Exercicis: Sistemes d'equacions

Observa la representació gràfica de les dues rectes que formen un sistema d'equacions. Determina, sense realitzar càlculs algebraics, quina és la solució del sistema i classifica'l en Compatible Determinat, Compatible Indeterminat o Incompatible.

Tradueix al llenguatge algebraic la situació següent i planteja un sistema de dues equacions amb dues incògnites, indicant clarament què representa cada variable:

«En una cafeteria, un grup d'amics ha pagat $11 \text{ €}$ per $2$ refrescos i $3$ bosses de patates. Un altre grup ha pagat $13 \text{ €}$ per $4$ refrescos i $1$ bossa de patates».

Resol pel mètode de substitució el sistema següent, aprofitant que una de les incògnites ja es troba aïllada en la primera equació:

$\begin{cases} y = 3x \\ 2x + y = 10 \end{cases}$

Resol pel mètode d'igualació el següent sistema d'equacions. Fixa't que la incògnita $x$ ja està aïllada en totes dues expressions:

$\begin{cases} x = 5 - y \\ x = 2y - 1 \end{cases}$

Resol pel mètode de reducció el sistema següent. Observa que els coeficients de la incògnita $y$ són iguals però de signe contrari, per la qual cosa pots sumar les equacions directament:

$\begin{cases} 4x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$

Copia i completa a la teva llibreta la taula de valors següent per a les dues equacions del sistema. Després, indica quina és la solució comuna observant els resultats:

Sistema: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

En una botiga de videojocs es venen comandaments i jocs de segona mà. Marcos ha comprat un comandament i un joc per $50 \text{ €}$. Si el preu del joc és el triple que el del comandament, quant costa cada article?

Planteja un sistema d'equacions i resol-lo pel mètode que prefereixis.

Dos amics, Lucía i Marcos, estan acumulant punts en el seu videojoc preferit per desbloquejar una nova recompensa. Les missions de sigil es representen per la incògnita $x$ i les missions d'assalt per la incògnita $y$. El sistema d'equacions que descriu els objectius que han de complir avui és el següent:

Comprova de forma numèrica si el parell de valors $(x = 3, y = 2)$ és la solució del sistema. A la vista de la gràfica següent, indica si els amics han aconseguit trobar el punt exacte on es compleixen totes dues condicions (missions totals i punts acumulats).

Observa els dos sistemes d'equacions lineals següents sense resoldre'ls encara:

Sistema A: $\begin{cases} y = 3x - 5 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}$

Sistema B: $\begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}$

1. a) Per al Sistema A, justifica per què el mètode de substitució és el camí més directe enfront del de reducció.
2. b) Per al Sistema B, justifica per què el mètode de reducció és l'opció més convenient a simple vista.
3. c) Tria un dels dos sistemes i resol-lo pas a pas aplicant el mètode que has justificat.

Carlos intenta resoldre el següent sistema d'equacions a la seva llibreta:

Per fer-ho, escriu els passos següents:

1. Aïllo $x$ a la primera equació: $x = 8 - 2y$.

2. Substitueixo aquesta expressió a la primera equació: $(8 - 2y) + 2y = 8$.

3. Opero i obtinc: $8 = 8$.

4. Conclusió: Com que $8 = 8$ sempre és cert, el sistema és compatible indeterminat i té infinites solucions.

1. a) Explica quin és l'error conceptual que ha comès Carlos en el pas 2 i aclareix per què la seva conclusió final és falsa.
2. b) Corregeix l'exercici substituint en l'equació adequada i calcula la solució real $(x, y)$ del sistema.

Observa la següent representació gràfica d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites i respon les qüestions plantejades:

1. a) Indica les coordenades del punt de tall $P$ de les dues rectes.
2. b) Què representa aquest punt en relació amb el sistema d'equacions?
3. c) Classifica el sistema segons el nombre de solucions que presenta.
4. d) És el punt $P$ solució del sistema següent?

$\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x - 3y = -3 \end{cases}$

Explica breument per què ho és o per què no, verificant les dues igualtats.

En l'organització d'un esdeveniment d'E-sports, s'han venut un total de 250 entrades. Hi ha dos tipus de localitats: les «Gamer», que costen $15\ €$, i les «Pro», que costen $25\ €$. Si la recaptació total ha sigut de $4\ 700\ €$, planteja un sistema d'equacions i calcula quantes entrades de cada tipus s'han venut utilitzant el mètode de substitució.

