Exercicis: Àrea d'un poliedre

Un jove dissenyador està creant un prototip d'altaveu intel·ligent amb forma de cub. Si l'aresta del cub mesura $9\text{ cm}$, calcula la superfície total de material plàstic que es necessita per recobrir totes les seves cares.

Una caixa de sabates té forma d'ortoedre (prisma rectangular) amb les dimensions següents: $30\text{ cm}$ de llargada, $18\text{ cm}$ d'amplada i $12\text{ cm}$ d'altura. Calcula l'àrea total de cartró utilitzat per fabricar la caixa (sense comptar solapes).

Verifica si es compleix el Teorema d'Euler ($C + V = A + 2$) per a un prisma de base pentagonal, com el de la figura (les arestes discontínues són les que queden amagades). Indica clarament el nombre de cares ($C$), vèrtexs ($V$) i arestes ($A$) que has comptat.

Calcula l'àrea lateral d'una piràmide quadrangular regular si sabem que el costat de la base mesura $10\text{ cm}$ i l'apotema de la piràmide (l'altura de les seves cares laterals) mesura $15\text{ cm}$.

Un estoig per a un instrument musical té forma de prisma triangular directe. La base és un triangle equilàter de $8\text{ cm}$ de costat i l'altura del prisma és de $40\text{ cm}$. Si l'àrea de la base triangular és aproximadament $27,7\text{ cm}^2$, calcula l'àrea total de l'estoig.

A partir del desenvolupament pla de la figura, identifica de quin poliedre es tracta i calcula la seva àrea total sabent que cada quadrat té $5\text{ cm}$ de costat.

Un vidrier ha de fabricar un vidre per a un llum amb forma de tetraedre regular (totes les seves cares són triangles equilàters iguals). Si cada cara té una àrea de $15,6\text{ cm}^2$, quanta superfície de vidre tindrà el llum complet?

Calcula l'àrea lateral d'un prisma directe l'altura del qual és de $12\text{ cm}$ i la base del qual és un rombe de diagonals $16\text{ cm}$ i $12\text{ cm}$.

(Pista: Primer has de trobar el costat del rombe utilitzant el teorema de Pitàgores en un dels triangles rectangles interiors de la base).

La Lucía vol envernissar una peça decorativa de fusta massissa que té forma de piràmide quadrangular regular. L'aresta de la base fa $6\text{ cm}$ i l'alçària de la piràmide és de $4\text{ cm}$. La Lucía ha realitzat els càlculs següents a la seva llibreta:

«El perímetre de la base és $4 \cdot 6 = 24\text{ cm}$. L'àrea lateral és $\frac{24 \cdot 4}{2} = 48\text{ cm}^2$. L'àrea de la base és $6^2 = 36\text{ cm}^2$. Per tant, l'àrea total que cal envernissar és $48 + 36 = 84\text{ cm}^2$».

1. a) Identifica i explica detalladament l'error geomètric que ha comès la Lucía en el seu plantejament. Quins dos segments diferents ha confós?
2. b) Corregeix el procediment calculant la mesura correcta de l'apotema de la piràmide mitjançant el teorema de Pitàgores i determina l'àrea total real que ha d'envernissar.

Una empresa de paqueteria dissenya un nou model de caixa de cartó reciclat amb forma de prisma recte de base quadrada. Per motius d'emmagatzematge i estabilitat, l'aresta de la base quadrada ha de fer obligatòriament $8\text{ cm}$. Per confeccionar el desenvolupament pla complet de la caixa (comptant les dues bases i les quatre cares laterals, sense tenir en compte les solapes d'encolat) s'empren exactament $448\text{ cm}^2$ de cartó.

1. a) Escriu una equació algebraica on intervingui l'alçària desconeguda $h$ del prisma i l'àrea total indicada.
2. b) Resol aquesta equació per calcular quants centímetres d'alçària tindrà la caixa.

Per a un projecte de tecnologia, has de construir una caixa d'eines amb forma de prisma hexagonal regular. L'aresta de la base mesura $10\text{ cm}$ i l'altura del prisma és de $25\text{ cm}$. Si vols forrar totes les cares exteriors (incloses les dues bases) amb una làmina protectora, quants centímetres quadrats de material necessitaràs?

(Nota: Recorda que per calcular l'àrea de la base hauràs de trobar primer l'apotema de l'hexàgon utilitzant el teorema de Pitàgores).

Una empresa d'arquitectura ha dissenyat una lluerna de vidre amb forma de piràmide quadrangular regular. L'aresta de la base mesura $4\text{ m}$ i l'altura de la piràmide és de $3\text{ m}$. Calcula la superfície total de vidre necessària per cobrir les quatre cares laterals (la base queda oberta per deixar passar la llum a l'interior de l'edifici).

