Exercicis: Característiques d'una funció

Perquè una relació sigui considerada una funció, a cada valor de la variable independent ($x$) li ha de correspondre, com a màxim, un únic valor de la variable dependent ($y$).

Observa la gràfica següent i raona si representa una funció o no utilitzant la "regla de la recta vertical".

El domini d'una funció és el conjunt de valors que pren la variable $x$, mentre que el recorregut (o imatge) és el conjunt de valors que pren la variable $y$.

Observa la gràfica de la funció següent (representada pel segment taronja, amb els seus dos extrems inclosos) i escriu-ne el domini i el recorregut utilitzant intervals.

1. a) Escriu el domini de la funció.

1. b) Escriu el recorregut de la funció.

Diem que una funció és contínua si podem dibuixar la seva gràfica sense aixecar el llapis del paper. Si presenta salts o interrupcions, s'anomena discontínua.

La gràfica següent mostra el preu de l'aparcament en un centre comercial segons les hores transcorregudes. Indica si la funció és contínua o discontínua i, en cas de ser discontínua, assenyala en quins valors de $x$ es produeixen els salts.

Una funció és creixent si en augmentar la $x$, augmenta la $y$. És decreixent si en augmentar la $x$, disminueix la $y$.

En Marcos està fent una ruta de senderisme. La gràfica següent representa l'altitud a la qual es troba en cada moment. Identifica els intervals de temps (eix $x$) en què en Marcos està pujant (funció creixent) i aquells en què està baixant (funció decreixent).

Els màxims són els punts més alts d'una zona de la gràfica, i els mínims són els punts més baixos.

En un videojoc, l'energia d'un personatge varia segons la gràfica mostrada. Indica les coordenades $(x, y)$ dels punts que representen un màxim relatiu i un mínim relatiu en aquesta aventura.

Una funció és periòdica si la seva gràfica es repeteix exactament igual cada cert interval, anomenat període.

El senyal d'un monitor cardíac es comporta de manera repetitiva. Observa la gràfica i determina quant val el període (la distància en l'eix $x$ necessària per completar un cicle complet).

Les funcions poden presentar simetria. Una funció és parell si és simètrica respecte de l'eix $y$ (com un mirall). És senar si és simètrica respecte de l'origen de coordenades $(0,0)$.

Determina quin tipus de simetria (parell, senar o cap) tenen les dues gràfiques següents:

La Marta fa servir un patinet elèctric per anar a l'institut. La gràfica següent mostra el percentatge de bateria restant en funció de la distància recorreguda en quilòmetres.

Analitza la gràfica i respon:

1. a) Quin és el domini i el recorregut de la funció?

1. b) És una funció creixent o decreixent? Què significa això en el context del problema?

1. c) En quin punt talla la gràfica l'eix $y$ (ordenada a l'origen) i què representa?

La gràfica següent mostra l'evolució del percentatge de bateria d'un telèfon intel·ligent al llarg d'un dia, des que l'usuari es desperta a les $08:00$ fins que el posa a carregar a la nit.

A partir de la gràfica, analitza les característiques següents:

1. Indica els intervals de temps en què la funció és decreixent i què significa en aquest context.

2. Existeix cap interval on la funció sigui constant? Si és així, indica'l i proposa una situació real que expliqui per què la bateria no disminueix en aquest temps.

3. Determina el valor màxim i el valor mínim de la bateria en l'interval observat.

Un canal de YouTube analitza el nombre de "M'agrada" que rep un vídeo durant les primeres $12$ hores després de publicar-lo. La funció ve representada per la gràfica següent:

Observant la gràfica, respon:

1. Identifica els intervals de creixement i decreixement.

2. Indica les coordenades aproximades dels màxims i mínims relatius.

3. Quin és el màxim absolut de la funció en aquest període? Explica la diferència entre aquest punt i un màxim relatiu.

Un sensor de pressió en una màquina industrial registra un cicle repetitiu cada pocs segons. La pressió $P$ (en bars) depèn del temps $t$ (en segons) segons la gràfica següent:

Basant-te en la informació visual:

1. Explica raonadament per què aquesta funció és periòdica.

2. Si els pics de pressió màxima ocorren a $t = 2$ s, $t = 10$ s i $t = 18$ s, quin és el valor del període $T$?

3. Quina pressió registrarà el sensor en l'instant $t = 82$ s?

En una empresa de missatgeria, el cost d'enviar un paquet depèn del seu pes. No obstant això, la tarifa canvia bruscament quan se superen certs trams de pes. Observa la gràfica de la funció de cost:

Respon a les qüestions següents sobre la continuïtat:

1. És contínua, aquesta funció? Justifica la teva resposta descrivint què passa en els punts $x = 2kg$ i $x = 5kg$ (representats dels salts en la gràfica).