S'està dissenyant una nova zona de jocs rectangular al pati de l'institut. L'arquitecte ha establert que el perímetre total ha de ser de $56$ metres. A més, perquè hi hagi prou espai per a les cistelles, la llargada de la zona ha de ser $4$ metres menor que el triple de l'amplada.

Calcula les dimensions de la zona de jocs plantejant un sistema d'equacions i resolent-lo pel mètode d'igualació.

Dos streamers coneguts estan comparant els seus anys d'experiència a la plataforma. La suma de les seves edats actuals és de $44$ anys. D'aquí a $10$ anys, l'edat del més gran serà exactament el doble de l'edat que el més petit té actualment.

Planteja un sistema d'equacions lineals i esbrina l'edat actual de cadascun.

En una botiga de productes a granel, volem preparar una barreja especial de $20\ kg$ de fruits secs que surti a un preu de $8,50\ €/kg$. Per fer-ho, utilitzarem anacards que costen $10\ €/kg$ i cacauets que costen $6\ €/kg$.

Aplica el mètode de reducció per esbrinar quants quilograms d'anacards i quants de cacauets hem de barrejar.

Observa la següent representació gràfica de dues funcions lineals que formen un sistema d'equacions.

1. a) Identifica les equacions de totes dues rectes a partir dels seus punts de tall i del seu pendent.
2. b) Determina gràficament la solució del sistema.
3. c) Classifica el sistema segons el seu nombre de solucions (SCD, SCI o SI).

Un nombre de dues xifres té una propietat curiosa: la xifra de les desenes és el doble de la xifra de les unitats. Si restem $27$ a aquest nombre, obtenim el nombre resultant d'invertir l'ordre de les seves xifres.

Tradueix l'enunciat a un sistema d'equacions (recorda expressar el nombre en forma polinòmica: $10x + y$) i troba de quin nombre es tracta.

Dos ciclistes, Paula i Sergio, recorren una pista circular de $400$ metres. Si corren en sentits oposats, es creuen cada $20$ segons. Si corren en el mateix sentit, Paula (que és més ràpida) avança Sergio cada $100$ segons.

Sabent que l'espai recorregut és igual a la velocitat pel temps ($e = v \cdot t$), planteja un sistema d'equacions per calcular la velocitat de cada ciclista en metres per segon.

En una oficina de turisme es posen a la venda dos tipus d'abonaments de transport urbà: l'abonament 'Bàsic' a $8,50$ € i l'abonament 'Plus' a $15,00$ €. Al tancament de caixa s'han venut un total de $50$ abonaments i la recaptació total ha estat de $542,00$ €.

1. a) Identifica amb precisió les incògnites i planteja el sistema de dues equacions lineals que representa la situació.
2. b) Resol el sistema pel mètode algebraic que consideris més adequat per determinar quants abonaments de cada classe s'han venut.
3. c) Si per una errada informàtica la recaptació registrada hagués estat de $540,00$ €, demostra algebraicament per què aquest import no seria possible en la realitat amb aquests preus i aquest nombre d'abonaments.

Dissenya un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites ($x$ i $y$) que compleixi simultàniament aquestes tres condicions:

1. La seva única solució ha de ser el parell ordenat $(x, y) = (3, -2)$.

2. Cap dels coeficients de les incògnites ni dels termes independents pot ser igual a $0$, $1$ ni $-1$.

3. Els coeficients de la incògnita $y$ en totes dues equacions han de ser nombres enters oposats (per exemple, $4$ i $-4$), de manera que el sistema quedi preparat per cancel·lar-la sumant directament totes dues equacions per reducció.

Escriu el sistema que has construït i comprova formalment que $(3, -2)$ satisfà les dues igualtats.

Resol la següent equació de primer grau, prestant especial atenció a la simplificació de les fraccions i al signe negatiu que precedeix els parèntesis:

Estudia el discriminant de la següent equació de segon grau i determina per a quin valor del paràmetre $k$ l'equació té una única solució real (solució doble). Un cop trobat $k$, resol l'equació:

Una empresa de missatgeria utilitza drons i furgonetes per als seus repartiments. Sabem que el doble del nombre de drons excedeix en 2 unitats el triple del nombre de furgonetes. A més, si compressin 2 drons més i perdessin una furgoneta, tindrien el triple de drons que de furgonetes. Planteja un sistema d'equacions lineals i troba quants vehicles de cada tipus té l'empresa.

