Perpendicularidad y paralelismo
Mira tu habitación: el suelo y el techo nunca se tocan, dos paredes se juntan en una esquina, el borde de la mesa y una esquina vertical de la pared ni se cortan ni son paralelos. En el espacio hay más posibilidades que en el plano, y conviene tener nombre para cada una.
Posiciones de dos rectas
En el plano, dos rectas o se cortan o son paralelas. En el espacio aparece una tercera posibilidad: que se crucen (ni se cortan ni son paralelas, porque no están en el mismo plano).
| Posición | ¿Se cortan? | ¿Están en un mismo plano? |
|---|---|---|
| Paralelas | No | Sí |
| Secantes | Sí, en un punto | Sí |
| Se cruzan | No | No |
Si dos rectas secantes forman 90°, son perpendiculares.
Dos aviones vuelan por el cielo. El avión A vuela hacia el Norte a $10.000$ metros de altura. El avión B vuela hacia el Este a $8.000$ metros de altura. Sabiendo que sus…
Dos aviones vuelan por el cielo. El avión A vuela hacia el Norte a $10.000$ metros de altura. El avión B vuela hacia el Este a $8.000$ metros de altura. Sabiendo que sus trayectorias no se cortan ni son paralelas:
- a) ¿Cómo se llama a la posición relativa de estas dos trayectorias en el espacio?
- b) ¿Son estas rectas coplanarias? Explica por qué.
Imagina una portería de fútbol. Vamos a analizar sus postes como rectas: a) ¿Qué posición relativa tienen los dos postes verticales? b) ¿Qué posición relativa tiene el…
Imagina una portería de fútbol. Vamos a analizar sus postes como rectas:
- a) ¿Qué posición relativa tienen los dos postes verticales?
- b) ¿Qué posición relativa tiene el larguero (poste horizontal) respecto a cada uno de los postes verticales?
Rectas y planos
Una recta respecto a un plano puede estar contenida en él, ser paralela (no lo toca nunca) o ser secante (lo corta en un punto). Si es secante y forma 90° con todas las rectas del plano que pasan por ese punto, es perpendicular al plano: como una columna sobre el suelo.
En el gimnasio del instituto, una de las columnas verticales (recta $r$) se encuentra con el suelo (plano $\pi$). a) ¿Qué posición relativa tienen la columna y el suelo?…
En el gimnasio del instituto, una de las columnas verticales (recta $r$) se encuentra con el suelo (plano $\pi$).
- a) ¿Qué posición relativa tienen la columna y el suelo?
- b) Si trazamos cualquier línea en el suelo que pase por la base de la columna, ¿qué ángulo formará con ella?
Observa el siguiente cubo e identifica: a) Una arista que sea paralela al plano de la base inferior. b) Una arista que sea perpendicular al plano de la base inferior.
Observa el siguiente cubo e identifica:
- a) Una arista que sea paralela al plano de la base inferior.
- b) Una arista que sea perpendicular al plano de la base inferior.
Dos planos y ángulos diedros
Dos planos pueden ser paralelos (suelo y techo) o secantes (dos paredes): entonces se cortan en una recta. La región entre dos semiplanos que comparten esa recta se llama ángulo diedro, como un libro abierto.
Observa las paredes de tu habitación. a) ¿Qué posición relativa tienen dos paredes opuestas? b) ¿Cómo se llama la recta que se forma cuando dos paredes contiguas se…
Observa las paredes de tu habitación.
- a) ¿Qué posición relativa tienen dos paredes opuestas?
- b) ¿Cómo se llama la recta que se forma cuando dos paredes contiguas se cortan?
Al abrir un libro de matemáticas y dejarlo apoyado sobre la mesa, las dos páginas forman un ángulo diedro. a) Si abrimos el libro totalmente hasta que quede plano sobre…
Al abrir un libro de matemáticas y dejarlo apoyado sobre la mesa, las dos páginas forman un ángulo diedro.
- a) Si abrimos el libro totalmente hasta que quede plano sobre la mesa, ¿cuánto mide ese ángulo diedro?
- b) Si el libro está entreabierto y las páginas forman un ángulo de $90^\circ$, ¿cómo son los planos de las dos páginas entre sí?
Imagina que el suelo de tu habitación es el plano $\pi$ y una de las paredes laterales es el plano $\beta$. Si instalas un cable de fibra óptica que recorre la esquina…
Imagina que el suelo de tu habitación es el plano $\pi$ y una de las paredes laterales es el plano $\beta$. Si instalas un cable de fibra óptica que recorre la esquina donde se juntan el techo y la pared frontal (recta $r$):
- a) ¿Cómo es la recta $r$ respecto al plano del suelo $\pi$?
- b) ¿Cuál es la posición relativa de la recta $r$ respecto al plano de la pared lateral $\beta$?
- c) Si trazamos una línea vertical en la pared lateral (recta $s$), ¿se cortarán las rectas $r$ y $s$? Justifica si son perpendiculares.