Exercicis: Perpendicularitat i paral·lelisme

Imagina que tens una caixa de sabates (forma d'ortoedre) sobre la teva taula. Si ens fixem en les aristes de la tapa:

1. a) Indica dues aristes que siguin paral·leles entre si.
2. b) Indica dues aristes que siguin perpendiculars i es tallin en un vèrtex.

Al gimnàs de l'institut, una columna recta (recta $r$) talla el terra (pla $\pi$) en un punt, que és la seva base. Al terra hi ha dues rectes diferents, $s$ i $t$, que passen per la base de la columna, i se sap que la columna forma un angle recte amb cadascuna d'elles.

1. a) Quina posició relativa tenen la columna i el terra? Justifica la teva resposta.

1. b) Si tracem qualsevol altra línia al terra que passi per la base de la columna, quin angle formarà amb ella?

Dos avions volen pel cel. L'avió A vola cap al Nord a $10.000$ metres d'altura. L'avió B vola cap a l'Est a $8.000$ metres d'altura. Sabent que les seves trajectòries no es tallen ni són paral·leles:

1. a) Com s'anomena la posició relativa d'aquestes dues trajectòries en l'espai?
2. b) Són aquestes rectes coplanars? Explica per què.

Observa les parets de la teva habitació.

1. a) Quina posició relativa tenen dues parets oposades?
2. b) Com s'anomena la recta que es forma quan dues parets contigües es tallen?

En obrir un llibre de matemàtiques i deixar-lo recolzat sobre la taula, les dues pàgines formen un angle díedre.

1. a) Si obrim el llibre totalment fins que quedi pla sobre la taula, quant mesura aquest angle díedre?
2. b) Si el llibre està entreobert i les pàgines formen un angle de $90^\circ$, com són els plans de les dues pàgines entre si?

Observa el cub següent i identifica:

1. a) Una arista que sigui paral·lela al pla de la base inferior.
2. b) Una arista que sigui perpendicular al pla de la base inferior.

Imagina una porteria de futbol. Analitzarem els seus posts com a rectes:

1. a) Quina posició relativa tenen els dos posts verticals?
2. b) Quina posició relativa té el travesser (post horitzontal) respecte a cadascun dels posts verticals?

A classe de Matemàtiques, la Lucía està analitzant les arestes d'una capsa amb forma de cub els vèrtexs de la qual són $A, B, C, D$ a la base inferior i $A', B', C', D'$ a la base superior. En fixar-se en l'aresta vertical que conté el segment $AA'$ i en l'aresta horitzontal que conté $BC$, la Lucía afirma: «Com que aquestes dues rectes mai es tallen a l'espai per molt que les prolonguem, han de ser necessàriament paral·leles, exactament igual com passa amb les rectes al pla».\na) Explica raonadament quin error conceptual comet la Lucía en aplicar a l'espai tridimensional una propietat que només és vàlida en geometria plana.\nb) Determina la posició relativa correcta entre la recta que conté $AA'$ i la recta que conté $BC$, i justifica per què no poden ser paral·leles.\nc) Posa un exemple amb les arestes d'aquest mateix cub de dues rectes que no es tallin i que sí que siguin paral·leles entre si.

Considera un prisma recte de base triangular regular les bases del qual són els triangles horitzontals $ABC$ (inferior) i $A'B'C'$ (superior), amb arestes laterals verticals $AA'$, $BB'$ i $CC'$.\na) Escriu el nom d'una recta determinada per dos vèrtexs del prisma que sigui secant a la recta que conté l'aresta $AB$, però que no estigui continguda en el pla de la base inferior.\nb) Troba i anomena una recta determinada per dos vèrtexs del prisma que es creui amb la recta $AA'$ (és a dir, que no sigui secant ni paral·lela a aquesta).\nc) Si volem traçar un pla imaginari $\pi$ que talli les tres arestes laterals a una altura fixa de $2$ cm respecte a la base inferior, quina posició relativa ha de tenir obligatòriament aquest pla $\pi$ respecte al pla de la base $ABC$? Justifica la teva deducció.

Imagina que el terra de la teva habitació és el pla $\pi$ i una de les parets laterals és el pla $\beta$. Si instal·les un cable de fibra òptica que recorre la cantonada on es junten el sostre i la paret frontal (recta $r$):

1. a) Com és la recta $r$ respecte al pla del terra $\pi$?
2. b) Quina és la posició relativa de la recta $r$ respecte al pla de la paret lateral $\beta$?
3. c) Si tracem una línia vertical a la paret lateral (recta $s$), es tallaran les rectes $r$ i $s$? Justifica si són perpendiculars.

Una porta giratòria d'un centre comercial té tres fulles de vidre iguals que es tallen en un eix vertical central.

1. a) Quin nom rep cadascuna de les tres regions de l'espai delimitades per dues fulles consecutives?
2. b) Si l'angle díedre entre la primera i la segona fulla és de $120^\circ$, i les tres fulles estan distribuïdes de forma simètrica, quant mesuren els altres dos angles díedres?
3. c) Si una mosca es posa exactament a l'eix central, a quantes cares dels angles díedres pertany?

Considera un prisma recte de base hexagonal regular. Analitza la relació entre els seus elements:

1. a) Quantes cares laterals són perpendiculars a la base inferior?
2. b) Quants parells de cares laterals són paral·lels entre si?
3. c) Si tracem la diagonal d'una cara lateral i una arista bàsica que no tingui cap vèrtex en comú amb aquesta diagonal, en quina posició relativa es troben les rectes que les contenen?