2. Indica el domini i el recorregut d'aquesta funció segons el dibuix.

3. Si un paquet pesa exactament $2kg$, quin és el seu cost? Fixa't en els punts plens i buits per decidir-ho.

Un arquitecte dissenya un arc decoratiu per a l'entrada d'un museu amb una forma que segueix una funció simètrica. L'eix de simetria coincideix amb l'eix d'ordenades $Y$.

Analitza la simetria de la funció:

1. Explica la diferència entre una funció parell i una funció senar. De quin tipus és aquesta funció?

2. Si sabem que el punt $(-3, 0)$ pertany a la gràfica, quin altre punt podem assegurar que hi pertany per simetria?

3. Indica el punt de tall amb l'eix d'abscisses (eix $X$) i el punt de tall amb l'eix d'ordenades (eix $Y$) per a aquesta estructura.

S'està omplint un dipòsit d'aigua amb una bomba que aboca un cabal constant. Als $10$ minuts, es deté la bomba durant $5$ minuts per revisar una vàlvula, i després es reprèn l'ompliment més lentament.

1. Esboça una gràfica que representi l'altura de l'aigua en funció del temps.

2. Identifica si la funció resultant és contínua o discontínua.

3. Indica els intervals de temps en què la funció és creixent i l'interval en què és constant.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dada la funció $f(x) = x^2 - 4x + 3$, fes un estudi de les seves característiques principals:

1. Calcula els punts de tall amb l'eix $X$ (resolent l'equació $f(x) = 0$) i amb l'eix $Y$ (calculant $f(0)$).

2. Troba les coordenades del vèrtex sabent que l'abscissa es calcula amb la fórmula $x = \frac{-b}{2a}$. És un màxim o un mínim absolut?

3. Indica l'interval on la funció és decreixent.

La temperatura d'un forn industrial varia durant un procés de fosa. S'encén, puja fins a la temperatura de treball, es manté estable i després s'enfreda ràpidament quan s'obre la porta.

A partir de la gràfica anterior, respon:

1. Quin és el domini de la funció (temps total del procés)?

2. Quin és el màxim absolut de temperatura i en quin interval de temps es manté?

3. En quin moment s'obre la porta del forn? Raona la teva resposta basant-te en la monotonia de la funció.

Un sistema de gestió d'energia intel·ligent per a un habitatge bioclimàtic regula l'encesa de la calefacció segons la temperatura exterior. La funció $f(x)$ representa la despesa en euros per hora en funció de la temperatura $x$ en graus centígrads:

$$f(x) = \begin{cases} -0,5x + 8 & \text{si } x < 10 \\ 3 & \text{si } 10 \le x < 20 \\ 0,1x^2 - 4x + 7 & \text{si } x \ge 20 \end{cases}$$

Tens la seva gràfica en l'interval de temperatures $[-10, 30]$. Amb ella i amb l'expressió de $f$, analitza les següents característiques de la funció:

1. a) Determina el domini i el recorregut de la funció per a l'interval de temperatures $[-10, 30]$.

1. b) Estudia la continuïtat. Hi ha punts de discontinuïtat? Si és així, indica de quin tipus són i el seu significat en el context de l'estalvi energètic.

1. c) Troba els intervals de monotonia (creixement i decreixement).

Un dron de vigilància forestal enlaira per fer una inspecció. La seva altura $h$ en metres respecte al temps $t$ en minuts ve donada per la gràfica adjunta. La missió dura exactament 60 minuts.

1. a) Indica els intervals on la funció és constant i explica què està fent el dron en aquests moments.
2. b) Identifica tots els màxims i mínims relatius i absoluts.
3. c) Si el dron necessita una altura mínima de $10$ metres per detectar calor, en quins intervals de temps és efectiva la seva missió?
4. d) És una funció periòdica? Raona la teva resposta basant-te en la forma de la gràfica.