En un laboratori de química es volen barrejar dues solucions salines. La primera té una concentració del $15\%$ de sal i la segona del $40\%$. Si es necessiten obtenir exactament $20$ litres d'una barreja amb una concentració del $30\%$, quants litres de cada solució s'han d'utilitzar? Planteja i resol el sistema d'equacions.

Troba les dimensions d'un marc rectangular de fusta sabent que el seu perímetre és de $60\text{ cm}$ i que la seva àrea és de $216\text{ cm}^2$. Per resoldre-ho, hauràs de plantejar un sistema on una de les equacions sigui de segon grau o resoldre-ho mitjançant una equació de segon grau fent servir la relació entre la suma i el producte de les arrels.

Dos ciclistes, Ioana i Boris, participen en una cursa de llarga distància. Boris surt de la meta a una velocitat constant de $24\text{ km/h}$. Mitja hora més tard, Ioana surt en la seva persecució a una velocitat de $32\text{ km/h}$.

1. a) Quant de temps trigarà Ioana a aconseguir Boris?
2. b) A quina distància de la línia de meta es produirà la trobada?

Suggeriment: Utilitza el sistema d'equacions basat en la fórmula $e = v \cdot t$.

Troba un nombre de dues xifres sabent que la suma de les seves xifres és $12$ i que, si s'inverteix l'ordre d'aquestes xifres, el nombre resultant és $18$ unitats més gran que el nombre original.

Nota: Recorda que un nombre de xifres $xy$ s'escriu algebraicament com a $10x + y$.

Observa la representació gràfica de les rectes $r$ i $s$ que formen un sistema d'equacions.

1. a) Identifica les equacions de totes dues rectes a partir dels seus punts de tall amb els eixos.
2. b) Determina, analíticament i mitjançant el gràfic, si el sistema és compatible determinat, indeterminat o incompatible.
3. c) Troba el punt d'intersecció $(x, y)$.

Una cooperativa agrícola envasa garrafes de $5$ litres barrejant dos tipus d'oli: oli d'oliva verge extra (AOVE), amb un cost de producció de $9,00$ € el litre, i oli de gira-sol, amb un cost de $2,00$ € el litre. Es vol que el cost mitjà resultant del litre de barreja en cada garrafa sigui exactament de $4,80$ € (la qual cosa suposa un cost total de $24,00$ € per garrafa).

1. a) Abans de calcular res, estima de manera justificada si a la garrafa hi haurà més de $2,5$ litres d'AOVE o més de $2,5$ litres de gira-sol. Per fer-ho, compara la proximitat del preu mitjà ($4,80$ €) als preus de cadascun dels components.
2. b) Planteja i resol el sistema d'equacions lineals per calcular amb exactitud quants litres d'AOVE i quants de gira-sol conté cada garrafa. Confirma el resultat la teva estimació prèvia?
3. c) Si la cooperativa pretengués obtenir una barreja de $5$ litres amb un cost final de $48,00$ € utilitzant exclusivament aquests dos tipus d'oli, analitza algebraicament què passaria en resoldre el sistema i explica quin significat físic té aquest resultat a la pràctica.

Dues empreses de missatgeria urgent apliquen les tarifes següents per al repartiment de paquets:

• Empresa Veloz: cobra una quota fixa de $12,00$ € més $0,80$ € per cada quilòmetre recorregut.

• Empresa Rápida: cobra una quota fixa de $k$ € més un preu per quilòmetre de $m$ €/km.

Anomenem $x$ als quilòmetres de distància del trajecte i $y$ al cost final en euros.

1. a) Escriu l'equació que modelitza el cost de l'Empresa Veloz.
2. b) Determina raonadament quins valors han de tenir els paràmetres $k$ i $m$ perquè el sistema format per les dues tarifes sigui:

• Incompatible (les dues rectes són paral·leles i mai no coincideixen en el preu per a cap quilometratge). Explica la conseqüència per al client.

• Compatible indeterminat (totes dues tarifes resulten idèntiques en qualsevol distància).

1. c) Si l'Empresa Rápida fixa $k = 18,00$ € i $m = 0,50$ €/km, planteja el sistema d'equacions, troba el punt de tall i interpreta a partir de quants quilòmetres contractats resulta més econòmica l'Empresa Rápida enfront de l'Empresa Veloz.