amb incògnites $a$ i $b$.

1. c) Resol el sistema i escriu l'equació de la paràbola. Quin és el seu vèrtex?

Considera la família de paràboles $y = x^2 - 6x + k$, on $k$ és un nombre qualsevol.

1. a) Calcula el vèrtex de la paràbola en funció de $k$. Què tenen en comú totes les paràboles de la família?

1. b) Per a quins valors de $k$ la paràbola talla l'eix $X$ en dos punts? I en un de sol? I en cap?

1. c) Representa a la teva llibreta les paràboles per a $k = 5$, $k = 9$ i $k = 13$ i comprova això anterior.

Un alumne calcula el vèrtex de la paràbola $y = 2x^2 - 8x + 1$ així:

«$x = \frac{b}{2a} = \frac{-8}{2 \cdot 2} = -2$. Per a $x = -2$, $y = 2 \cdot (-2)^2 - 8 \cdot (-2) + 1 = 25$. El vèrtex és $V(-2, 25)$ i és un mínim perquè $a = 2 > 0$.»

1. a) Troba els errors que ha comès en la fórmula i en els càlculs.

1. b) Troba el vèrtex correcte i raona si és un màxim o un mínim.

1. c) Comprova que el valor de $y$ al vèrtex és coherent amb l'orientació de les branques.

Tasca de decisió. El teatre de l'institut ven les entrades de l'obra de final de curs. Per experiència d'altres anys, si l'entrada costa $6\ \text{€}$ hi van $300$ espectadors, i per cada $0,50\ \text{€}$ que apuja el preu hi van $20$ espectadors menys, com es mostra a la figura.

1. a) Si el preu puja $x$ vegades $0,50\ \text{€}$, expressa el preu de l'entrada i el nombre d'espectadors en funció de $x$.

1. b) Escriu la funció que dona els ingressos en funció de $x$. De quin tipus és?

1. c) Quin preu d'entrada maximitza els ingressos? Quant es recaptaria?

1. d) L'associació de pares proposa abaixar l'entrada a $5\ \text{€}$ per omplir el pati. Compara els ingressos amb els del cas òptim i decideix quina de les dues opcions recomanaries, argumentant amb els càlculs.

Investiga si la recta $y = 2x + 1$ talla la paràbola $y = x^2 - 3x + 5$:

1. a) Planteja el sistema format per totes dues equacions i redueix-lo a una única equació de segon grau.

1. b) Resol-la i interpreta el resultat: es tallen? En quants punts?

1. c) Repeteix l'estudi amb la recta $y = 2x - 4$. Quina diferència hi ha?

Una saltadora s'impulsa des d'un trampolí i la seva altura sobre l'aigua, en metres, ve donada per $h = -5t^2 + 6t + 1,8$, amb $t$ en segons.

1. a) Quina altura té el trampolí? Justifica d'on surt aquesta dada en la fórmula.

1. b) Quina és l'altura màxima que assoleix la saltadora?

1. c) Planteja l'equació per saber quant de temps triga a arribar a l'aigua i resol-la. Per què descartes una de les solucions?

En una paràbola, els punts $A(-1, 5)$ i $B(5, 5)$ estan a la mateixa altura.

1. a) Sense conèixer l'equació, calcula l'abscissa del vèrtex fent servir la simetria.

1. b) Si a més la paràbola passa per l'origen, raona quin és l'altre punt de tall amb l'eix $X$.

1. c) Troba l'equació de la paràbola sabent que el seu vèrtex té ordenada $-4$.

Un túnel de muntanya té secció parabòlica: la seva amplada a la base és de $12\ \text{m}$ i la seva altura màxima al centre és de $6\ \text{m}$, com es mostra a la figura.

1. a) Col·locant l'origen de coordenades al centre de la calçada, justifica que la volta del túnel té per equació $y = ax^2 + 6$ i troba el valor de $a$.

1. b) Un camió de $4\ \text{m}$ d'amplada i $3,8\ \text{m}$ d'altura circula centrat. Passa pel túnel? Calcula l'altura de la volta als laterals del camió.

1. c) Si el camió es desplaça $1\ \text{m}$ cap a un costat, continua passant? Justifica-ho amb càlculs.