Les cèlebres Torres KIO de Madrid tenen una inclinació de $15^\circ$ respecte a la vertical. Modela una d'aquestes torres com un prisma oblic on el terra horitzontal de la plaça és el pla $\pi$ i les quatre arestes laterals de l'edifici representen les cantonades inclinades de la façana.\na) Quina posició relativa tenen les arestes laterals de l'edifici respecte al pla del terra $\pi$? Justifica si són secants perpendiculars o secants obliqües, indicant la mesura de l'angle diedre agut que forma la façana inclinada amb el pla horitzontal del terra.\nb) En el manteniment de la torre, un muntacàrregues exterior puja per una guia paral·lela a una de les arestes inclinades de la façana, mentre que un ascensor interior puja seguint una trajectòria rectilínia totalment vertical (perpendicular al pla del terra $\pi$). Si ambdues trajectòries no coincideixen en cap punt ni estan en una mateixa paret vertical, en quina posició relativa es troben en l'espai? Raona si són paral·leles, secants o es creuen.

Per fer ombra a un pati escolar a Sevilla, l'ajuntament instal·larà un tendal tensat rectangular $ABCD$. El costat superior $AB$ es fixa horitzontalment a una paret vertical plana $\alpha$ a una alçària de $3$ m sobre el terra. El costat inferior $CD$ s'ancora directament sobre el terra horitzontal $\beta$, a una distància horitzontal de $4$ m de la paret. La lona forma un pla inclinat $\gamma$.\na) Abans de calcular res, estima si l'angle diedre que forma la lona $\gamma$ amb el terra $\beta$ serà menor, igual o major que $45^\circ$. Justifica la teva estimació comparant l'alçària de l'ancoratge a la paret amb la distància horitzontal d'ancoratge.\nb) Visualitza la secció perpendicular (un triangle rectangle amb catets de $3$ m i $4$ m) i calcula la longitud de la caiguda de la lona (segment $BC$).\nc) Comprova si la teva estimació inicial era correcta calculant la raó trigonomètrica tangent de l'angle diedre agut format amb el terra ($\tan\theta = 3/4 = 0,75$) i valorant si un angle amb aquesta tangent és major o menor de $45^\circ$ (tenint en compte que $\tan 45^\circ = 1$).

Un foc de llum puntual se situa al centre de la base d'un cone recte de radi $R = 5$ cm i altura $H = 12$ cm. El foc emet un raig de llum que és perpendicular a una de les generatrius del cone.

1. a) És possible que aquest raig travessi la superfície lateral del cone?
2. b) Calcula la distància des del foc fins al punt de la generatriu on el raig seria perpendicular. Per a fer-ho, visualitza el triangle rectangle que forma la secció axial del cone.

Es té una esfera de radi $13$ cm. Un pla $\pi_1$ talla l'esfera a una distància de $5$ cm del seu centre, generant un cercle $C_1$. Un segon pla $\pi_2$, perpendicular al primer, talla també l'esfera passant pel seu centre.

1. a) Descriu la posició relativa de la recta intersecció de tots dos plans respecte a l'esfera.
2. b) Quina és la distància mínima entre la vora del cercle $C_1$ i el pla $\pi_2$? Ajuda't d'un dibuix de la secció circular per raonar la resposta.

En una piràmide regular de base quadrada $ABCD$ i cúspide $V$, anomenem $r$ a la recta que conté l'alçària de la piràmide (que uneix $V$ amb el centre $O$ de la base) i anomenem $s$ a la recta que conté l'aresta bàsica $AB$. Es vol demostrar amb rigor la posició relativa entre $r$ i $s$.\nDos companys de classe proposen camins diferents:\n- Mètode de Marcos: Intenta esbrinar si existeix algun pla que contingui simultàniament les rectes $r$ i $s$, analitzant si els vèrtexs $V, O, A$ i $B$ poden estar en un mateix pla.\n- Mètode de Sara: Es basa en la relació recta-pla: utilitza que la recta $r$ és perpendicular al pla de la base i el talla en el punt $O$, per després comprovar si la recta $s$ (continguda a la base) passa o no per $O$.\na) Aplica el procediment de Marcos i conclou la posició relativa entre $r$ i $s$.\nb) Aplica el procediment de Sara i obtén la mateixa conclusió.\nc) Compara ambdós mètodes i justifica quin dels dos és més directe i generalitzable per demostrar que una recta perpendicular a un pla es creua amb qualsevol recta d'aquest pla que no passi pel peu de la perpendicular.

Un equip d'arquitectura dissenya l'estructura d'una nau industrial amb coberta a dues aigües. Els dos vessants de la teulada formen dos plans secants $\pi_1$ i $\pi_2$ la intersecció dels quals és l'aresta de carener horitzontal $r$. El terra de la nau és un pla horitzontal $\pi_0$ paral·lel a la recta $r$.\na) Cal afegir una biga metàl·lica de reforç que estigui continguda en una recta $s$. Dedueix quines condicions geomètriques ha de complir $s$ respecte als plans $\pi_1$ i $\pi_2$ per ser paral·lela a tots dos vessants alhora sense estar continguda en cap d'ells. A partir d'aquí, determina quina posició relativa obligatòria mantindrà $s$ respecte al carener $r$ i respecte al terra $\pi_0$.\nb) Als extrems inferiors de cada vessant es col·loquen canalons de desguàs sobre sengles rectes $t_1$ (a $\pi_1$) i $t_2$ (a $\pi_2$), ambdues paral·leles al carener $r$. Demostra si $t_1$ i $t_2$ són paral·leles entre si i justifica si determinen un pla que resulta paral·lel al terra $\pi_0$.\nc) Dissenya i descriu les condicions geomètriques d'una recta $p$ que sigui perpendicular al carener $r$, que sigui paral·lela al pla del terra $\pi_0$ i que es creui amb $r$ a una distància vertical fixa d'$1,5$ m sense arribar a tallar-la mai.