Exercicis: Equacions de segon grau

Per a cadascuna de les equacions de segon grau següents, identifica els coeficients $a$, $b$ i $c$ i indica si es tracta d'una equació completa o incompleta:

1. a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
2. b) $2x^2 - 32 = 0$
3. c) $x^2 + 8x = 0$
4. d) $3 - x^2 + 2x = 0$

Comprova, sense resoldre l'equació, si els valors de $x$ proposats són solució de la igualtat $x^2 - 4x + 3 = 0$:

1. a) $x = 1$
2. b) $x = 0$
3. c) $x = 3$
4. d) $x = -1$

Resol les següents equacions de segon grau incompletes del tipus $ax^2 + c = 0$. Recorda que si el resultat de l'arrel quadrada no és un nombre real, ho has d'indicar:

1. a) $x^2 - 25 = 0$
2. b) $3x^2 - 12 = 0$
3. c) $x^2 + 16 = 0$
4. d) $2x^2 = 50$

Resol les següents equacions de segon grau incompletes del tipus $ax^2 + bx = 0$ mitjançant l'extracció de factor comú:

1. a) $x^2 - 7x = 0$
2. b) $2x^2 + 10x = 0$
3. c) $3x^2 = 6x$
4. d) $x^2 + x = 0$

Aplica la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ per trobar les solucions de les equacions completes següents:

1. a) $x^2 - 6x + 8 = 0$
2. b) $x^2 + x - 12 = 0$

L'àrea de la base quadrada d'una caixa d'emmagatzematge per a videojocs és de $144\text{ cm}^2$. Calcula quant mesura el costat de la base plantejant una equació de segon grau.

Calcula el valor del discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ per a cada equació i indica si té dues solucions, una solució doble o cap solució real (no cal que calculis les solucions):

1. a) $x^2 - 4x + 4 = 0$
2. b) $x^2 + 2x + 5 = 0$
3. c) $x^2 - 5x - 1 = 0$

Si al quadrat d'un nombre enter li sumem el seu triple, obtenim com a resultat zero. De quins nombres es podria tractar? Planteja l'equació i troba les possibles solucions.

La Lucía ha de resoldre a classe l'equació incompleta $3x^2 - 12x = 0$. El seu desenvolupament a la pissarra ha estat el següent:

1r) Com que la $x$ es repeteix en tots dos termes, divideix els dos membres entre $x$: $\frac{3x^2}{x} - \frac{12x}{x} = \frac{0}{x}$, d'on escriu $3x - 12 = 0$.

2n) Aïlla la incògnita: $3x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{3} = 4$.

La Lucía conclou que l'equació té una única solució: $x = 4$. Localitza i explica detalladament l'error conceptual que ha comès, argumenta per què no és matemàticament vàlid dividir entre una incògnita sense prendre precaucions i resol correctament l'equació trobant totes les seves solucions.

Construeix, en cada cas, una equació de segon grau que compleixi les condicions requerides (amb tots els termes agrupats en el primer membre i igualada a zero):

1. a) Una equació incompleta sense terme lineal ($b = 0$) el coeficient quadràtic de la qual sigui $a = 2$ i les solucions de la qual siguin $x = 3$ i $x = -3$.
2. b) Una equació incompleta sense terme independent ($c = 0$) el coeficient quadràtic de la qual sigui $a = 2$ i les solucions de la qual siguin $x = 0$ i $x = -5$.

Comprova en tots dos casos la validesa de les teves equacions resolent-les pel mètode específic adequat per a cada tipus d'equació incompleta.

Resol la següent equació de segon grau simplificant primer les expressions algebraices mitjançant el desenvolupament de les identitats notables:

Recorda que per aplicar la fórmula general, primer has de reduir l'equació a la forma $ax^2 + bx + c = 0$.

Estudia el discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$) de les equacions següents i determina, sense resoldre-les, quantes solucions reals té cadascuna. Justifica la teva resposta en cada cas:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
2. b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
3. c) $3x^2 - 4x - 2 = 0$

Quin valor hauria de prendre el terme independent en l'equació a) perquè de sobte no tingués solució?

Un programador de videojocs està dissenyant una interfície per a una nova aplicació. Necessita crear un botó rectangular la base del qual sigui $5\text{ cm}$ més llarga que la seva altura. Si l'àrea total que ha d'ocupar el botó a la pantalla és de $84\text{ cm}^2$, quines han de ser les dimensions (base i altura) del botó?

Planteja una equació de segon grau i resol-la.

El producte de dos nombres naturals consecutius és igual a la seva suma augmentada en $19$ unitats. De quins nombres estem parlant?

Resol les següents equacions de segon grau incompletes utilitzant el mètode més ràpid (extracció de factor comú o aïllament directe de l'arrel):

1. a) $4x^2 - 100 = 0$
2. b) $3x^2 + 15x = 0$
3. c) $\frac{x^2}{2} - 8 = 0$
4. d) $5x^2 = 2x$

Les equacions biquadràtiques es poden resoldre fent un canvi de variable $t = x^2$. Utilitza aquesta tècnica per trobar les quatre solucions reals de la següent equació:

Dada l'equació de segon grau $x^2 + kx + 12 = 0$, calcula el valor del coeficient $k$ sabent que una de les solucions de l'equació és $x = 3$. Un cop trobat $k$, troba l'altra solució de l'equació.