Un nou poliedre per a un joc de taula s'ha dissenyat complint el teorema d'Euler. Sabem que el dau té $14$ vértexs i que totes les seves cares són triangles equilàters. Podries deduir quantes cares té aquest poliedre i quin és el nombre total d'arestes? Demostra la teva resposta utilitzant la relació matemàtica d'Euler.

Calcula l'àrea total d'un tronc de piràmide quadrangular regular les bases del qual són quadrats de costats $12\text{ cm}$ i $6\text{ cm}$ respectivament, i l'altura de la cara lateral (apotema del tronc) és de $8\text{ cm}$. Quant de paper de regal es necessita com a mínim per embolicar un objecte amb aquesta forma?

Un trofeu té la forma d'un octaedre regular de $6\text{ cm}$ d'aresta. El trofeu es baanyarà en plata, i el cost del bany és de $0,05\text{ €}$ per cada centímetre quadrat. Quin serà el cost total d'argentar les $8$ cares del trofeu?

(Dada: L'àrea d'un triangle equilàter de costat $a$ és $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$).

Dissenyem una peça decorativa de fusta que consisteix en un prisma quadrangular directe de base $8\text{ cm}$ i altura $10\text{ cm}$ al qual se li ha extret una piràmide amb la mateixa base i la mateixa altura. Calcula l'àrea total de la superfície d'aquesta peça (incloent-hi el «forat» interior deixat per la piràmide).

Calcula l'àrea lateral d'un prisma pentagonal regular sabent que el seu volum és de $450\text{ cm}^3$, l'àrea de la seva base és de $30\text{ cm}^2$ i el costat de la base mesura $4\text{ cm}$.

(Pista: Utilitza primer la fórmula del volum per trobar l'altura del prisma).

Es vol fabricar una paperera metàl·lica sense tapa amb forma de prisma octagonal regular. La base té un perímetre de $64\text{ cm}$ i una apotema de $9,66\text{ cm}$. L'altura de la paperera és de $40\text{ cm}$. Calcula la superfície total de metall necessària per a la seva fabricació.

Es confeccionarà una tenda de campanya individual amb forma de piràmide quadrangular regular. La base és un quadrat de $2\text{ m}$ de costat i el pal vertical central té una alçària d'$1,5\text{ m}$. Només s'emprarà una tela impermeable especial a les quatre cares laterals (el terra es fabricarà amb un altre material aïllant diferent).

1. a) Sense utilitzar la calculadora ni trobar l'apotema encara, fes una estimació raonada de l'àrea lateral: serà més gran, més petita o igual que $6\text{ m}^2$? (Pista: pensa quina àrea tindrien les quatre cares si fossin triangles verticals de base $2\text{ m}$ i alçària $1,5\text{ m}$).
2. b) Utilitza el teorema de Pitàgores per trobar l'apotema lateral de la piràmide i calcula el valor exacte de l'àrea de tela necessària (arrodoneix el resultat a dos decimals).
3. c) Compara el teu resultat amb l'estimació que has fet i justifica geomètricament per què l'apotema d'una piràmide sempre és estrictament més gran que la seva alçària.

Una brigada municipal d'obres restaurarà i impermeabilitzarà 10 jardineres de formigó situades en un bulevard de vianants. Cada jardinera té forma de tronc de piràmide quadrangular regular oberta per la part superior i recolzada sobre la base menor. Les dimensions interiors són: arista del quadrat superior (obert) $1,2\text{ m}$, arista del quadrat inferior (fons) $0,8\text{ m}$, i apotema de les cares laterals (alçària dels trapezis) $0,5\text{ m}$.

1. a) Modela la jardinera identificant les figures poligonals que componen la superfície interior i calcula l'àrea total que s'ha de cobrir en una sola jardinera.
2. b) La resina impermeabilitzant es comercialitza en pots de $750\text{ ml}$ a un preu de $14,50\text{ \euro}$ cadascun, i el fabricant certifica que cada pot rendeix per cobrir exactament $2\text{ m}^2$. Determina quants pots complets necessita adquirir l'ajuntament per tractar les 10 jardineres i calcula el cost total de la intervenció.

Un estudi d'arquitectura està dissenyant un loft amb forma d'ortoedre. Es sap que la longitud de l'habitació és el doble que la seva amplada, i que l'altura és de exactament $3\text{ m}$. Si la diagonal espacial (la distància màxima entre dos cantons oposats) mesura exactament $7\text{ m}$, calcula l'àrea total de les parets i el sostre (sense comptar el terra) que s'ha de cobrir amb pintura aïllant.

Una marca de perfums de luxe ha dissenyat un flascó amb forma de tronc de piràmide quadrangular regular. L'aresta de la base major mesura $8\text{ cm}$ i l'aresta de la base menor mesura $4\text{ cm}$. Si l'altura del flascó és de $10\text{ cm}$, calcula la superfície total de vidre necessària per fabricar el flascó (incloent-hi les dues bases). Per fer-ho, hauràs de calcular primer l'apotema del tronc de piràmide (l'altura d'una cara lateral) utilitzant el teorema de Pitàgores. A la figura, $h$ és l'altura del flascó i $a$ és l'apotema.

