Exercicis: Equacions de primer grau

En matemàtiques, és fonamental distingir entre una expressió algebraica i una equació. Observa la llista següent i identifica quines són equacions de primer grau. Per a les que ho siguin, indica quin és el seu primer membre i quina és la seva incògnita:

1. a) $3x + 5$
2. b) $2x - 8 = 10$
3. c) $x^2 - 4 = 0$
4. d) $5 + 3 = 8$
5. e) $\frac{y}{2} + 1 = 7$

Comprovar si un nombre és solució d'una equació consisteix a substituir la incògnita i veure si la igualtat es compleix. Dat el següent conjunt de valors: $\{-2, 0, 3\}$, indica raonadament quin d'ells és la solució de l'equació:

$5x - (x + 4) = 8$

Resol les següents equacions bàsiques utilitzant la transposició de termes (el que està sumant passa restant i viceversa):

1. a) $x + 15 = 42$
2. b) $x - 7 = -12$
3. c) $10 - x = 4$
4. d) $25 = x + 18$

En el desenvolupament de videojocs, a vegades s'usen equacions per calcular puntuacions. Un jugador té el triple de punts que el seu amic. Si al jugador li restem $50$ punts, ara té exactament $250$ punts.

Planteja una equació on $x$ sigui la puntuació de l'amic i resol-la per trobar quants punts té cadascun.

Troba el valor del costat $x$ en el rectangle següent sabent que el seu perímetre total és de $34$ cm.

Resol aquestes equacions de primer grau eliminant primer els parèntesis. Recorda aplicar la propietat distributiva amb compte:

1. a) $3(x - 2) = 12$
2. b) $2(x + 4) + 5 = 17$
3. c) $10 - (x - 3) = 8$

Traduir enunciats del llenguatge natural al llenguatge algebraic és com aprendre un nou idioma. Tradueix i resol la situació següent:

"Si al doble d'un nombre li sumes la seva meitat, obtens 25".

(Pista: anomena $x$ el nombre desconegut).

Una balança està en equilibri. Al plat de l'esquerra hi ha $3$ caixes iguals (de pes $x$) i una pesa de $2$ kg. Al plat de la dreta hi ha una pesa de $14$ kg.

Planteja l'equació que representa aquest equilibri i calcula quant pesa cada caixa.

Lucas ha intentat resoldre l'equació $5 - 2(x - 3) = 1$ a la seva llibreta i ha lliurat el desenvolupament següent:

Pas 1: $5 - 2x - 6 = 1$

Pas 2: $-1 - 2x = 1$

Pas 3: $-2x = 2$

Pas 4: $x = \frac{2}{-2} = -1$

Identifica en quin pas ha comès l'error, explica amb les teves paraules quina propietat o regla algebraica ha aplicat incorrectament i resol l'equació de manera correcta a la teva llibreta, comprovant la solució final obtinguda substituint-la en la igualtat inicial.

Volem dissenyar una equació de primer grau de la forma $3x - k = 2(x + 1)$ per a una activitat de classe, de manera que la seva solució sigui exactament $x = 5$.

1. a) Esbrina quin valor numèric ha de tenir la constant desconeguda $k$ perquè es compleixi aquesta condició.
2. b) Ara crea tu una equació de primer grau diferent que contingui almenys dos denominadors diferents (per exemple, amb $2$ i amb $3$) i la solució única de la qual també sigui $x = 5$. Demostra que és correcta resolent-la pas a pas.

Resol la següent equació de primer grau assegurant-te de simplificar tots els termes i parar atenció als canvis de signe davant de les fraccions:

$\frac{2(x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{3x - 4}{10} + 1$

En una botiga de tecnologia, un ratolí sense fil, un teclat i uns auriculars valen en total $110$ €. Sabem que el teclat costa el triple que el ratolí, i que els auriculars valen $10$ € més que el teclat. Planteja una equació de primer grau i calcula el preu de cada article.

Un fabricant de sucs vol crear una nova barreja "Tropical" combinant suc de pinya que costa $1,20$ €/litre amb suc de mango que costa $1,80$ €/litre. Si vol obtenir $60$ litres de barreja a un preu de $1,40$ €/litre, quants litres de suc de pinya ha d'utilitzar?

Troba tres nombres enters parells consecutius tals que la suma dels dos primers sigui igual al tercer més $14$ unitats.

Dos ciclistes, Lucía i Marcos, participen en una cursa benèfica. Lucía surt del punt de sortida amb una velocitat constant de $20$ km/h. Mitja hora més tard, Marcos surt des del mateix punt perseguint-la a una velocitat de $25$ km/h. Quant de temps trigarà Marcos a atrapar Lucía des que ell surt? A quina distància del punt de partida es trobaran?

Donada l'equació amb un coeficient desconegut $k$:

Calcula el valor que ha de tenir $k$ perquè la solució de l'equació sigui $x = 6$. Un cop trobat $k$, comprova que la igualtat es compleix substituint tots dos valors en l'equació original.

Considera la següent equació de primer grau: $$3(x - 4) + 5(x - 4) = 24$$

Per resoldre-la hi ha dos camins clars:

• Camí A: Aplicar la propietat distributiva al primer membre eliminant els parèntesis, reduir els termes semblants i aïllar la incògnita $x$.

• Camí B: Treure factor comú el binomi $(x - 4)$ al primer membre, operar els coeficients i aïllar la incògnita.

Resol l'equació seguint tots dos procediments pas a pas. A continuació, compara els dos mètodes i justifica quin consideres més ràpid i amb menys risc de cometre errors amb els signes.

En una llibreria de barri, en Marcos compra una novel·la juvenil que costa $18,50$ € i diversos còmics manga idèntics que costen $7,50$ € cadascun. A la caixa li apliquen un cupó de descompte directe de $4$ € sobre l'import total de la compra. En Marcos lliura un bitllet de $50$ € per pagar i el dependent li torna exactament $5,50$ €.