Volem posar un marc de fusta d'amplada constant $x$ al voltant d'una fotografia rectangular de $10\text{ cm}$ per $15\text{ cm}$. Si sabem que l'àrea total (foto més marc) ha de ser de $300\text{ cm}^2$, quina ha de ser l'amplada $x$ del marc?

Observa la següent equació de segon grau: $(2x - 1)^2 - 25 = 0$.

1. a) Descriu dues estratègies algebraiques diferents per resoldre-la: la primera, desenvolupant la identitat notable, reduint a la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ i aplicant la fórmula general; la segona, aïllant la potència quadràtica $(2x - 1)^2$ i aplicant l'arrel quadrada a tots dos membres de la igualtat.
2. b) Resol l'equació emprant l'estratègia que consideris més directa i amb menys risc d'error operatiu, justificant la teva elecció amb arguments matemàtics.

L'Ajuntament de Zaragoza projecta una parcel·la rectangular destinada a horts urbans comunitaris. Les especificacions tècniques determinen que la longitud del terreny ha de mesurar $6\text{ m}$ més que la seva amplada i que la superfície cultivable total ha de ser de $160\text{ m}^2$.

1. a) Assigna la incògnita $x$ a l'amplada de la parcel·la, escriu l'expressió algebraica de la seva àrea i planteja l'equació de segon grau en la seva forma canònica $ax^2 + bx + c = 0$.
2. b) Resol l'equació per determinar les dimensions (llargada i amplada) de l'hort. Explica detalladament quina interpretació geomètrica té cadascuna de les dues solucions matemàtiques obtingudes i per què descartes o conserves cadascuna d'elles.

Resol la següent equació operant prèviament per simplificar els membres i utilitzant les identitats notables on calgui:

$\frac{(2x - 3)^2}{8} - \frac{x(x + 1)}{2} = \frac{x - 5}{4} - 1$

Una empresa de disseny paisatgístic vol envoltar una piscina rectangular de $8 \text{ m}$ de llargada per $6 \text{ m}$ d'amplada amb una vora de gespa artificial d'amplada uniforme $x$. Si l'àrea total del recinte (piscina més vora de gespa) ha de ser exactament de $80 \text{ m}^2$, calcula quant ha de mesurar l'amplada $x$ de la vora.

Dada l'equació de segon grau $x^2 - (k-2)x + k = 0$, determina quins valors ha de prendre el paràmetre $k$ perquè l'equació tingui una única solució real (solució doble).

Un dron de vigilància se n'enlaira i segueix una trajectòria l'altura de la qual en metres respecte al temps en segons ve donada per l'expressió $h(t) = -2t^2 + 20t + 5$. Calcula en quins instants de temps el dron es troba exactament a $53 \text{ metres}$ d'altura.

Dues impressores 3D treballant juntes triguen $2$ hores a completar una maqueta complexa. Si treballessin per separat, la impressora més antiga trigaria $3$ hores més que la impressora nova. Quant de temps trigaria cadascuna a fer la maqueta en solitari? (Ajuda: recorda que el treball realitzat en una hora és l'invers del temps total).

Calcula les dimensions d'un triangle rectangle sabent que els seus costats són tres nombres enters consecutius.

Resol la següent equació. Per fer-ho, cerca el mínim comú múltiple dels denominadors per eliminar-ne les incògnites i comprova que les solucions obtingudes no anul·len cap denominador:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{x^2}{x^2 - 2x}$

Es disposa d'un cable de $40 \text{ cm}$ de longitud que es talla en dos trossos per formar dos quadrats diferents. Si la suma de les àrees dels dos quadrats és de $58 \text{ cm}^2$, quant mesura el costat de cadascun d'aquests quadrats?

Durant les festes patronals d'una localitat valenciana, es llança verticalment un coet pirotècnic. L'altura $h$ (en metres) sobre el terra transcorreguts $t$ segons ve descrita per la fórmula $h = -5t^2 + 40t$. El detonador de l'artifici està programat per esclatar en plena fase de pujada en assolir exactament $60\text{ m}$ d'altura.

1. a) Abans d'operar formalment, estima si el coet trigarà més o menys de $3\text{ segons}$ a assolir aquesta altura. Per donar suport a la teva estimació, avalua mentalment o mitjançant càlculs senzills l'altura del coet als $t = 1\text{ s}$ i als $t = 2\text{ s}$.
2. b) Planteja l'equació quadràtica $h = 60$, redueix-la a la seva forma general i resol-la mitjançant la fórmula general. Justifica el significat físic dels dos valors de $t$ obtinguts, comprova si la teva estimació prèvia ha estat encertada i indica en quin segon exacte es produeix l'explosió programada.

Considera la família d'equacions de segon grau $(k - 1)x^2 - 4x + 2 = 0$, on $k$ és un nombre real constant.

1. a) Analitza què passa si $k = 1$. Raona si l'equació resultant continua sent de segon grau i troba la seva solució en aquest cas particular.
2. b) Suposant que $k \neq 1$, calcula l'expressió del discriminant $\Delta$ en funció de $k$. A partir d'aquesta, dedueix de manera raonada per a quins valors de $k$ l'equació tindrà dues solucions reals diferents, per a quin valor tindrà una única solució real doble i per a quins no tindrà cap solució real.
3. c) Tria un valor concret de $k$ que no tingui solució real segons el teu estudi previ, substitueix-lo a l'equació original i intenta resoldre-la mitjançant la fórmula per comprovar quin obstacle aritmètic apareix.