S'està dissenyant un sensor de llum per a un hivernacle automàtic. La intensitat lumínica $I$ (en lux) segueix un patró que es repeteix cada 24 hores. Sabem que a les 0:00 h (temps $t=0$) la intensitat és de $0$ lux, i assoleix el seu màxim de $1200$ lux a les 12:00 h.

1. a) Si la funció és simètrica respecte de la recta $t=12$ dins de cada cicle de 24 hores, quina intensitat hi haurà a les 18:00 h si a les 6:00 h és de $450$ lux?
2. b) Sabent que la funció és periòdica amb període $T=24$, calcula el valor de la intensitat lumínica per als temps $t=30$, $t=54$ i $t=108$ hores.
3. c) Podria ser aquesta una funció senar? Raona la resposta analitzant el recorregut de la intensitat (que no pot ser negatiu).

Considera un triangle la base del qual està fixa en el segment dels eixos cartesians que va des de $(0,0)$ fins a $(10,0)$. El tercer vèrtex del triangle es mou al llarg de la paràbola $y = -x^2 + 10x$.

1. a) Troba l'expressió analítica de la funció $A(x)$ que representa l'àrea del triangle en funció de l'abscissa $x$ del tercer vèrtex.
2. b) Quin és el domini de definició d'aquesta funció perquè l'àrea sigui un valor positiu?
3. c) Calcula les coordenades del vèrtex de la funció àrea i indica si representa un màxim o un mínim absolut. Quina altura té el triangle en aquest punt?

El nivell de soroll en decibels ($dB$) als voltants d'un aeroport es pot modelar mitjançant la funció $R(t) = \frac{80t}{t^2 + 4}$, on $t$ és el temps en minuts des que s'enlaira un avió.

1. a) Determina els punts de tall de la funció amb els eixos. Quin significat té el punt $(0,0)$ en aquest context?
2. b) Utilitzant una taula de valors, estudia la tendència de la funció quan el temps $t$ es fa molt gran. Hi ha alguna asímptota?
3. c) És la funció parell, senar o cap de les dues? Demostra-ho analíticament calculant $R(-t)$.

Dos atletes, Alba i Bruno, competeixen en una cursa de 16 km. La distància recorreguda per l'Alba segueix la funció $d_A(t) = 0,4t$, mentre que la del Bruno és $d_B(t) = 0,01t^2$ (on $t$ és el temps en minuts i les distàncies es mesuren en km).

1. a) Representa les dues funcions en els mateixos eixos per a l'interval de temps necessari fins que tots dos arribin a la meta.

1. b) En quin moment exacte el Bruno atrapa l'Alba? Indica les coordenades del punt de tall i interpreta'n el significat.

1. c) Estudia el creixement de la funció diferència $g(t) = d_A(t) - d_B(t)$. En quin moment la distància entre l'Alba i el Bruno és màxima?

Un biòleg estudia la població d'una espècie d'insectes en un laboratori. La població $P$ (en milers) varia segons la temperatura $T$ de la sala (en $ºC$) seguint la funció:

$$P(T) = \frac{T^2 - 16}{T - 5}$$

1. a) Calcula el domini d'aquesta funció. Per a quina temperatura el model deixa de tenir sentit físic?
2. b) Troba els punts de tall amb l'eix d'abscisses. Què signifiquen aquests valors per a la població d'insectes?
3. c) Hi ha intervals de la variable independent on la funció no sigui contínua? Justifica si el biòleg ha d'evitar alguna temperatura específica.

La velocitat d'una reacció química depèn de la concentració d'un reactiu $x$. La funció que descriu aquesta relació és $v(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$. A la figura pots veure'n la gràfica.

1. a) Estudia el recorregut de la funció. Pot ser negativa la velocitat? Pot superar el valor $1$?

1. b) Analitza les simetries de la funció. Si és simètrica, explica què implica això respecte a concentracions positives i negatives del reactiu.

1. c) És una funció fitada? Observa el seu comportament quan $x$ augmenta indefinidament i descriu-ne l'asímptota horitzontal.