1. a) Abans d'escriure cap equació, arrodoneix les quantitats a nombres enters per estimar mentalment quants còmics ha comprat aproximadament (en serien més de $6$? menys de $2$?). Explica el teu raonament aproximat.
2. b) Planteja una equació de primer grau on la incògnita $x$ sigui el nombre de còmics adquirits i resol-la amb exactitud.
3. c) Comprova si el valor obtingut coincideix amb la teva estimació prèvia i raona si una solució no sencera hauria tingut sentit en aquest context real.

Resol la següent equació de primer grau amb coeficients fraccionaris i termes aniuats. Para molta atenció a la gestió dels signes negatius davant de les fraccions:

Un dissenyador de videojocs està configurant l'àrea de col·lisió quadrada d'un personatge. Si augmenta un dels costats en $4\text{ cm}$ i redueix l'altre en $2\text{ cm}$, l'àrea del rectangle resultant és $20\text{ cm}^2$ més gran que l'àrea del quadrat original. Quina és la mida del costat del quadrat original?

Ajuda: Encara que apareguin termes en $x^2$, observa com es simplifiquen en operar.

Per omplir la piscina municipal d'un poble s'utilitzen dues canonades, A i B. La canonada A és capaç d'omplir la piscina per si sola en $10$ hores. A causa d'una fallada en el sistema de drenatge, hi ha una fuga al fons que buidaria la piscina plena en $30$ hores si les canonades estiguessin tancades. Si obrim la canonada A i la canonada B simultàniament, la piscina s'omple en exactament $5$ hores (comptant amb la fuga oberta). Quant de temps trigaria la canonada B a omplir la piscina ella sola si no hi hagués la fuga?

En un laboratori de química, un estudiant necessita obtenir $12$ litres d'una solució àcida al $25\%$. A l'estatget només disposa de dos pots: un amb una solució al $10\%$ d'àcid i un altre amb una solució molt concentrada al $50\%$. Quants litres ha de barrejar de cada pot per obtenir la mescla exacta que necessita el seu experiment?

Dos drons de vigilància, Helios i Selene, surten de dues bases situades a una distància de $150\text{ km}$ l'un de l'altre. Tots dos volen en la mateixa direcció i sentit (Helios perseguint Selene). Helios vola a una velocitat constant de $90\text{ km/h}$ i Selene a $60\text{ km/h}$. Si tots dos s'enlairen al mateix temps, quant de temps trigarà Helios a aconseguir Selene i a quina distància de la seva base d'origen se trobaran?

En les equacions literals, hem de ser capaços d'aïllar una variable en funció de les altres. Aïlla la variable $x$ en la igualtat següent, suposant que tots els paràmetres $a, b, c$ i $d$ són coneguts i diferents de zero, amb $a \neq d$:

Expressa el resultat final com una única fracció.

Una botiga de tecnologia llança una oferta en tauletes i accessoris. Álvaro compra una tauleta i un teclat per un total de $325\text{ €}$. Sap que la tauleta té aplicat un descompte del $20\%$ sobre el seu preu original, mentre que el teclat, com que és un model antic, té un descompte del $50\%$. Si Álvaro s'ha estalviat en total $115\text{ €}$ respecte als preus originals, quin era el preu de venda (sense descompte) de la tauleta i del teclat?

Cerca un nombre de dues xifres sabent que la xifra de les unitats excedeix en $3$ unitats la xifra de les desenes. Si a aquest nombre li sumem el nombre que resulta d'invertir l'ordre de les seves xifres, obtenim com a resultat $121$. Planteja una equació de primer grau amb una sola incògnita per trobar el nombre original.

En la factura mensual d'electricitat d'una llar a Espanya sota una tarifa fixa, l'import a pagar es desglossa en: una quota fixa per potència contractada de $15,60$ € al mes i un cost variable per energia consumida de $0,16$ € per cada quilowatt-hora ($\text{kWh}$) gastat. A més, a aquesta llar se li aplica un descompte mensual de $4,40$ € en concepte de bo d'eficiència energètica.

Si la factura final del mes de novembre ascendeix exactament a $49,60$ €:

1. a) Modela la situació plantejant una equació de primer grau que relacioni totes les dades i permeti calcular el consum $x$ (en $\text{kWh}$) del mes.
2. b) Resol l'equació detallant cada pas de la transposició de termes i troba el consum exacte.
3. c) Segons dades estadístiques del sector energètic a Espanya, el consum mitjà d'una llar de característiques similars és de $270\text{ kWh}$ al mes. Interpreta el teu resultat indicant si el consum d'aquesta família se situa per sobre o per sota de la mitjana nacional i calcula quants $\text{kWh}$ de diferència representa.

Analitza la següent equació de primer grau on les lletres $a$ i $b$ representen coeficients constants desconeguts i $x$ és la incògnita:

1. a) Desenvolupa i redueix ambdós membres per escriure l'equació en la forma canònica $A \cdot x = B$, expressant $A$ i $B$ en funció de $a$ i $b$.
2. b) Determina quins valors concrets han de prendre $a$ i $b$ perquè l'equació tingui infinites solucions (sigui una identitat). Justifica la teva deducció recolzant-te en l'expressió $0x = 0$.
3. c) Determina quines condicions han de complir $a$ i $b$ perquè l'equació no tingui solució (sigui una equació incompatible, $0x = B$ amb $B \neq 0$).
4. d) Si fixem el valor $b = 5$, esbrina quin valor exacte ha de tenir $a$ perquè la solució única de l'equació sigui $x = 2$, i comprova-ho substituint en l'equació original.