Es vol construir una peça metàl·lica unint un prisma hexagonal regular i una piràmide hexagonal regular que encaixa perfectament sobre la seva base superior. El costat de l'hexàgon de la base mesura $6\text{ cm}$, l'altura del prisma és de $15\text{ cm}$ i l'altura de la piràmide és de $8\text{ cm}$. Calcula l'àrea de la superfície exterior de la peça completa (tingues en compte que la base on s'uneixen tots dos cossos no compta com a superfície exterior).

Una formiga recorre la superfície d'un octàedre regular d'aresta $12\text{ cm}$. Si l'octàedre es pot considerar com la unió de dues piràmides quadrangulars regulars per la seva base, calcula l'àrea total de la superfície que la formiga pot recórrer. Per a això, recorda que totes les cares d'un octàedre regular són triangles equilàters. Expressa el resultat en funció de $\sqrt{3}$.

Un prisma directe de $20\text{ cm}$ d'altura té com a base un trapezi issòsceles. Les bases del trapezi mesuren $14\text{ cm}$ i $6\text{ cm}$, i la seva altura és de $3\text{ cm}$. Calcula l'àrea total del prisma. Pista: Hauràs de calcular primer la longitud dels costats oblics del trapezi de la base utilitzant el teorema de Pitàgores.

El "Teorema d'Euler" estableix que en políedres convexos $C + V = A + 2$. Imagina un políedre que té el mateix nombre de cares que de vèrtexs. Si el nombre d'arestes és de $6$, dedueix quantes cares té i proposa el nom d'un políedre regular que compleixi aquesta condició. Un cop identificat, calcula la seva àrea total si la seva aresta mesura $\sqrt{10}\text{ cm}$.

S'ha fabricat un contenidor de residus industrials amb forma de prisma directe la base del qual és un rombe. Les diagonals del rombe de la base mesuren $160\text{ cm}$ i $120\text{ cm}$. Si l'altura del contenidor és de $2\text{ metres}$, calcula l'àrea total de la superfície exterior del contenidor en metres quadrats ($m^2$).

Considera un cub d'aresta $10\text{ cm}$. Si fem un tall pla que passa pels punts mitjans de tres arestes que concorren en un mateix vértex, obtenim una petita piràmide triangular (anomenada tetraedre truncat). Calcula l'àrea total del sòlid que queda després de retirar aquesta petita piràmide en aquest cantó.

Per a un centre cultural es projecta una columna decorativa buida de xapa metàl·lica amb forma de prisma recte de $3\text{ m}$ d'alçària. La base del prisma és un polígon en forma d'«L» amb tots els angles rectes, les sis aristes consecutives del qual mesuren: $3\text{ m}$, $2\text{ m}$, $1\text{ m}$, $1\text{ m}$, $2\text{ m}$ i $1\text{ m}$. Es necessita calcular la superfície total de xapa metàl·lica (cares laterals més les dues bases en forma d'«L»). Dos tècnics de l'equip proposen estratègies diferents:

• Tècnic A (Descomposició): Divideix la base en «L» en dos rectangles independents, calcula l'àrea total de dos prismes rectangulars per separat i després resta l'àrea de les cares interiors fictícies per on s'uneixen.

• Tècnic B (Fórmula general): Troba el perímetre complet del polígon en «L» per calcular l'àrea lateral directament amb $A_L = P_{base} \cdot h$, i afegeix el doble de l'àrea de la base en «L».

1. a) Desenvolupa tots dos mètodes pas a pas i comprova numèricament si tots dos condueixen al mateix resultat.
2. b) Compara els dos camins justificant quin resulta més eficient i menys propens a errors en treballar amb cossos de bases poligonals complexes.

Un dissenyador industrial crea un trofeu polièdric massís. El cos consta d'un cub d'arista $a$ sobre la cara superior del qual es recolza una piràmide regular; la base de la piràmide encaixa de manera exacta a la cara superior del cub i les seves quatre cares laterals són triangles equilàters de costat $a$.

1. a) Descriu el desenvolupament pla del cos indicant el nombre i el tipus de polígons que formen la seva superfície exterior total, especificant quines cares queden ocultes a l'interior i no s'han de comptabilitzar.
2. b) Sabent que l'àrea d'un triangle equilàter de costat $a$ és $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ i que la superfície exterior total del trofeu és exactament $(500 + 100\sqrt{3})\text{ cm}^2$, dedueix de manera raonada la mesura exacta de l'arista $a$.
3. c) Si un client encarrega una rèplica a escala triplicant la mesura de l'arista ($a' = 3a$), es triplicarà també la quantitat de material per a la superfície? Justifica la teva resposta algebraicament sense calcular el nou valor numèric.